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2023高考数学统考一轮复习阶段质量检测4理含解析新人教版202302272109

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阶段质量检测(四)建议用时:40分钟一、选择题1.等差数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,S9=9S3,则an=(  )A.nB.2n-1C.3n-2D.2-nB [设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,S9=9S3,∴9+36d=9(3+3d),解得d=2.∴an=1+2(n-1)=2n-1.故选B.]2.(2020·淄博模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a5=a3,则=(  )A.B.C.D.A [由a5=a3,可得q2=,则==1+q4=.故选A.]3.设{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,则“d<0”是“∀n∈N*,Sn+1<Sn”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件D [“∀n∈N*,Sn+1<Sn”⇔an+1<0.“d<0”与“∀n∈N*,an+1<0”相互推不出,与a1的取值(正负)有关系,∴“d<0”是“∀n∈N*,Sn+1<Sn”的既不充分也不必要条件.故选D.]4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,则Sn取得最大值时n=(  )A.14B.15C.16D.17A [设等差数列{an}的公差为d,∵a8-a5=-6,S9-S4=75,∴3d=-6,5a1+30d=75,解得a1=27,d=-2,∴an=27-2(n-1)=29-2n.令an≥0,解得n≤=14+.则Sn取得最大值时n=14.故选A.]5.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题:今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.大意是:有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,\n以后每天减半.若垣厚33尺,则两鼠几日可相逢(  )A.5B.6C.7D.8B [大老鼠打洞构成首项为1,公比为2的等比数列,小老鼠打洞构成首项为1,公比为的等比数列,设相遇时是第n天,则满足+≥33,即2n-1+2-≥33,即2n-≥32,则f(n)=2n-在n≥1上单调递增,∵f(5)=25-=32-<32,f(6)=26-=64->32,∴相遇时是第6天,故选B.]6.(2020·福州模拟)已知数列{an}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=(  )A.-14B.9C.14D.20D [∵等差数列{an}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,∴a1+a6=9,a1a6=14,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d=1,a3=4,a4=5,a3a4=20.当a1=7,a6=2时,d=-1,a3=5,a4=4,a3a4=20.故选D.]7.(2020·保定一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若点A,B,C,O满足:①=λ(λ≠0);②A,B,O确定一个平面;③=a3+a98,则S100=(  )A.29B.40C.45D.50D [因为=λ,且A,B,O确定一个平面,所以A,B,C三点共线,且A,B,C,O四点共面.又因为=a3+a98,所以a3+a98=1.又因为{an}是等差数列,\n所以S100===50,故选D.]8.(2020·潍坊模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵,按照以上排列的规律,第10行从左向右的第3个数为(  )A.13B.39C.48D.58C [由排列的规律可得,第n-1行结束的时候共排了1+2+3+…+(n-1)==个数,则第n行的第一个数字为+1,第10行的第一个数字为46,故第10行从左向右的第3个数为48,故选C.]二、填空题9.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q等于.- [S1,S3,S2成等差数列,可得2S3=S1+S2,即2(a1+a2+a3)=a1+a1+a2,所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),化为2q2+q=0,解得q=-(q=0舍去).]10.(2020·唐山一模)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+tn(n∈N*,t为非零常数),且a1,a2,a3成等比数列,则an=. [a2=a1+t=1+t,a3=a2+2t=1+3t,依题意a1,a2,a3成等比数列,即(1+t)2=1×(1+3t),解得t=0(舍去),t=1.n≥2时,a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=1+2+…+(n-1)=n(n-1),\n即有an=.n=1时,表达式也成立,所以∀n∈N*,an=.]11.(2020·茂名二模)为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策,某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫,假设该厂第一年需投入运营成本3万元,从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元,该厂每年可以收入20万元,若该厂n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值,则n等于.(盈利额=总收入-总成本)4 [设每年的营运成本为数列{an},依题意该数列为等差数列,且a1=3,d=2.所以n年后总营运成本Sn=n2+2n,因此,年平均盈利额为:=-n-+18≤-2+18=10,当且仅当n=4时等号成立.]12.(2020·泉州二模)等差数列{an}的公差为2,若a=a2·a8,且++…+=2n+1(n∈N*),则b3=,数列{bn}的通项公式为.48 bn= [∵等差数列{an}的公差为2,a=a2·a8,∴(a1+3×2)2=(a1+2)(a1+7×2),解得a1=2.∴an=2+2(n-1)=2n.∵++…+=2n+1(n∈N*),∴n≥2时,++…+=2n,∴=2n+1-2n=2n,可得:bn=n·2n+1.n=1时,=22,解得b1=8.∴bn=∴b3=3×24=48.]三、解答题13.(2020·邵阳一模)已知正项数列{an}中,a1=1,a-2an+1an-3a=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn-an}是等差数列,且b1=2,b3=14,求数列{bn}的前n项和Sn.\n[解] (1)正项数列{an}中,a1=1,a-2an+1an-3a=0.∴(an+1-3an)(an+1+an)=0,∴an+1=3an,又a1=1,∴数列{an}是首项1,公比为3的等比数列.∴an=3n-1.(2)设等差数列{bn-an}的公差为d,且b1=2,b3=14,∴14-32=2-1+2d,解得d=2.∴cn=1+2(n-1)=2n-1.∴数列{bn}的前n项和Sn=(1+3+…+2n-1)+1+3+32+…+3n-1=+=n2+.14.已知数列{an}是递增的等比数列,Sn是其前n项和,a2=9,S3=39.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)数列{an}是递增的等比数列,设公比为q,由题意可得q>1,由a2=9,S3=39,可得+9+9q=39,解得q=3或(舍去),则数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=9·3n-2=3n.(2)bn==(2n-1)·,Tn=1·+3·+5·+…+(2n-1)·,Tn=1·+3·+5·+…+(2n-1)·,两式相减可得Tn=+2-(2n-1)·=+2·-(2n-1)·,化简可得Tn=1-(n+1)·.15.[结构不良试题](2020·青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,.\n给出下列三个条件:条件①:数列{an}为等比数列,数列{Sn+a1}也为等比数列;条件②:点(Sn,an+1)在直线y=x+1上;条件③:2na1+2n-1a2+…+2an=nan+1.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答:(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.[解] 选条件①:(1)∵数列{Sn+a1}为等比数列,∴(S2+a1)2=(S1+a1)(S3+a1),即(2a1+a2)2=2a1(2a1+a2+a3).设等比数列{an}的公比为q,∴(2+q)2=2(2+q+q2),解得q=2或q=0(舍),∴an=a1qn-1=2n-1.(2)由(1)知:an=2n-1,∴bn===,∴Tn===-.选条件②:(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=x+1,∴an+1=Sn+1,又an=Sn-1+1(n≥2,n∈N),两式相减有:an+1=2an,又a1=1,a2=S1+1=2,也适合上式,故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.∴an=a1qn-1=2n-1.(2)由(1)知:an=2n-1,∴bn===,∴Tn===-.\n选条件③:(1)∵2na1+2n-1a2+…+2an=nan+1,∴2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1=(n-1)an(n≥2),即2na1+2n-1a2+…+22an-1=2(n-1)an,(n≥2).由两式相减可得:2an=nan+1-2(n-1)an,即an+1=2an,又a1=1,a2=2a1,也适合上式,故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.∴an=a1qn-1=2n-1.(2)由(1)知:an=2n-1,∴bn===,∴Tn===-.16.(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)=xlnx+kx,k∈R.(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若不等式f(x)≤x2+x恒成立,求k的取值范围;(3)求证:当n∈N*时,不等式ln(4i2-1)>成立.[解] (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+lnx+k,f′(1)=1+k,∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),即y=(k+1)x-1.(2)对于不等式f(x)≤x2+x恒成立,即xlnx+kx≤x2+x恒成立,因为x>0,所以lnx+k≤x+1恒成立,即lnx-x+k-1≤0恒成立.设g(x)=lnx-x+k-1(x>0),g′(x)=-1,x∈(0,1),g′(x)>0,g(x)单调递增,x∈(1,+∞),g′(x)<0,g(x)单调递减,∵不等式f(x)≤x2+x恒成立,且x>0,∴lnx-x+k-1≤0,∴g(x)max=g(1)=k-2≤0即可,故k≤2.(3)证明:由(2)可知:当k=2时,lnx≤x-1恒成立,\n令x=,由于i∈N*,>0.故ln<-1,整理得:ln(4i2-1)>1-,变形得:ln(4i2-1)>1-,即:ln(4i2-1)>1-,i=1,2,3…,n时,有ln3>1-,ln15>1-,…ln(4n2-1)>1-,两边同时相加得:ln(4i2-1)>n-=>,所以不等式在n∈N*上恒成立.

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发布时间:2022-08-25 17:31:42 页数:8
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文章作者:U-336598

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