(福建专用)高考数学总复习 第九章第5课时 古典概型、几何概型课时闯关(含解析)
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(福建专用)2013年高考数学总复习第九章第5课时古典概型、几何概型课时闯关(含解析)一、选择题1.(2011·高考福建卷)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A.B.C.D.解析:选C.因为S△ABE=SABCD,则点Q取自△ABE内部的概率P==.故选C.2.(2010·高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )A.B.C.D.解析:选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法,从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法,由分步计数原理知共有5×3=15种选法.而满足b>a的选法有:当b=3时,a有2种,当b=2时,a有1种,共有2+1=3种选法.由古典概型知b>a的概率P==,故选D.3.(2012·福州调研)在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-与之间的概率为( )A.B.C.D.解析:选D.∵-1≤x≤1,∴-≤≤.由-≤sin≤,得-≤≤,即-≤x≤1.故所求事件的概率为=.4.连掷两次骰子分别得到点数m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.B.5\nC.D.解析:选A.∵(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,∴m>n.基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).∴P==,故选A.5.(2012·山东临沂质检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为α,则α∈的概率为( )A.B.C.D.解析:选D.当α∈(0,],得cosα≥0,从而a·b=m-n≥0.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1、2;当m=3时,n=1、2、3…;当m=6时,n=1、2、3、4、5、6.故所求概率为=.二、填空题6.(2011·高考福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于________.解析:所取出的2个球颜色不同的概率P===.答案:7.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记“两次向上的数字之和等于m”为事件A,则P(A)最大时,m=________.解析:m可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1,∴7对应的事件发生的概率最大.答案:78.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω内随机投一点P,则点P落在区域A内的概率为________.解析:首先在平面直角坐标系中作出集合Ω和集合A所表示的平面区域如图,结合图象可知所求概率应为P===.答案:三、解答题9.(2010·高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.5\n解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率为P==.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.又满足条件n≥m+2的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-=.10.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.(1)求点P落在区域C:x2+y2≤10内的概率;(2)若以落在区域C内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率.解:(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)九个,而这些点中,落在区域C内的点有:(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)四个,∴所求概率为P1=.(2)∵区域M的面积为4,而区域C的面积为10π,∴所求概率为P2==.一、选择题1.第16届广州亚运会的吉祥物取名“乐洋洋”,形象是运动时尚的五只羊,分别取名“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”、“乐洋洋”,表达了广州亚运会将给亚洲人民带来“祥和如意乐洋洋”的美好祝愿,甲、乙两位好友分别从同一组吉祥物中各随机选择一个留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择,则在这两位好友所选择的吉祥物中,“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的概率为( )A.B.C.D.解析:选C.甲、乙两位好友选择吉祥物的方法共有5×4=20(种),而“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的选法有CCC=12(种),则“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的概率为=,选择C.2.(2012·漳州质检)甲乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A.B.5\nC.D.解析:选D.甲想一数字有3种结果,乙猜一数字有3种结果,基本事件总数为3×3=9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A,则A的对立事件B为“|a-b|>1”,即|a-b|=2,包含2个基本事件,∴P(B)=,∴P(A)=1-=.二、填空题3.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是__________.(结果用分数表示)解析:基本事件总数为C.∵B、C、D三点共线,A、C、E、F四点共线,∴从六个点中任取三点能构成三角形的取法共有C-C-C(种),故所求概率为P==.答案:4.(2012·泉州质检)向面积为9的△ABC内任投一点P,那么△PBC的面积小于3的概率是________.解析:如图,由题意,△PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED内,∵=2,∴S△ADE=4,∴S梯形BCED=5,∴P=.答案:三、解答题5.(2012·厦门质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.解:(1)由题意可知:=,解得n=2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.∴P(A)==.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点,5\n则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B所构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},∴P(B)===1-.6.已知10件产品中有3件是次品.(1)任意取出3件产品进行检验,求其中至少有1件是次品的概率;(2)为了保证3件次品全部检验出的概率超过0.6,最少应抽取几件产品进行检验?解:(1)任意取出3件产品进行检验,全部是正品的概率为=.故至少有一件是次品的概率为1-=.(2)设抽取n(3≤n≤10,且n∈N)件产品进行检验,则3件次品全部检验出的概率为=.由>0.6,得>·.整理得:n(n-1)(n-2)>9×8×6,∵n∈N,3≤n≤10,∴当n=9或n=10时上式成立.即为了保证3件次品全部检验出的概率超过0.6,最少应抽取9件产品进行检验.5
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