（广东专用）2023高考数学总复习 第六章第五节 课时跟踪训练 理

课时知能训练一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．3n－1B．4n－3C．n2D．3n－1【解析】　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】　C2．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值(　　)A.aB.aC.aD.a【解析】　正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，则有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a.【答案】　A3．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是(　　)A．(1)(2)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(1)(4)【解析】　由题意知，A是“|”，B是大正方形，C是“—”，D是小正方形，∴A*D为小正方形中有竖线，即为(2)，A*C为“＋”，即为(4)．【答案】　C4．在△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，AB＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，BC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝(　　)A.B.-4-\nC.D.【解析】　从结构形式上看，A、D都符合类比推理的要求，但题中要求的是正确结论，所以还需要验证或证明．事实上，我们将四面体S－ABC以SA，SB，SC为三边可以补成一个长方体，四面体的外接球半径为长方体对角线长的一半，所以选A.【答案】　A5．(2012·南昌模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)A．289B．1024C．1225D．1378【解析】　由图形的规律可知，第n个三角形数为1＋2＋3…＋n＝，第n个正方形数为n2，其中A、B、C都是正方形数，分别令它们等于求n，知1225是三角形数．【答案】　C二、填空题6．(2012·肇庆模拟)观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．【解析】　由所给等式可知，等式左边为(n＋2)2－n2，等式右边是首项为8，公差为4的等差数列，故第n个等式的右边为4(n＋1)，故这个等式为(n＋2)2－n2＝4(n＋1)．【答案】　(n＋2)2－n2＝4(n＋1)7．把正整数1,2,3,4,5,6…按某种规律填入下表.261014145891213…371115按照这种规律连续填写，2011出现在第________行第________列．【解析】　依题意知，这些数所出现的位置是以4为周期重复性地连续填入相应的位置；且从1开始的连续四个整数共填了3列．注意到2011＝4×502＋3，因此2011所填的位置与3所填的位置相对应，即应填在第三行；2011所填的位置应是第502×3＋2＝1508列，即2011出现在第3行第1508列．【答案】　3,15088．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝________.【解析】　∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)，即＝f(1)＝1.∴＝＝…＝＝＝1，-4-\n∴＋＋…＋＋＝1006×1＝1006.【答案】　1006三、解答题9．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝；sin215°＋sin275°＋sin2135°＝.【解】　猜想：sin2(α－)＋sin2α＋sin2(α＋)＝.证明　∵左＝(sinαcos－cosαsin)2＋sin2α＋(sinαcos＋cosαsin)2＝(sin2α＋cos2α)＝＝右，∴待证式成立．10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，试求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.【解】　(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋＋3＋3＋…＋＝n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.综上所述：Sn＝.11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】　如图所示，由射影定理-4-\nAD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.所以＝＋.猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．-4-