(江苏专用)高考数学总复习 第十章第2课时 古典概型课时闯关(含解析)
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(江苏专用)2013年高考数学总复习第十章第2课时古典概型课时闯关(含解析)[A级 双基巩固]一、填空题1.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是________.解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线),包括10个基本事件,所以概率等于.答案:2.(2012·苏州质检)一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为________.解析:基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为.答案:3.(2012·合肥质检)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是________.解析:∵A∩B=B,∴B可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当B=∅时,a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b.当B={1,2}时,满足条件是a,b为a=3,b=2.当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b.∴A∩B=B的概率为=.答案:4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.解析:在5个长度中一次随机抽取2个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10种情况.满足长度恰好相差0.3m的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2种情况,所以它们的长度恰好相差0.3m的概率为P==.答案:5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是________.解析:由题意(m,n)的取值情况共有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6)共有36种情况,而满足点P(m,n4\n)在直线x+y=4上的取值情况有(1,3),(2,2),(3,1)共3种情况,故所求概率为=.答案:6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为P点的坐标,则点P在圆x2+y2=25内的概率为________.解析:由题意知,满足点P在圆x2+y2=25内的坐标为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2),共13个,而连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为P点的坐标共有36个,∴P=.答案:7.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为α,则α∈的概率为________.解析:当α∈,得cosα≥0,从而a·b=m-n≥0.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1、2;当m=3时,n=1、2、3;…;当m=6时,n=1、2、3、4、5、6.故所求概率为=.答案:8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记“两次向上的数字之和等于m”为事件A,则P(A)最大时,m=________.解析:m可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1,∴7对应的事件发生的概率最大.答案:7二、解答题9.(2012·镇江调研)从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.(1)求所选2人中恰有一名男生的概率;(2)求所选2人中至少有一名女生的概率.解:记2名女生为a1,a2,3名男生为b1,b2,b3,从中选出2人的基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10种.(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A,则A包含的事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6种,∴P(A)==,故所选2人中恰有一名男生的概率为.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B,则B包含的事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共7种,∴P(B)=,故所选2人中至少有一名女生的概率为.10.在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种洗涤剂时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为1,2,3,4,5,6的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X4\n表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率.解:法一:(有序模式)设试验中先取出x,再取出y(x,y=1,2,3,4,5,6),试验结果记为(x,y),则基本事件列举有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30种结果,事件X结果有(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),故P(X)==.法二:(无序模式)设任取两种添加剂记为(x,y)(x,y=1,2,…,6),基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),…,(5,6)共15种.事件X取法有(1,5),(2,4),故P(X)=.[B级 能力提升]一、填空题1.曲线C的方程为+=1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=________.解析:试验中所含基本事件个数为36;若表示椭圆,则前后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则m>n,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)==.答案:2.(2011·高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.解析:采用列举法:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2个,所以所求的概率为.答案:3.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”,“08”和“北京”的字块,如果婴儿能够排成“2008北京”或“北京2008”,则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是________.解析:“20”,“08”,“北京”三字块的排法共有“2008北京”、“20北京08”、“0820北京”、“08北京20”、“北京2008”、“北京0820”6种情况,而得到奖励的情况有2种,故婴儿能得到奖励的概率为=.答案:4.已知一组抛物线y=ax2+bx+1,其中a为2,4,6,8中任取的一个数,b为1,3,5,7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x=1交点处的切线互相平行的概率是________.解析:抛物线只有4×4=16(条),从中任取两条有120种不同取法,∵y′=ax+b在x=1处的斜率为a+b.故符合a+b=3,只有0对,a+b=5共有1对,a+b=7有3对,a4\n+b=9有6对,a+b=11有3对,a+b=13只有1对,∴共有14对,P==.答案:二、解答题5.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率;(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率.解:设从甲、乙两个盒子中各取1个小球,其标号分别记为x、y,用(x,y)表示抽取结果,则所有可能结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种.(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种.故所求概率P==.(2)所取两个小球上的标号和能被3整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5种.故所求概率P=.6.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a、b.(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;(2)将a、b、5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.解:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a、b,则事件总数为6×6=36.∵直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是=1,即:a2+b2=25,且a、b∈{1,2,3,4,5,6},∴满足条件的情况只有a=3,b=4;a=4,b=3两种情况.∴直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是=.(2)∵三角形的一边长为5,∴当a=1时,b=5,即(1,5,5),共1种情况;当a=2时,b=5时,即(2,5,5),共1种情况;当a=3时,b=3,5,即(3,3,5),(3,5,5),共2种情况;当a=4时,b=4,5,即(4,4,5),(4,5,5),共2种情况;当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,即(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5),共6种情况;当a=6时,b=5,6,即(6,6,5),(6,5,5),共2种情况;故满足条件的不同情况共有14种,故三条线段能围成等腰三角形的概率为=.4
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