（福建专用）高考数学总复习 第四章第1课时 平面向量的概念及其线性运算课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习第四章第1课时平面向量的概念及其线性运算课时闯关（含解析）一、选择题1．下列结论中，不正确的是(　　)A．向量，共线与向量∥同义B．若向量∥，则向量与共线C．若向量＝，则向量＝D．只要向量a，b满足|a|＝|b|，就有a＝b解析：选D.根据平行向量(或共线向量)定义知A、B均正确；根据向量相等的概念知C正确，D不正确．2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a＋b＝0⇒a＝－b，所以a∥b；而a∥b，则a＝λb，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．3．已知：＝3(e1＋e2)，＝e1－e2，＝2e1＋e2，则下列关系一定成立的是(　　)A．A，B，C三点共线　　　　B．A，B，D三点共线C．C，A，D三点共线D．B，C，D三点共线解析：选C.＝2，所以C，A，D三点共线．4．(2012·厦门调研)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)A．a＋b　　　　　　　　　B.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B.＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)A.a＋bB.a＋bC.a＋bDa＋b5\n解析：选B.如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，∴＝.∴＝a＋b＋＝a＋b.二、填空题6．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①＝－a－b②＝a＋b③＝－a＋b④＋＋＝0解析：结合图形及向量加减法的几何意义，易得4个命题均是正确命题．答案：①②③④7．已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析：因为a＋b＋c＝＋＋＝＋.延长BC至E，使CE＝BC，连结DE.如图．由于＝＝，所以四边形ACED是平行四边形，所以＝，所以＋＝＋＝，所以|a＋b＋c|＝||＝2·||＝2||＝8.答案：88．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．解析：＝2＝2(λ＋μ)＝2λ＋2μ.∵M、B、C共线，∴2λ＋2μ＝1，λ＋μ＝.答案：三、解答题9．设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，5\n所以，共线．又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.10．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，F为CD上靠近D的三等分点，求，，.解：＝＋＝－3a＋2b，因D、E为的两个三等分点，故＝＝－a＋b＝，＝＋＝3a－a＋b＝2a＋b，＝＋＝2a＋b－a＋b＝a＋b，＝－＝a＋b－(2a＋b)＝－a＋b.一、选择题1．已知a、b是不共线的向量．如果＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为(　　)A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝0解析：选C.A、B、C三点共线的充要条件为＝λ，即λ1a＋b＝λa＋λλ2b，所以所以λ1λ2＝1.2．已知O是正三角形BAC内部一点，＋2＋3＝0，则△OAC的面积与△OBC的面积之比是(　　)A.B.C．2D.解析：选C.如图，在三角形ABC中，＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，5\n则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.则OC边上两所求三角形的高比为2∶1，所以＝＝2.二、填空题3．(2012·泉州调研)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．解析：∵＝＋，＝＋，∴2＝＋＋＋.又＝2，∴2＝＋＋＝＋＋(－)＝＋.∴＝＋，即λ＝.答案：4．已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||＝3.若点M在直线OB上，且|＋|的最小值为，则θ的值为________．解析：如图，作向量＝，则＋＝，其中点N在直线AC上变化，显然当ON⊥AC时，即点N到达H时，||有最小值，且∠OAH＝θ，从而sinθ＝＝，故θ＝或θ＝(根据对称性可知钝角也可以)．答案：或π三、解答题5．设i、j分别是平面直角坐标系Ox、Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，即＝λ，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.6．在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于M点，设＝a，＝b.5\n(1)试用a和b表示向量；(2)在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝λ，＝μ.求证：＋＝1.解：(1)设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b，∵A、M、D三点共线，∴与共线，∴＝，∴m＋2n＝1.①而＝－＝ma＋nb－a，＝－＝b－a＝－a＋b，∵C、M、B三点共线，∴与共线，∴＝，∴4m＋n＝1.②联立①、②解得m＝，n＝，故＝a＋b.(2)证明：∵＝－＝a＋b－λ＝a＋b－λa＝a＋b，∴＝－＝μ－λ＝－λa＋μb.∵与共线，∴＝.∴μ－λμ＝(－λ)，μ＋λ＝λμ.∴＋＝1.5