（江苏专用）高考数学总复习 第五章第1课时 数列的概念课时闯关（含解析）

（江苏专用）2013年高考数学总复习第五章第1课时数列的概念课时闯关（含解析）[A级　双基巩固]一、填空题1．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．解析：将首项写为－，分子3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1,24＝52－1，所以数列的通项公式为an＝(－1)n·＝(－1)n.答案：an＝(－1)n2．已知数列、、、…，则5是数列的第________项．解析：易知数列的一个通项公式为an＝，令＝5，即＝，∴4n－1＝75，故n＝19.答案：193．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝答案：4．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列取到最小项时的n＝________.解析：an－an－1＝－＝>0.则此数列为递增数列，故a1为最小项．答案：15．数列{an}的通项公式an＝，则a2013＝________，－3是此数列的第________项．解析：∵an＝＝＝－，∴a2013＝－，令an＝－3，即－＝－3，则n＝9，∴－3是此数列的第9项．答案：－　96．(2011·高考江西卷改编)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝1，那么a10＝________.解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.答案：15\n7．根据下面一组等式可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________.S1＝1S2＝2＋3＝5S3＝4＋5＋6＝15S4＝7＋8＋9＋10＝34S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65解析：从已知数表得S1＝1，S1＋S3＝16＝24，S1＋S3＋S5＝81＝34.由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.答案：n48．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则连乘积a1a2a3…a2011a2012的值为________．解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，∴数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，∴a1a2a3a4…a2011a2012＝1.答案：1二、解答题9．(2012·徐州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，且满足＝an＋1(n∈N*)．(1)求a1，a3，a4的值，并猜想出数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝(－1)nan，请利用(1)的结论，求数列{bn}的前15项和T15.解：(1)令n＝1,2S1＝a1＋1，又S1＝a1，得a1＝1；令n＝3，＝a3＋1，得a3＝7；令n＝4，＝a4＋1，得a4＝10.猜想数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)bn＝(－1)nan＝(－1)n(3n－2)，T15＝b1＋b2＋b3＋…＋b15＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋…＋(－37)＋40＋(－43)＝－22.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得即解得故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)由(1)知bn＝.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理得m＝3＋，因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．[B级　能力提升]5\n一、填空题1．已知an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项是________．解析：an＝＝，由函数f(x)＝x＋上的单调性可知f(x)在(0，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，∴f(x)在x＝处取最小值，因为n∈N*，∴当n＝12时，n＋＝25，当n＝13时，n＋＝25，∴(n＋)min＝25.∴(an)max＝a12和a13.答案：第12和13项2．已知数列{an}满足an＋1＝.若a1＝，则a2012的值等于________．解析：∵a1＝，满足≤a1<1，∴a2＝2×－1＝.同理a3＝2×－1＝.∴a4＝2×＝.故此数列为：，，，，，，…每三项就循环一次，周期为3，故a2012＝a2＝.答案：3．如图，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项(如表所示)，按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011＝________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6解析：a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4等，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，－3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2009＋a2011＝0，a2010＝1005.答案：10054．(2010·高考湖南卷)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am<n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*＝________，((an)*)*＝________.解析：∵an＝n2，(a5)*为am<5的m的个数．∴a1＝1<5，a2＝22＝4<5，a3＝9>5，∴m5\n＝2.∵an为1,4,9,16,25，…，(n－1)2，n2…，∴(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，(a5)*＝2，…(an2－1)*＝n－1，(an2)*＝n－1，(an2＋1)*＝n，….∴(an)*数列为0,1,1,1,2,2,2,2,2，…，n－1，n－1，…，(n－1)，∴当(n－1)2<k≤n2时，(ak)*＝n－1，∴((an)*)*＝n2.答案：2　n2二、解答题5．(2011·高考江苏卷)设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1,2,3，…，n}，a>b.(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.解：(1)点P的坐标满足条件：1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足题设条件以及a－b＝3k的点P的个数．只要讨论fn(k)≥1的情形．由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤.设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0,1,2}，则k≤m.所以Bn＝n(k)＝(n－3k)＝mn－＝.将m＝代入上式，化简得Bn＝－.所以Bn＝6．(2012·无锡质检)数列{an}满足：na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝()n－1＋()n－2＋…＋＋1(n＝1,2,3，…，)．(1)求an的通项公式；(2)若bn＝－(n＋1)an，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有bn≤bk成立？证明你的结论．解：(1)由na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝()n－1＋()n－2＋…＋＋1，得(n－1)a1＋(n－2)a2＋…＋an－1＝()n－2＋…＋＋1.两式相减，a1＋a2＋…＋an＝()n－1＝Sn.∴当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－()n－2，即an＝.(2)由(1)知bn＝－(n＋1)an＝.易知b1不是数列{bn}的最大项，5\n假设存在k∈N*且k≠1，设bk是{bn}的最大项，则即，解之得8≤k≤9，又k∈N*，故k＝8或9.∴存在正整数k＝8或k＝9使对任意的正整数n都有bn≤bk成立．5