（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第四篇 三角函数、解三角形《第17讲　弧度制与任意角的三角函数》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第17讲　弧度制与任意角的三角函数》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．若－＜α＜0，则点P(cosα，sinα)位于第________象限．解析　由－＜α＜0，得cosα＞0且sinα＜0，所以点P(cosα，sinα)位于第四象限．答案　四2．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．解析　＝tan300°＝－tan60°＝－.答案　－3．已知点P落在角α的终边上，且α∈[0,2π)，则α的值为________．解析　点P的坐标可化为，位于第四象限，且tanα＝－1，α∈[0,2π)，所以α＝.答案　4．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．解析　点Q的坐标为，即.6\n答案　5．(2010·苏中联考)若α角与角终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________．解析　由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)．又∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，＝，，，.答案　，，，6．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R＝10cm，则扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.解析　α＝60°＝，R＝10cm，l＝(cm)，S扇＝××10＝(cm2)．答案　　7．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是________．解析　点P在第一象限，其纵坐标y＝tanα＞0，因此α是第一、三象限角，且sinα＞cosα，α∈[0,2π]，∴＜α＜或π＜α＜.答案　∪二、解答题(每小题15分，共45分)8．若＋＝0，试判断cos(sinα)·sin(cosα)的符号．解　由题设，得＋＝0，所以sinα与cosα异号，则α在第二象限或第四象限．若α在第二象限，则0<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)<0，故cos(sinα)·sin(cosα)<0；若α在第四象限，则－1<sinα<0,0<cosα<1，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)>0，故cos(sinα)·sin(cosα)>0.9．(2011·苏州模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．6\n解　由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝－2，sinβ＝＝，cosβ＝＝，tanβ＝＝，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝·＋·＋(－2)×＝－1.10．已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα，tanα的值．解　因为P(x，－)(x≠0)，所以P到原点的距离r＝，又cosα＝x，故cosα＝＝x，因为x≠0，所以x＝±，故r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；当x＝－时，P点坐标为(－，－)，所以sinα＝－，tanα＝.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·东海中学模拟)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α6\n的最小正值为________．解析　将点的坐标化简得，它是第四象限的点，所以α最小正值为2π－＝.答案　2．(2008·四川)若0＜α＜2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是________．解析　如图所示，当α角终边位于直线AB左上侧时，有＜α＜.答案　3．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为________．解析　由已知tanα＝＝－tan＝tan.因为0＜3－＜，所以α＝3－.答案　3－4．(2012·南京调研)已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.解析　设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4(cm2)．答案　45．已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθ<sinθ}，那么E∩F的区间是________．解析　由单位圆的正、余弦线，容易得E＝，又由F可知，θ应在第二、第四象限，所以E∩F＝.答案　6\n6．(2011·常州模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为________．解析　因为r＝，所以cosα＝＝－，所以m＞0，所以＝，即m＝±.又m＞0，故m＝.答案　二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2008·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解　由题意，得cosα＝，cosβ＝，α，β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，因此tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1，又α＋2β∈，所以α＋2β＝.8．(2011·镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B(xB，yB)，设∠BAO＝β.6\n(1)用β表示α；(2)如果sinβ＝，求点B(xB，yB)的坐标；(3)求xB－yB的最小值．解　(1)∠AOB＝α－＝π－2β，所以α＝－2β.(2)由sinα＝，r＝1，得yB＝sinα＝sin＝－cos2β＝2sin2β－1＝2×2－1＝.由α为钝角，知xB＝cosα＝－＝－.所以B.(3)xB－yB＝cosα－sinα＝cos.又α∈，则α＋∈，cos∈.所以xB－yB的最小值为－.6