（福建专用）高考数学总复习 第五章第1课时 数列的概念与简单表示法课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习第五章第1课时数列的概念与简单表示法课时闯关（含解析）一、选择题1．(2012·泉州质检)一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数比上一行中数的个数多1个)：第1行1第2行2　3第3行4　5　6……则第11行中的第5个数是(　　)A．50　　　　　　　　　　　B．55C．60D．66解析：选C.由数表知前10行数的个数共有＝55个，故第11行中的第5个数是60.2．数列1,1＋2，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的一个通项an等于(　　)A．2n－1B．2n＋1－n－2C．2n－1D．2n－n解析：选A.通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.或代入检验第一项为1，第二项为3，即可排除B，C，D.3．下列说法正确的是(　　)A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C．数列{}的第k项为1＋D．数列0,2,4,6，…可记为{2n}解析：选C.由数列定义可知A、B错误；数列{}的第k项为＝1＋，故C正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为an＝2n－2，故D错，综上可知，应选C.4．(2012·宁德质检)已知数列{an}满足＝，则数列{an}是(　　)A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定解析：选D.∵＝<1.若a1>0，则an＋1＝an，∴{an}是递减数列；若a1<0，则{an}为递增数列．故数列{an}变化情况为不确定．5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，且满足16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数k的值是(　　)A．7B．8C．9D．10解析：选B.由ak＋ak＋1＝Sk＋1－Sk－1＝[(k＋1)2－7(k＋1)]－[(k－1)2－7(k－1)]＝4k－14，知16＜4k－14＜22，所以整数k＝8.二、填空题6．已知函数f(n)＝，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.解析：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝12－22＋32－42＋52＝1＋2＋3＋4＋5＝15.答案：155\n7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.答案：an＝8．数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N*)，且a2014＝2，则a2012＝________.解析：由anan＋1＝1－an＋1(n∈N*)，得an＝＝－1，又a2014＝2，∴a2013＝－1＝－，∴a2012＝－1＝－2－1＝－3.答案：－3三、解答题9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：an－an－1＝3n－2，由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，累加得：an－a1＝4＋7＋…＋3n－2＝＝，∴an＝(n≥2)．当n＝1时，1＝a1＝＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝.10．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，求an.解：∵an＋1＝Sn，∴an＝Sn－1(n≥2)，∴an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，∴an＋1＝an(n≥2)．又a1＝1，a2＝S1＝a1＝，∴{an}是从第二项起，公比为的等比数列，∴an＝一、选择题5\n1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*),则a8等于(　　)A．1B．－1C．5D．－5解析：选C.法一：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a8＝5.法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a8＝a2＝5.2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，　　　　　　　　　　…第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行第4个数(从左往右数)为(　　)A.B.C.D.答案：C二、填空题3．(2012·南平质检)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝5n2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________.解析：当n＝1时，a1＝T1＝512＝5；当n≥2时，an＝＝＝52n－1(n∈N*)．当n＝1时，也适合上式，所以当n∈N*时，an＝52n－1.答案：52n－1(n∈N*)4．数列{an}中，an＝，Sn＝9，则n＝________.解析：an＝＝－，∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9，∴n＝99.答案：99三、解答题5\n5．设数列{an}的前n项和为Sn，已知＋＋…＋＝(n∈N*)．(1)求S1，S2及Sn；(2)设bn＝an，若对一切n∈N*，均有k∈(，m2－6m＋)，求实数m的取值范围．解：(1)依题意，n＝1时，S1＝2，n＝2时，S2＝6.∵＋＋…＋＝.①n≥2时，＋＋…＋＝，②①－②，得＝－.∴Sn＝n(n＋1)．上式对n＝1也成立，∴Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)由(1)知，Sn＝n(n＋1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.∵a1＝2，∴an＝2n(n∈N*)．∴bn＝n.∵＝，∴数列{bn}是等比数列．则k＝＝.∵随n的增大而增大，∴≤k＜.依条件，得即∴m＜0或m≥5.6．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.又由a>0得a＝4，∴f(x)＝x2－4x＋4.∴Sn＝n2－4n＋4.当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.∴an＝由1－＝可知，当n≥5时，恒有an>0.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，5\n即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，∴数列{cn}的变号数为3.5