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(广东专用)2023高考数学总复习 第六章第七节 课时跟踪训练 理

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课时知能训练一、选择题                  1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式(  )A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3【解析】 验证当n=2时的不等式,即1++<2.【答案】 B2.已知f(n)=+++…+,则(  )A.f(n)中有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【解析】 项数为n2-(n-1)=n2-n+1.f(2)=++.【答案】 D3.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得(  )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】 由题意知,若当n=4时该命题成立,则可推得当n=5时该命题也成立,与已知矛盾.故当n=4时,该命题不成立.【答案】 C4.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为(  )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】 f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.【答案】 C5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是(  )A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立-4-\nC.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】 选项A、B的答案与题设中不等号方向不同,故A、B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;选项D符合题意.【答案】 D二、填空题6.设S(n)=1++++…+,则S(n+1)-S(n)=________________.【解析】 ∵Sn+1=1++…+++…+,Sn=1++++…+,∴Sn+1-Sn=++…+.【答案】 +++…+7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1(n∈N*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an=________.【解析】 ∵a1=1,∴a2=a1+1=,a3=a2+1=,a4=a3+1=.猜想an=.【答案】 8.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________(用n表示).【解析】 f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)=(n+1)(n-2).【答案】 5 (n+1)(n-2)三、解答题9.用数学归纳法证明下面的等式12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.【证明】 (1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0·=1,∴原等式成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1.-4-\n那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·[-k+2(k+1)]=(-1)k,∴n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)知对任意n∈N*有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.10.已知正数数列{an}中,前n项和Sn=(an+)(n∈N*),求a1,a2,a3并推测出{an}的通项公式,用数学归纳法证明.【解】 由S1=a1=(a1+)且a1>0,解得a1=1.由S2=a1+a2=(a2+)且a2>0,解得a2=-1.由S3=a1+a2+a3=(a3+)且a3>0,解得a3=-.推测an=-.证明如下:(1)当n=1时,等式成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,ak=-.这时,Sk=(ak+)=[(-)+]=.则由Sk+1=Sk+ak+1=(ak+1+),∴+ak+1=(ak+1+),得a+2·ak+1-1=0.解得ak+1=-(ak+1>0).因此,当n=k+1时结论也成立,由(1),(2)可知an=-对一切正整数n都成立.11.(2012·阳江模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*).证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.【解】 (1)由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,-4-\n所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),==b,解得r=-1.(2)证明 由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为··…·>.①当n=1时,左式=,右式=,左式>右式,结论成立.②假设n=k时,··…·>,则当n=k+1时,··…··>·=,要证当n=k+1时结论成立,只需证≥,即证≥,又=≥成立,故≥成立,所以,当n=k+1时,结论成立.由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立. -4-

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发布时间:2022-08-25 21:36:01 页数:4
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文章作者:U-336598

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