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高考数学总复习 第五章 第4课时 数列求和课时闯关(含解析) 新人教版
高考数学总复习 第五章 第4课时 数列求和课时闯关(含解析) 新人教版
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2013年高考数学总复习第五章第4课时数列求和课时闯关(含解析)新人教版一、选择题1.(2012·辽阳质检)已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于( )A.16 B.8C.4D.不确定解析:选B.由数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),可得数列{an}是等差数列,S25==100,解得a1+a25=8,所以a12+a14=a1+a25=8.2.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值为( )A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-解析:选A.该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+(++…+)=n2+1-.故选A.3.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=an-3,则数列{an}的前n项和Sn为( )A.3n+1-3B.3n-3C.3n+1+3D.3n+3解析:选A.∵Sn=an-3,∴Sn+1=an+1-3,两式相减得:Sn+1-Sn=(an+1-an).即an+1=(an+1-an),∴=3,即q=3.又∵S1=a1-3,即a1=a1-3,∴a1=6.∴an=a1·qn-1=6×3n-1=2×3n.∴Sn=an-3=×2×3n-3=3n+1-3,故应选A.4.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列{}的前n项和为Sn,则S2012的值为( )A.B.C.D.解析:选D.∵f′(x)=2x+b,∴f′(1)=2+b=3,∴b=1,∴f(x)=x2+x,∴==-,4\n∴S2012=1-+-+…+-=1-=.5.设数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,把{an}中的每一项都减去2后,得到一个新数列{bn},{bn}的前n项和为Sn,则对任意的n∈N*,下列结论正确的是( )A.bn+1=3bn+2,且Sn=(3n-1)B.bn+1=3bn-2,且Sn=(3n-1)C.bn+1=3bn+4,且Sn=(3n-1)-2nD.bn+1=3bn-4,且Sn=(3n-1)-2n解析:选C.因为数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以数列{an}的通项公式为an=3n-1,则依题意得,数列{bn}的通项公式为bn=3n-1-2,∴bn+1=3n-2,3bn=3(3n-1-2)=3n-6,∴bn+1=3bn+4.{bn}的前n项和为:Sn=(1-2)+(31-2)+(32-2)+(33-2)+…+(3n-1-2)=(1+31+32+33+…+3n-1)-2n=-2n=(3n-1)-2n.二、填空题6.数列1,,,…的前n项和Sn=________.解析:由于an===2(-),∴Sn=2(1-+-+-+…+-)=2(1-)=.答案:7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.解析:∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-2.答案:2n+1-28.若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+3n(n∈N*),则++…+=________.解析:令n=1,得=4,∴a1=16.当n≥2时,++…+=(n-1)24\n+3(n-1),与已知式相减,得=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,∴an=4(n+1)2,∴n=1时,a1也适合an.∴an=4(n+1)2,∴=4n+4,∴++…+==2n2+6n.答案:2n2+6n三、解答题9.(2011·高考重庆卷)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.求{an}的通项公式;设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解:设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,因此q=2.所以{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n.Sn=+n×1+×2=2n+1+n2-2.10.数列{an}中a1=3,已知点(an,an+1)在直线y=x+2上,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)∵点(an,an+1)在直线y=x+2上,∴an+1=an+2,即an+1-an=2.∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,∴an=3+2(n-1)=2n+1.(2)∵bn=an·3n,∴bn=(2n+1)·3n,∴Tn=3×3+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,①∴3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由①-②得-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1=9+2×-(2n+1)·3n+1.∴Tn=n·3n+1.11.(探究选做)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;(2)令bn=,其中n∈N*,求数列{nbn}的前n项和Tn.解:(1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,由f′(x)=-2x+7,得a=-1,b=7,∴f(x)=-x2+7x,又∵点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,∴Sn=-n2+7n.当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,∴an=-2n+8(n∈N*).令an=-2n+8≥0,得n≤4,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(n∈N*),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得b1==8,bn==2-n+4,∴=,即数列{bn}是首项为8,公比是的等比数列,故{nbn}的前n项和Tn=1×234\n+2×22+…+n×2-n+4,①Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3,②∴①-②得:Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3,∴Tn=-n·24-n=32-(2+n)24-n.4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:39:14
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