高考数学总复习 第四章 第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用课时闯关（含解析） 新人教版

2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2010·高考湖南卷)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16　　　　　　　　　　B．－8C．8D．16解析：选D.如图，·＝(＋)·＝2＋·＝42＋0＝16.2．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1与F2，则|F1＋F2|为(　　)A．2.5B．4C．2D．5解析：选D.∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.3．(2012·辽阳调研)已知向量a＝(2,3)，b＝(－5，－1)，若ma＋nb(m≠0)与a垂直，则等于(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选C.∵(ma＋nb)·a＝0，∴(2m－5n,3m－n)·(2,3)＝4m－10n＋9m－3n＝0，∴＝1，故选C.4．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于(　　)A．4B．3C．2D．1解析：选A.∵|a|＝3，|a＋b|＝，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝13.∴9＋2×3|b|cos120°＋|b|2＝13.∴|b|2－3|b|－4＝0.∴|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．∴|b|＝4.5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴·2＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.故选C.二、填空题6．(2011·高考天津卷)已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6.4\n∵|a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6，∴cos〈a，b〉＝.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.答案：7．(2011·高考安徽卷)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．解析：法一：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5.法二：设＝x(0<x<1)，∴＝(1－x)，＝－＝－x，＝＋＝(1－x)＋，∴＋3＝＋(3－4x)，|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，∴|＋3|的最小值为5.答案：58．(2011·高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.解析：4\n由题意画出图形如图所示，取一组基底{，}，结合图形可得＝(＋)，＝－＝－，∴·＝(＋)·＝2－2－·＝－－cos60°＝－.答案：－三、解答题9．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．解：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴实数m≠时，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a的值；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－＝－.11．(探究选做)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若||＝||，求tanθ的值；(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin2θ的值．解：(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，∴＝(2sinθ－1，cosθ)，＝(2sinθ，cosθ－1)．4\n∵||＝||，∴＝.化简得2sinθ＝cosθ.∵cosθ≠0(若cosθ＝0，则sinθ＝±1，上式不成立)．∴tanθ＝.(2)∵＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sinθ，cosθ)，∴＋2＝(1,2)．∵(＋2)·＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴sinθ＋cosθ＝.∴(sinθ＋cosθ)2＝.∴sin2θ＝－.4