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2023高考数学统考一轮复习阶段质量检测8理含解析新人教版202302272113
2023高考数学统考一轮复习阶段质量检测8理含解析新人教版202302272113
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阶段质量检测(八)建议用时:40分钟一、选择题1.(2020·福州市质量检测)执行如图所示的程序框图,若输入的a,b分别为4,2,则输出的n=( )A.6B.5C.4D.3C [a=4,b=2,n=1,执行循环:a=6,b=4,n=2,a≤b不成立,执行循环:a=9,b=8,n=3,a≤b不成立,执行循环:a=,b=16,n=4,a≤b成立,结束循环.故输出的n为4,故选C.]2.已知x>0,y>0,a=(x,1),b=(1,y-1),若a⊥b,则+的最小值为( )A.4B.9C.8D.10B [a=(x,1),b=(1,y-1),若a⊥b,则x+y-1=0,即x+y=1.又x>0,y>0,故+=(x+y)=++5≥2+5=4+5=9,当且仅当=,结合x+y=1且x>0,y>0知x=,y=时取“=”.故选B.]3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是四边形ABCD的中心,关于直线A1O,下列说法正确的是( )A.A1O∥D1CB.A1O∥平面B1CD1C.A1O⊥BCD.A1O⊥平面AB1D1B [由题意,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是四边形ABCD的中心,所以A1D∥B1C,OD∥B1D1,\n因为A1D∩DO=D,B1D1∩B1C=B1,A1D,DO⊂平面A1DO,B1C,B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1DO∥平面B1CD1.因为A1O⊂平面A1DO,所以A1O∥平面B1CD1,故选B.]4.(2020·福州市适应性考试)某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课程,要求每位同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了素描,乙与甲没有相同的课程,丙与甲恰有一门课程相同,丁与丙没有相同的课程.则以下说法错误的是( )A.丙有可能没有选素描B.丁有可能没有选素描C.乙、丁可能两门课程都相同D.这4个人里恰有2个人选了素描C [因为甲选了素描,所以乙必定没有选素描.假设丙选了素描,则丁一定没有选素描;若丙没有选素描,则丁必定选了素描.综上,必定有且只有2个人选了素描,选项A,B,D判断正确.不妨设甲另一门选修课程为摄影,则素描与摄影乙同学均不选修,则对于素描与摄影可能出现如下两种情形:情形一甲乙丙丁素描√×√×摄影√××√ 情形二甲乙丙丁素描√××√摄影√×√×由以上两个表可知,乙与丁必有一门课程不相同,因此C不正确.]5.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )\n图一 图二 图三A.nB.n2C.n-1D.n+1D [最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理及图二知上面两小正方形面积和等于下面正方形面积1,∴正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1,故选D.]6.某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛(每支球队与其他7支球队各比赛一场),计分规则是:胜一局得2分,负一局得0分,平局双方各得1分.下面关于这8支球队的得分情况叙述正确的是( )A.可能有两支球队得分都是14分B.各支球队最终得分总和为56分C.各支球队中最高得分不少于8分D.得奇数分的球队必有奇数个B [8支篮球队进行单循环赛,总的比赛场数为7+6+5+4+3+2+1=28,每场比赛两个队得分之和总是2分,∴各支球队最终得分总和为56分,故选B.]7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e为自然对数的底数),且在区间[e,2e]上是减函数;令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)A [∵f(x)在R上为奇函数且f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x),∴f(x)关于直线x=e对称.∵f(x)在[e,2e]上为减函数,∴f(x)在[0,e]上为增函数.∵a=,b=,c=,通过单调性判断,易知0<c<a<b<e,∴f(c)<f(a)<f(b),故选A.]8.函数f(x)=4cos2(ωx+φ)-2的图象的相邻两条对称轴间的距离为,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,1),则下列说法不正确的是( )A.直线x=是f(x)图象的一条对称轴\nB.ω=1C.f(x)在上单调递增D.φ=C [f(x)=4cos2(ωx+φ)-2=2cos(2ωx+2φ),∵f(x)=2cos(2ωx+2φ)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,∴函数f(x)的最小正周期T=π,∴2ω===2,∴ω=1.∵f(0)=1,∴cos2φ=,∵0<φ<,∴0<2φ<π,∴2φ=,∴φ=,∴f(x)=2cos,∴f=2cos=2cos2π=2,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,令k=0得-≤x≤-,∴函数f(x)=2cos在上单调递增,令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,令k=0得-≤x≤,∴函数f(x)=2cos在上单调递减,∴f(x)=2cos在上不单调.故选项C不正确.]二、填空题9.春节期间,某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏,吸引了一大批的游客参加,规则是:每人花10元拿到5个圆圈,在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次,只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次,就可以获得套住的那只玩具鹅.假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为,且每次掷圆圈的结果互不影响,则该游客获得一只玩具鹅的概率为. [设“第i次套住鹅颈”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),则i表示“第i次未套住鹅颈”,依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形:A1A2A3,1A2A3A4,12A3A4A5,而P(A1A2A3)==,P(1A2A3A4)=×=,P(12A3A4A5)=×=,故该游客获得一只玩具鹅的概率为++=.]\n10.若等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则数列为等差数列,公差为.类似,若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项的积为Tn,则等比数列{}的公比为. [由题设得,Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1·b1q·b1q2·…·b1qn-1=bq1+2+…+(n-1)=bq.所以=b1q,所以等比数列{}的公比为.]11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足(a+b)sin=12,(a-b)cos=5,则c=.13 [∵(a+b)sin=12,(a-b)cos=5,∴(a+b)2sin2=144①,(a-b)2cos2=25②,①+②得,a2+b2-2ab=169,∴a2+b2-2abcosC=c2=169,∴c=13.]12.(2020·烟台适应性训练)在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BD上一点,=3,过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为.π [根据已知条件,把棱长为1的正四面体ABCD放在棱长为的正方体内,如图所示.设H为BD中点,连接OH,OE,OF,EF,则OH==,OH⊥BD.∵=3,BD=1,∴HE=.在Rt△OHE中,OE2=OH2+HE2=+=.设过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆E,则OE必垂直于该截面,设小圆E的半径为r,r=EF,R=OF,在Rt△OFE中,EF2=OF2-OE2,\n则必有r2=R2-OE2=-OE2=-=,则所得截面面积的最小值为s=πr2=π.]三、解答题13.为提升教师专业功底,引领青年教师成长,某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛,在这次比赛中,通过录像课评比的片区预赛,有A,B,C,…,I,J共10位选手脱颖而出进入全市决赛.决赛采用现场上课形式,从学科评委库中采用随机抽样抽选7位评委,编号分别为1,2,3,…,7.比赛规则是:选手上完课,评委们当场评分,并从7位评委的评分中去掉一个最高分,去掉一个最低分,根据剩余5位评委的评分,算出平均分作为该选手的最终得分.记评委i(i=1,2,…,7)对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”.排名规则:由高到低依次排名,如果选手分数一样,认定名次并列(如:选手B,E分数一致排在第二,则认为他们同居第二名,没有第三名,接下来分数为第四名).7位评委的评分情况如表所示:1234567A81868984868584B76798074828075C87918990819383D92878889909391E91869088928888F81868982849189G82818584868387H91909392949391I85838379838781J92949491959392(1)根据评分表,填充如下表格;选手ABCDEFGHIJ平均分7888908986849283最终排名(2)试借助评委评分分析表,根据评委对各选手的排名偏差的平方和,判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确.号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名评分排名\n排名偏差(3)从这10位选手中任意选出3位,记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.[解] (1)依据评分规则A==85(分),J==93(分).所以选手的平均分及最终排名如下表:选手ABCDEFGHIJ平均分85788890898684928393最终排名71053468291(2)对4号评委分析:4号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名71053468291评分排名61034586192排名偏差1021122101排名偏差平方和为12+02+22+12+12+22+22+12+02+12=17.对5号评委分析:5号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名71053468291评分排名59104375281排名偏差2151113010排名偏差平方和为22+12+52+12+12+12+32+02+12+02=43.由于17<43,所以评委4评判更准确.(3)10位选手中,评委4比评委5评分偏差小的有5位,X的所有可能取值为0,1,2,3.所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为X0123\nP所以数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.14.已知平面直角坐标系内两定点A(-2,0),B(2,0)及动点C(x,y),△ABC的两边AC,BC所在直线的斜率之积为-.(1)求动点C的轨迹E的方程;(2)设P是y轴上的一点,若(1)中轨迹E上存在两点M,N使得=2,求以AP为直径的圆的面积的取值范围.[解] (1)由已知,kAC·kBC=-,即·=-,所以3x2+4y2=24,又三点构成三角形,所以y≠0,所以点C的轨迹E的方程为+=1(y≠0).(2)设点P的坐标为(0,t),当直线MN的斜率不存在时,可得M,N分别是短轴的两端点,得到t=±.当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+t(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则由=2得x1=-2x2.①联立得得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0,由Δ>0得64k2t2-4(3+4k2)(4t2-24)>0,整理得t2<8k2+6.所以x1+x2=-,x1x2=,②由①②,消去x1,x2得k2=.则解得<t2<6.不妨取M(-2,0),可求得N,此时t=±,由(1)知y≠0,故t2≠2.综上,≤t2<2或2<t2<6.又以AP为直径的圆的面积S=π·,所以S的取值范围是∪.\n15.已知函数f(x)=(ax-a+1)ex-1,g(x)=ax2+x-a,其中a∈R.(1)当a=0时,求函数F(x)=f(x)-(x-1)2在R上的零点个数;(2)对任意的x≥1,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=0时,F(x)=f(x)-(x-1)2=ex-1-(x-1)2,F′(x)=ex-1-x+1.令G(x)=ex-1-x+1,则G′(x)=ex-1-1,当x<1时,G′(x)<0,当x>1时,G′(x)>0,所以G(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以G(x)≥G(1)=1,所以F′(x)>0,F(x)在R上单调递增.由于F(0)=-<0,F(1)=1>0,所以F(x)在R上只有1个零点.(2)令h(x)=f(x)-g(x)=(ax-a+1)ex-1-ax2-x+a,则对任意的x≥1,h(x)≥0恒成立,注意到h(1)=0,h′(x)=aex-1+(ax-a+1)ex-1-ax-1=(ax+1)ex-1-ax-1=(ax+1)(ex-1-1).因为x≥1,所以ex-1-1≥0.当a≥0,x≥1时,ax+1>0,h′(x)≥0,所以h(x)在[1,+∞)上是增函数,所以当x≥1时,h(x)≥h(1)=0,即对任意的x≥1,f(x)≥g(x)恒成立,符合题意.当a≤-1,x>1时,ax+1<0,h′(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上是减函数,所以当x>1时,h(x)<h(1)=0,即f(x)<g(x),不符合题意.当-1<a<0时,由(1)知,F(x)=ex-1-(x-1)2在R上是增函数,且只有一个零点,设零点为x0,则x0∈(0,1),当x≥1时,F(x)≥F(1)>F(x0)=0,即x≥1时,ex-1>(x-1)2,所以-aex-1>-a(x-1)2,则当x≥1时,h(x)=(ax-a+1)ex-1-ax2-x+a=(ax-a+1)ex-1-a(x-1)2-(a+1)x+a<(ax-a+1)ex-1-aex-1-(a+1)x+a=(ax-2a+1)ex-1-(a+1)x+a,当ax-2a+1<0,即x>2->1时,(ax-2a+1)ex-1<0,又当-1<a<0,x≥1时,-(a+1)x+a<0,所以当x>2-时,h(x)<0,不符合题意.故实数a的取值范围是[0,+∞).选考题:请在第16、17题中任选一题作答.16.[选修4-4:坐标系与参数方程]\n在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(β为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2和C3的极坐标方程分别为θ=α(ρ∈R)和θ=+α(ρ∈R),其中0≤α<.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程;(2)设曲线C2与曲线C1交于A,B两点,曲线C3与曲线C1交于C,D两点,求四边形ACBD的面积的最大值和最小值.[解] (1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=4,由曲线C2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)可知,曲线C2是经过原点且倾斜角为α的直线,所以曲线C2的参数方程为(t为参数).(2)把代入(x-1)2+y2=4,得t2-2tcosα-3=0,设方程t2-2tcosα-3=0的两根分别为t1,t2,则t1+t2=2cosα,t1t2=-3,|AB|=|t1-t2|==2,同理,由曲线C3的极坐标方程为θ=+α(ρ∈R),可得|CD|=2=2,又易知AB⊥CD,所以四边形ACBD的面积S=|AB||CD|=2=2,∵0≤α<,∴当2α=,即α=时,四边形ACBD的面积取得最大值,最大值为7;当2α=0,即α=0时,四边形ACBD的面积取得最小值,最小值为4.17.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-2a|+a.(1)当a=2时,求不等式xf(x)≥8的解集;(2)若不等式f(x)≥|x-1|+4有解,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=2时,f(x)=|x-4|+2=当x≥4时,由xf(x)≥8,得x2-2x-8≥0,得x≥4.当x<4时,由xf(x)≥8,得x2-6x+8≤0,得2≤x<4.所以不等式xf(x)≥8的解集为{x|x≥2}.\n(2)由f(x)≥|x-1|+4有解,可得|x-2a|-|x-1|≥4-a有解,又|x-2a|-|x-1|≤|(x-2a)-(x-1)|=|2a-1|,所以|2a-1|≥4-a,①当a≥4时,不等式①恒成立;当≤a<4时,不等式①可化为2a-1≥4-a,可得≤a<4;当a<时,不等式①可化为1-2a≥4-a,可得a≤-3.所以实数a的取值范围是(-∞,-3]∪.
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