2023高考数学统考一轮复习阶段质量检测7理含解析新人教版202302272112

阶段质量检测(七)建议用时：40分钟一、选择题1．为了调查某县2020年高考数学成绩，在高考后对该县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科学生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是(　　)A．系统抽样法B．分层抽样法C．抽签法D．简单的随机抽样法B　[由于6000名学生各个学生层次之间存在明显差别，故要采用分层抽样的方法，故选B．]2．今年入夏以来，某市天气反复，降雨频繁．在下图中统计了某个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：℃)，以下判断错误的是(　　)A．今年每天气温都比去年气温高B．今年的气温的平均值比去年低C．去年8～11号气温持续上升D．今年8号气温最低A　[由题图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确；除6,7号今年气温略高于去年气温外，其他日子今年气温都不高于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由题图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A．]3．在甲乙两个运动员的某次射击比赛中，规定射击先射中十环者胜．甲运动员先射击，射中十环的概率为0.4；若甲没有射中十环，乙运动员进行射击，射中十环的概率为0.6；若乙也没有射中十环，则甲运动员再次射击，射中十环的概率为0.5，若甲再次没有射中十环，乙运动员进行射击，射中十环的概率为0.8，射击4次以后，射击枪出现故障，比赛停止．则在这次射击比赛中，乙胜的概率为(　　)A．0.52B．0.456C．0.64D．0.696B　[设事件A表示“甲第1次射击，射中十环”，设事件B表示“\n乙第1次射击，射中十环”，设事件C表示“甲第2次射击，射中十环”，设事件D表示“乙第2次射击，射中十环”，则乙胜包含乙两次射击都有可能射中十环，得乙胜的概率为P(B＋D)＝P(B)＋P(D)＝P()P(B|)＋P()P(|)P(|)P(D|)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.456.故选B．]4．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有(　　)A．32个B．64个C．54个D．96个C　[分情况讨论：(1)这个三位数中不含0，若这个三位数中有两个重复数字，数字组合为(1,1,8)，(2,2,6)，(3,3,4)，(4,4,2)，则有“十全十美数”4C个，若这个三位数中的三个数字都不重复，数字组合为(1,2,7)，(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，则有4A个“十全十美数”；(2)这个三位数中含一个0，数字组合为(1,0,9)，(2,0,8)，(3,0,7)，(4,0,6)，(5,0,5)，则“十全十美数”有4CA＋2＝18(个)．根据分类加法计数原理得，“十全十美数”共有4C＋4A＋18＝54(个)．故选C．]5．已知(1－x)6的展开式中x3的系数为－8，则a＝(　　)A．－2B．－3C．－1D．2A　[依题意，注意到(1－x)6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(－x)r＝C·(－1)r·xr，因此(1－x)6展开式中x3的系数为1×C×(－1)3＋a×C×(－1)5＝－8，解得a＝－2，故选A．]6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线3x－y＋5＝0垂直，则双曲线的离心率为(　　)A．B．10C．3D．D　[因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，直线3x－y＋5＝0的斜率k＝3，双曲线的一条渐近线与直线3x－y＋5＝0垂直，所以－×3＝－1，所以a＝3b，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故选D．]7．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL\n的面积．将Gini＝称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f(x)，则对任意x∈(0,1)，均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1－(x∈[0,1])，则Gini＝－1.其中正确的是(　　)A．①②B．①③C．②③D．①②③B　[对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，故①正确；对于②，＝表示曲线y＝f(x)上的点与原点连线的斜率，由图可知对任意x∈(0,1)，均有0≤≤1，故②错误；对于③，将y＝1－化简整理，得x2＋(y－1)2＝1(x，y∈[0,1])，表示圆心为(0,1)，半径为1的四分之一圆，所以a＝π×12－×1×1＝－，S＝×1×1＝，所以＝＝－1，故③正确．故选B．]8．已知函数f(x)＝－，g(x)＝xcosx－sinx，当x∈[－4π，4π]且x≠0时，方程f(x)＝g(x)根的个数是(　　)A．5B．6C．7D．8D　[由题意得，函数f(x)＝－在x∈[－4π，4π]且x≠0上是奇函数且是反比例函数，g(x)＝xcosx－sinx在x∈[－4π，4π]上是奇函数，因为g′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，当x∈[0，π]∪[2π，3π]时，g′(x)≤0，当x∈(π，2π)∪(3π，4π]时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，π]，[2π，3π]上是减函数，在(π，2π)，(3π，4π]上是增函数，且g(0)＝0，g(π)＝－π，g(2π)＝2π，g(3π)＝－3π，g(4π)＝4π，所以作出函数f(x)与g(x)在[－4π，0)与(0,4π]上的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)与g(x)的图象共有8个交点，所以方程f(x)＝g(x)有8个根，故选D．]\n二、填空题9．已知样本x1，x2，…，x2020的平均数与方差分别是1和4，若yi＝axi＋b(i＝1,2，…，2020)，且样本y1，y2，…，y2020的平均数与方差也分别是1和4，则ab＝.1　[根据题意，得解得或所以ab＝1.]10．《史记》卷六十五：《孙子吴起列传第五》，是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的短处，从而在竞技中获胜的事例．主要讲述了齐国的大将田忌与齐威王进行赛马比赛反败为胜的故事．若田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为．　[设齐王的下等马，中等马，上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种等可能的情况．其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为.]11．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有种．1019　[法一：不妨设三位小朋友分别为A，B，C，属相分别为龙，马，虎．若A选马，B选虎，则C有10种选法；若A选马，B不选虎，B有10种选法，则C只有9种选法，此时选法有9×\n10＝90(种)．若A选虎，同理可得选法共有100种．若A不选马、虎，A有9种选法；当B选虎时，C有10种选法，此时选法有9×10＝90(种)；当B不选虎时，B有9种选法，则C也有9种选法，此时选法有9×9×9＝729(种)．根据分类加法计数原理可知，三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有10＋90＋100＋90＋729＝1019(种)．法二：三位小朋友选择的总情况共有12×11×10＝1320(种)．①三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1种选法；②三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有9C＝27(种)；③三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有C(10＋9×9)＝273(种)，所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有1320－(1＋27＋273)＝1019(种)．]12．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI(居民消费价格指数)同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI—篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI—篮子商品中权重最大的是居住；②CPI—篮子商品中吃穿住所占权重超过50%；③猪肉在CPI—篮子商品中权重为2.5%；④猪肉与其他畜肉在CPI—篮子商品中权重约为0.18%.①②③　[由题中第一个图知CPI—篮子商品中居住占23.0%，所占权重最大，故①正确；CPI—篮子商品中吃穿住占23.0%＋8.0%＋19.9%＝50.9%，权重超过50%，故②正确；由题中第一个图知食品占19.9%，分解后可知猪肉在CPI—篮子商品中所占权重为2.5%，故③正确；猪肉与其他畜肉在CPI—篮子商品中所占权重为2.1%＋2.5%＝4.6%，故④错误．综上所述，正确的结论为①②③.]三、解答题13．某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩(均为整数，满分100分)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，由此得到部分频率分布直方图(如图)．\n观察图中的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全频率分布直方图；(2)据此估计本次考试的平均分；(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)内记0分，在[60,80)内记1分，在[80,100]内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列．[解]　(1)设分数在[70,80)内的频率为x.根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3.补全频率分布直方图略．(2)抽取的60名学生的平均分为＝45×0.10＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.据此估计本次考试的平均分为71分．(3)成绩在[40,60)内的有0.25×60＝15(人)，成绩在[60,80)内的有0.45×60＝27(人)，成绩在[80,100]内的有0.3×60＝18(人)，易知X的所有可能取值是0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为X01234P14.为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度[0,210](210,400](400，＋∞)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到如下统计表：居民用电编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算每户居民月用电410度时应交电费多少元；(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到用电量在第二阶梯的用户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市抽取10户，若抽到k\n户月用电量在第一阶梯的可能性最大，求k的值．[解]　(1)由题意知，每户居民月用电410度时应交电费210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到用电量在第二阶梯的用户数为ξ，易知用电量在第二阶梯的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的分布列是ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(3)由题意可知，从全市中抽取10户，设这10户的月用电量在第一阶梯的户数为X，则X～B，15．某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(金额为3000元)、专业二等奖学金(金额为1500元)及专业三等奖学金(金额为600元)，且专业奖学金每年评选一次，每个学生一年最多只能获得一次．图①是该校2019年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图②是这500名学生2019年周课外平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图．\n图①图②(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数．(2)若周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列出2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．(3)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2019年获得的专业奖学金金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.[解]　(1)获得专业三等奖学金的频率为(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.15＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×0.4＋(0.016＋0.008)×5×0.4＝0.32,500×0.32＝160(人)，故这500名学生中获得专业三等奖学金的人数为160.(2)周课外平均学习时间不超过35h的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有500×(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.05＋500×(0.04＋0.056＋0.016)×5×(0.25＋0.05)＝92(人)．周课外平均学习时间超过35h的“努力型”学生有500×(0.016＋0.008)×5＝60(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有60×(0.35＋0.25)＝36(人)．所以2×2列联表为“非努力型”学生“努力型”学生总计获得专业一、二等奖学金9236128未获得专业一、二等奖学金34824372总计44060500K2的观测值k＝≈42.36＞10.828，故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．\n(3)X的可能取值为0,600,1500,3000.P(X＝600)＝0.32，P(X＝1500)＝0.05×(0.008＋0.016＋0.04)×5＋0.25×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.35×(0.016＋0.008)×5＝0.198，P(X＝3000)＝0.05×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.25×(0.016＋0.008)×5＝0.058，P(X＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424.所以X的分布列为X060015003000P0.4240.320.1980.058故E(X)＝0×0.424＋600×0.32＋1500×0.198＋3000×0.058＝663(元)．16．某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如下：电脑机型甲乙丙概率(1)某物管公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记X表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求X的分布列及数学期望．(2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若在以后的销售中，销量y(台)与单价x(元)服从线性关系＝－0.4x＋a，且该机型电脑的出厂价为3605元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获取的利润最大时，每台丁机型电脑的售价．[解]　(1)根据题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为\nX0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)根据题中表格可得，＝60，＝3725，代入回归方程得a＝1550，所以＝－0.4x＋1550，设获得的利润为W元，则W＝(－0.4x＋1550)(x－3605)＝－0.4x2＋2992x－1550×3605，此函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝－＝3740，所以当x＝3740时，W(x)取得最大值．即该销售商场获得最大利润时，每台丁机型电脑的售价为3740元．