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(江苏专用)高考数学总复习 第四章第1课时 向量的概念与线性运算课时闯关(含解析)
(江苏专用)高考数学总复习 第四章第1课时 向量的概念与线性运算课时闯关(含解析)
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(江苏专用)2013年高考数学总复习第四章第1课时向量的概念与线性运算课时闯关(含解析)[A级 双基巩固]一、填空题1.下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一方向相同;②三角形ABC中,必有++=0;③若++=0,则A,B,C为三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中假命题的序号为________.解析:①若a与b长度相等,方向相反,则a+b=0;③A,B,C三点可能在一条直线上;④|a|+|b|≥|a+b|.答案:①③④2.(2012·扬州质检)若A、B、C、D是平面上任意四点,给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有________个.解析:①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,+=+=成立;③式的等价式是-=+=成立.答案:23.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.解析:由已知得a+λb=-k(b-3a),∴解得答案:-4.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a、b表示).解析:由=3,得4A=3=3(a+b),=a+b,∴=(a+b)-(a+b)=-a+b.答案:-a+b5.(2012·福州质检)已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在________.(P点位置)解析:由于=λ+⇒+=λ⇒=λ,根据共线向量的基本条件,则C,P,A三点共线.答案:直线AC上5\n6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共线,则四边形ABCD的形状为________.解析:由已知可得:=++=-8a-2b,故=2,由向量共线定理可知AD∥BC且||=2||,故四边形ABCD为梯形.答案:梯形7.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则x=________,y=________.解析:由题可知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.答案: 8.(2010·高考湖北卷改编)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使+=m成立,则m=________.解析:由已知条件易得M为△ABC的重心,取BC的中点D,则+=2,又=,故m=3.答案:3二、解答题9.点D、E、F分别是△ABC三边AB、AC、BC的中点,求证:(1)+=+;(2)++=0.证明:(1)如图,在△ABF中,+=,在△ACF中,+=,所以+=+.(2)∵点D、E、F分别是△ABC的三边AB、AC、BC的中点,∴四边形EDFC是平行四边形,=-.又=-,=-,故++=(+)+(+)+(+)5\n=(-+)+(-+)+(-+)=0.10.已知O、A、B是不共线的三点,且=m+n(m、n∈R).(1)若m+n=1,求证:A、P、B三点共线;(2)若A、P、B三点共线,求证:m+n=1.证明:(1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),∴-=m(-),即=m,∴与共线.又因为BP与BA有公共点B,∴A、P、B三点共线.(2)若A、P、B三点共线,则与共线,故存在实数λ,使=λ,∴-=λ(-).由条件m+(n-1)=λ-λ,即(m-λ)+(n+λ-1)=0.因O、A、B不共线,∴、不共线,由平面向量基本定理知∴m+n=1.[B级 能力提升]一、填空题1.如图所示,在△OAB中,=a,=b,M、N分别是边OA、OB上的点,且=a,=b,设AN与BM交于点P,则用a,b表示为________.解析:∵=+,=+,设=m,=n,则=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb,=+n=(1-n)b+na.∵a与b不共线,∴⇒.∴=a+b.答案:a+b5\n2.设D、P为△ABC内的两点且满足=(+),=+,则=________.解析:由=(+)可知,点D在△ABC的中线AE上,且AD=AE,由=+得=,由平面几何知识可知=.答案:3.若=a,=b,下列向量中能表示∠AOB平分线上的向量OM的是________.①+;②λ,λ由确定;③;④λ,λ由确定.解析:由平面几何知识知∠AOB的平分线可视为以OA,OB所在线段为邻边的菱形的对角线OM所在的直线,故=λ,其中λ由确定.答案:②4.(2011·高考山东卷改编)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3、A4调和分割A1,A2,已知平面上的点C、D调和分割点A、B,给出如下说法:①C可能是线段AB的中点;②D可能是线段AB中点;③C、D可能同时在线段AB上;④C、D不可能同时在线段AB的延长线上,则正确的有________个.解析:依题意,若C、D调和分割点A、B,则有=λ,=μ,且+=2,若C是线段AB的中点,则有=,此时λ=,又+=2,∴=0,不可能成立,因此①不成立,同理②不对;当C、D同时在线段AB上时,由=λ,=μ知0<λ<1,0<μ<1,此时+>2,与已知矛盾,因此③不对;若C、D同时在线段AB的延长线上,则=λ时λ>1,=μ时μ>1,此时+<2和+=2矛盾,故C、D不可能同时在线段AB延长线上,因此④正确.答案:1二、解答题5\n5.已知O是正△ABC内部一点,+2+3=0,求△ABC的面积与△OAC的面积之比.解:如图,取BC与AC的中点M、N,连结OM、ON.∵+2+3=0,∴-+3(+)=0.∴=6,同理得=3.∴2=,与有公共点O,∴O、M、N三点共线.∴MN是△ABC的中位线,且ON=2OM.∴AB=3ON,则△ABC的面积与△OAC的面积比是3∶1.6.如图,△ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点,若=x,=y,试问:+是否为定值?解:设=a,=b,则=xa,=yb,==(+)=(a+b),∴M=A-A=(a+b)-xa=(-x)a+b,=-=yb-xa=-xa+yb.∵与共线,∴存在实数λ,使=λ.∴(-x)a+b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb.∵a与b不共线,∴消去λ得+=4,故+为定值4.5
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发布时间:2022-08-25 21:34:39
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