高考数学总复习 第五章 第3课时 等比数列课时闯关（含解析） 新人教版

2013年高考数学总复习第五章第2课时等差数列课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2010·高考浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)A．11　　　　　　　　　　　B．5C．－8D．－11解析：选D.由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则＝＝－11.2．(2012·济南质检)若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是(　　)①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lga}是等差数列．A．①③B．③④C．①②③④D．②③④解析：选C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，{}是等比数列，{lgan}{lga}是等差数列．3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为(　　)A．32B．64C．256D．±64解析：选B.由根与系数的关系知：a1·a99＝16，∴a＝a1·a99＝16，又∵an>0，∴a50＝4.∴a20·a50·a80＝(a20·a80)·a50＝a·a50＝a＝64.4．(2010·高考山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设{an}的首项为a1，公比为q，若a1<a2，则q>1，从而有a1qn－1<a1qn，即an<an＋1，因此{an}是递增的等比数列；反之，若{an}是递增数列且a1>0，则必有q>1，故a1<a2，因此选C.5．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)A．13项B．12项C．11项D．10项解析：选B.设前三项分别为a1，a1q，a1q2，最后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积为aq3＝2，最后三项之积为aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.二、填空题6．数列{an}中，an＝.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.解析：S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案：3773\n7．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：n≥2时，∵－＝0，∴an＝2an－1，∴q＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________.解析：由题意知＝＝＝＝logb5a5＝.答案：三、解答题9．(2011·高考大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解：设{an}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝＝＝3；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝＝＝3n－1.10．已知各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，均有2Sn＝2pa＋pan－p(p∈R)．(1)求常数p的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由a1＝1及2Sn＝2pa＋pan－p(n∈N*)，得：2＝2p＋p－p.∴p＝1.(2)由2Sn＝2a＋an－1，①得2Sn＋1＝2a＋an＋1－1.②由②－①得，2an＋1＝2(a－a)＋(an＋1－an)，即2(an＋1＋an)(an＋1－an)－(an＋1＋an)＝0.∴(an＋1＋an)(2an＋1－2an－1)＝0.由于数列{an}各项均为正数，∴2an＋1－2an＝1.即an＋1－an＝.∴数列{an}是首项为1，公差为的等差数列．∴数列{an}的通项公式是an＝1＋(n－1)×＝.11．(探究选做)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n＋1(n＝1,2,3，…)．(1)若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；(2)证明{an}不可能是等比数列；3\n(3)若a1＝－1，求{an}的通项公式以及前n项和公式．解：(1)因为{an}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，于是有a1＋nd＝2[a1＋(n－1)d]＋n＋1，整理得a1＋nd＝(2a1－2d＋1)＋(2d＋1)n，因此，解得a1＝－3，d＝－1.(2)证明：假设{an}是等比数列，设其首项为a1，则a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7，于是有(2a1＋2)2＝a1(4a1＋7)，解得a1＝－4，于是公比q＝＝＝，这时a4＝a1q3＝(－4)·()3＝－.但事实上，a4＝2a3＋4＝8a1＋18＝－14，二者矛盾，所以{an}不可能是等比数列．(3)由an＋1＝2an＋n＋1可得an＋1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋2)，所以数列{an＋n＋2}是一个公比为2的等比数列，其首项为a1＋1＋2＝－1＋1＋2＝2，于是an＋n＋2＝2·2n－1＝2n.故an＝2n－n－2，于是{an}的前n项和公式Sn＝－－2n＝2n＋1－2－－2n.3