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(江苏专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积课时闯关(含解析)
(江苏专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积课时闯关(含解析)
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(江苏专用)2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积课时闯关(含解析)[A级 双基巩固]一、填空题1.(2011·高考福建卷)若a=(1,1),b=(-1,2),则a·b=________.解析:a=(1,1),b=(-1,2),a·b=1×(-1)+1×2=-1+2=1.答案:12.(2011·高考江西卷)已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a和b的夹角为________.解析:∵(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,且|a|=|b|=2.∴a·b=2.∴cos〈a,b〉==,而〈a,b〉∈[0,π].∴〈a,b〉=.答案:3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.解析:|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×1×2cos60°+22=3.∴|a-b|=.答案:4.已知a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c垂直,则k=________.解析:a-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3),又a-2b与c垂直,∴k+3=0,∴k=-3.答案:-35.(2011·高考广东卷改编)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为________.解析:由线性约束条件画出可行域如图阴影部分,目标函数z=·=x+y,由图可知,目标函数的图象过点(,2)时,z最大值为4.答案:46.(2011·高考上海卷)在正三角形ABC中,D是边BC上的点,AB=3,BD=1,则·=________.5\n解析:如图,在△ABD中,由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos60°=7,∴AD=,cos∠BAD==,∴·=3××=.答案:7.a,b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的________条件.解析:f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b为一次函数⇒a⊥b且|a|≠|b|.答案:必要而不充分8.(2012·常州质检)在△ABC中,有如下命题,其中正确的是________.①-=;②++=0;③若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形;④若·>0,则△ABC为锐角三角形.解析:在△ABC中,-=,①错误;若·>0,则∠B是钝角,△ABC是钝角三角形,④错误.答案:②③二、解答题9.(1)在等边三角形ABC中,D为AB的中点,AB=5,求·,||;(2)若a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)·(2a+3b)和|a+2b|.解:(1)·=||||cos〈,〉=5×5cos120°=-.∴=(+),∴||2=(+)2=(2+2+2·)=(25+25+2×5×5cos60°)=,∴||=.(2)∵a=(3,-4),b=(2,1),∴a-2b=(3,-4)-(4,2)=(-1,-6),2a+3b=(6,-8)+(6,3)=(12,-5),∴(a-2b)·(2a+3b)=-12+30=18.又∵a+2b=(3,-4)+(4,2)=(7,-2),∴|a+2b|==.10.已知两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°.(1)若向量2te1+7e2与向量e1+te2的方向相反,求实数t的值;(2)若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解:(1)由题意设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),5\n∴消去λ,解得2t2=7.若t=-,则λ=-;若t=,则λ=>0,则t=不合题意,舍去.∴当t=-时,2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为π,即这两个向量方向相反.(2)因为e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos60°=1,所以(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.因为这两个向量夹角为钝角,设夹角为θ,则有cosθ=∈,所以有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,且2te1+7e2与向量e1+te2不反向.当2t2+15t+7<0时,解得-7<t<-.又由(1)知t=-时,这两个向量的夹角为π.∴t的取值范围是∪.[B级 能力提升]一、填空题1.(2011·高考大纲全国卷改编)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,a-c和b-c的夹角为60°,则|c|的最大值为________.解析:如图,设=a,=b,=c,则=a-c,=b-c.∵|a|=|b|=1,∴OA=OB=1,又∵a·b=-,∴|a||b|cos∠AOB=-,∴cos∠AOB=-,∴∠AOB=120°,又∵a-c和b-c的夹角为60°,而120°+60°=180°,∴O、A、C、B四点共圆,∴当OC为圆的直径时|c|最大,此时∠OAC=∠OBC=90°,∴Rt△AOC≌Rt△BOC, ∴∠ACO=∠BCO=30°.∴|OA|=|OC|,∴|OC|=2|OA|=2.答案:22.(2011·高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,5\nP是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.解析:以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x,∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.答案:53.(2012·苏州调研)如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点(包括端点),则·的取值范围是________.解析:设=λ(0≤λ≤1),=-,=+=+λ=(1-λ)+λ,∴·=[(1-λ)+λ]·(-)=λ2-(1-λ)2+(1-2λ)·.又∵2=1,2=4,·=-1,故·=λ-4(1-λ)-(1-2λ)=7λ-5,由于0≤λ≤1,故·的取值范围是[-5,2].答案:[-5,2]4.已知A(3,),O是原点,点P(x,y)坐标满足,则的取值范围是________.解析:作出可行域,和的夹角θ∈[,],所以=||cosθ=2cosθ∈[-3,3].答案:[-3,3]二、解答题5.已知点M(-1,0),N(1,0),点P使·,·,·成等差数列,且公差小于零.(1)点P的轨迹是什么曲线?(2)若点P坐标为(x0,y0),θ为与的夹角,求tanθ.解:(1)设P(x,y),由M(-1,0),N(1,0),得5\n=-=(-1-x,-y),=-=(1-x,-y),=-=(2,0),∴·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).于是·,·,·是公差小于零的等差数列,等价于即所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0),·=x+y-1=3-1=2,||·||=·==2,∴cosθ==,∵0<x0≤,∴<cosθ≤1,0≤θ<,∴sinθ==,∴tanθ====|y0|.6.如图所示,在Rt△ABC中,已知:||=a,若长为2a的线段PQ以A为中点.问:与的夹角为何值时,·的值最大?并求此最大值.解:在Rt△ABC中,·=0.因为=-,=-,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2+·-·=-a2+(-)=-a2+·=-a2+·=-a2+a2cosθ.当θ=0°时,·取得最大值0.5
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:34:38
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