（江苏专用）高考数学总复习 第五章第2课时 等差数列课时闯关（含解析）

（江苏专用）2013年高考数学总复习第五章第2课时等差数列课时闯关（含解析）[A级　双基巩固]一、填空题1．(2011·高考江西卷改编)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝________.解析：∵S10＝S11，∴a11＝0，又∵a11＝a1＋10d，∴a1＝20.答案：202．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…a7等于________．解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.答案：283．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于________．解析：∵a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，∴d＝2，Sn＝－11n＋×2.∴Sn＝n2－12n＝(n－6)2－36.显然，当n＝6时，Sn取得最小值．答案：64．(2012·常州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是________．解析：∵Sn＝，∴＝，由－＝1得，－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.答案：25．设等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn，S5＝15，则S10＝________.解析：S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S5＋S5＋5d×5＝2S5＋25＝55.答案：556．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为________．解析：设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件得，解得.所求5个数分别为－，，1，，或，，1，，－.故它们的积为－.4\n答案：－7．若a≠b，数列a，x1，x2，b和数列a，y1，y2，y3，b都是等差数列，则的值为________．解析：设两个数列的公差分别为d1和d2，则b＝a＋3d1，∴d1＝，即x2－x1＝.b＝a＋4d2，∴d2＝，即y2－y1＝.∴＝.答案：8．(2010·高考浙江卷)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．解析：∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.∵a1，d为实数，∴Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，∴d2≥8.解得d≤－2或d≥2，则d的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)二、解答题9．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵an＝4－，∴an－2＝.∴＝＝＝＋，即bn－bn－1＝.∴数列{bn}是公差为的等差数列．(2)由(1)b1＝＝，∴bn＝＋(n－1)·＝n.∴＝n，∴an＝.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由．解：(1)由题意，有整理得解得－<d<－3.(2)∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…，而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，4\n∴a6>0.∴数列{an}的前6项的和S6最大．[B级　能力提升]一、填空题1．(2011·高考四川卷改编)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝________.解析：设数列{bn}的首项为b1，公差为d，则由得，解得，∴bn＝2n－8.又∵bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b2＋b1＋a1＝＋3＝3.答案：32．已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈N*)．若a1>1，a4>3，S3≤9，则通项公式an＝________.解析：由a1>1，a4>3，S3≤9得，，令x＝a1，y＝d得，，在平面直角坐标系中作出可行域可知，符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1，所以an＝2＋n－1＝n＋1.答案：n＋13.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn.若对任意的自然数n都有＝，则＋＝________.解析：＋＝＋＝＝＝＝.答案：4．设数列{an}是项数为20的等差数列，公差d∈N*，且关于x的方程x2＋2dx－4＝0的两个实数根x1、x2满足x1<1<x2，则数列{an}的偶数项之和减去奇数项之和的结果为________．解析：记f(x)＝x2＋2dx－4，则函数f(x)的图象与x轴的两个交点分别在点(1,0)的两侧，注意到f(x)图象的开口向上，故f(1)<0，d<.又d∈N*，故d＝1，又a2n－a2n－1＝d，所以(a20＋a18＋a16＋…＋a2)－(a19＋a17＋a15＋…＋a1)＝(a20－a19)＋(a18－a17)＋…＋(a2－a1)＝10d＝10.答案：10二、解答题5．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(1)判断数列{}是否为等差数列；(2)若λan＋≥λ对任意n≥2的正整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)由3anan－1＋an－an－1＝0得－＝3，且n≥2，所以{}是公差等于3的等差数列．4\n(2)由(1)得＝＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，于是an＝.将an＝代入不等式λan＋≥λ，并整理得λ(1－)≤3n＋1，所以λ≤，所以原命题等价于该式对n≥2恒成立．令cn＝，则cn＋1－cn＝>0，所以cn＋1>cn，所以当n＝2时，cn取得最小值为c2＝，故实数λ的取值范围是(－∞，]．6．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)若首项a1＝，公差d＝1，求满足Sk2＝(Sk)2的正整数k；(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立．解：(1)当a1＝，d＝1时，Sn＝n2＋n.由Sk2＝(Sk)2，得k4＋k2＝(k2＋k)2，即k3(k－1)＝0.又k≠0，所以k＝4.(2)设Sn＝an2＋bn，根据题意，得ak4＋bk2＝a2k4＋2abk3＋b2k2，化简得：(a－a2)k4－2abk3＋(b－b2)k2＝0，因为对一切正整数k恒成立，所以解得所以Sn＝0或Sn＝n或Sn＝n2.若Sn＝0⇒an＝0，即0,0,0，…，0，…；若Sn＝n⇒an＝1，即1,1,1，…，1，…；若Sn＝n2⇒an＝2n－1即1,3,5，…，2n－1.经检验，以上3个数列均满足要求．4