【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第2节 不等式的证明与利用不等式求最大（小）值课后限时自测 理 苏教版选修4-5

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2节不等式的证明与利用不等式求最大（小）值课后限时自测理苏教版选修4-5[A级　基础达标练]一、填空题1．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c间的大小关系是________．[解析]　由>>，得a>c>b.[答案]　a>c>b2．设x＋y＝2，则m＝x2＋2y2的最小值为________．[解析]　由柯西不等式得(x2＋2y2)(1＋)≥(x＋y)2＝12，则x2＋2y2≥8.[答案]　83．若a，b，c都大于0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是________．[解析]　(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋(b－c)2≥12.当且仅当b＝c时取等号，即a＋b＋c≥2.[答案]　24．设x，y∈R且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为________．[解析]　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.[答案]　135．(2014·苏北三市测试)已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，则2x2＋3y2＋z2的最小值为________．[解析]　由柯西不等式知(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]·，因为x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，4\n所以2x2＋3y2＋z2的最小值为.[答案]　6．(2013·陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2.则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．[解析]　(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2mnab＋mn(a2＋b2)＝mn(a＋b)2＝mn＝2，当且仅当m＝n＝时等号成立．[答案]　27．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．[解析]　M－N＝＋＝，又因0<a<，得ab<1，则M－N>0，即M>N.[答案]　M>N8．若x＋y＋z＝1，且x，y，z∈R，则x2＋y2＋z2与的大小关系为________．[解析]　∵(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝1，又2(xy＋yz＋zx)≤2(x2＋y2＋z2)，∴3(x2＋y2＋z2)≥1，则x2＋y2＋z2≥.[答案]　x2＋y2＋z2≥二、解答题9．(苏州市2014届调研调研测试)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.[证明]　∵x，y，z都是正数，∴＋＝(＋)≥4\n同理可得＋≥，＋≥将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.10．(2014·江苏南通三模)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：2≤.[解]　因为x>0，y>0，所以xy>0，所以要证2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故2≤.[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．[解析]　由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.[答案]　2．(2014·南京三模)已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，则a＋b＋c的最大值为________．[解析]　由柯西不等式，得[a2＋(b)2＋(c)2]·≥(a＋b＋c)2，因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－≤a＋b＋c≤，当且仅当a＝2b＝3c＝时，a＋b＋c取得最大值.[答案]　二、解答题3．(2014·江苏徐州三检)已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.[证明]　因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，4\n当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.4