（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第四篇 三角函数、解三角形《第22讲　二倍角的三角函数》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第22讲　二倍角的三角函数》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2010·福建卷改编)计算1－2sin222.5°的值为________．解析　原式＝cos45°＝.答案　2．(2011·大纲全国卷)已知α∈，sinα＝，则tan2α＝____.解析　由α∈，sinα＝，得cosα＝－，tanα＝－，所以tan2α＝＝－.答案　－3．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．解析　由＝－(sinα＋cosα)＝－，得sinα＋cosα＝.答案　4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和为________．解析　f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，所以当sinx＝时，f(x)max＝；当sinx＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－.6\n答案　－5．已知函数f(x)＝cos2－sin2＋sinx，若x0∈且f(x0)＝，则cos2x0＝________.解析　f(x)＝cosx＋sinx＝sin，由f(x0)＝，得sin＝.又x0∈，所以x0＋∈，所以cos＝，所以cos2x0＝sin＝2sincos＝.答案　6．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为________．解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.答案　－7．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，则cos2α＝________.解析　由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝，cos2α＝2cos2－1＝－.答案　－二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知cos＝，x∈.(1)求sinx的值；(2)求sin的值．解　(1)因为x∈，所以x－∈，所以sin＝＝.所以sinx＝sin＝×＋×＝.6\n(2)因为cosx＝－＝－，所以sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－，所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.9．已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解　(1)因为f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为g(x)＝f＝2sin＝2sin，且x∈[0，π]，所以x＋∈，所以当x＋＝，即x＝时，g(x)取最大值2；当x＋＝，即x＝π时，g(x)取最小值－1.10．(2011·重庆卷)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解　f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x，由f＝f(0)，得－·＋＝－1，解得a＝2.因此f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin.当x∈时，2x－∈，f(x)为增函数．当x∈时，2x－∈，f(x)为减函数．故f(x)max＝f＝2，又因为f＝，f＝，所以f(x)min＝f＝.6\nB级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于________．解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋＝.答案　2．(2011·福建卷改编)若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝________.解析　由sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝，得cos2α＝.又α∈，所以cosα＝，tanα＝.答案　3．函数y＝sinxcosx－sin2x的最小正周期为________，最大值为________．解析　y＝sin2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin－.所以T＝π，f(x)max＝1－＝.答案　π　4．函数f(x)＝1－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的值域为________．解析　f(x)＝1－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝1－2sin2x＋4cos2xsin2x＝1－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2因为sin2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案　[0,4]5．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)等于________．解析　由＝1得＝1，∴tanα＝，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)6\n＝＝＝－1.答案　－16．(2011·南通调研)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝，则点C的坐标是________．解析　如图，α＋2β＝90°，sinα＝，cosα＝，所以sin(90°－2β)＝.即cos2β＝，从而2cos2β－1＝，cosβ＝，sinβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝3.所以直线OC的方程为y＝3x，于是由＝＝，且x＜0，得x＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案　(－1，－3)二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·山东省高考原创卷)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)求sinA＋cosC的取值范围．解　(1)因为m⊥n，所以m·n＝2sinB·2sin2－2＋cos2B＝0，即2sinB·－2＋cos2B＝0，所以sinB＝，又0＜B＜π，所以B＝或.(2)当B＝时，sinA＋cosC＝sinA＋cos＝sinA6\n－cosA＋sinA＝sinA－cosA＝sin.由于0＜A＜，所以sinA＋cosC∈.当B＝时，同理可得sinA＋cosC∈.8．已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；(2)若f＝，且α∈，求f(α)．解　(1)f(x)＝a·b＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)＝·(2cos2x＋2sinxcosx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.定义域为.(2)因为f＝2cos＝，所以cos＝，且2α＋∈，所以sin＝.所以f(α)＝2cos2α＝2cos＝2coscos＋2sinsin＝.6