【备战2023】高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线11 理

"【备战2013】高考数学6年高考母题精解精析专题10圆锥曲线11理"18．（2009·安徽理）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为．（I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列．解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,（方法三）在第一象限内，由可得-21-\n椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。21．（2009·福建理19）（本小题满分13分）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T．(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。解法一：-21-\n解法二:-21-\n23．（2009·辽宁理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设,,因为点在椭圆上，所以-21-\n24．（2009·宁夏海南理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。-21-\n26．（2009·天津理）（本小题满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即．由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得．-21-\n解法二：由（II）可知当时，得,由已知得-21-\n【2008年高考试题】3．（2008·海南、宁夏理）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．解析：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）答案：A6．（2008·山东理）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A）(B)-21-\n(C)(D)6．（2008·山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）10　　　　　　　（B）20　　　　　　　　（C）30　　　　　　　（D）40解析：本题考查直线与圆的位置关系。，过点的最长弦为最短弦为答案：B7．（2008·广东）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．8．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：。解析：本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得-21-\n，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案：9．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=　▲　　。10．（2008·海南、宁夏理）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．-21-\n7．（广东）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．8．（山东理）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）证明：由题意设-21-\n由①、②得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列．-21-\n（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意．（2）当，对于D(0，0)，此时　　又AB⊥CD，所以即矛盾．-21-\n9．（山东文）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，，-21-\n所以．解法一：由于-21-\n10．（海南、宁夏理）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b-21-\n＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．设，，，．因为，所以．．-21-\n所以．此时，故所求直线的方程为，或．【2007年高考试题】1．(2007·宁夏理6)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：C1．(2007·广东理11)在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;3．（2007·山东文9理13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．1．（2007·山东理21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．-21-\n【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为，2．(2007·宁夏理19)（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆-21-\n有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．4．(2007·广东理18)（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（1）求圆C的方程；-21-\n（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）圆C：；-21-