（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十一篇《第66讲　几何概型 》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第十一篇《第66讲　几何概型》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、选择题(每小题5分，共35分)1．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是________．解析　把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为P＝＝.答案　2．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为________．解析　面积为36cm2时，边长AM＝6cm，面积为81cm2时，边长AM＝9cm，∴P＝＝＝.答案　3．(2011·山东济南模拟)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________．解析　设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为＝.答案　4．(2011·南京外国语学校调研)如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．7\n解析　所求概率为P＝＝1－.答案　1－5．(2011·镇江调研)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则使得cos的值介于0到之间的概率为________．解析　在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0,1]区间，若使cos的值位于区间，取到的实数x应在区间∪内，根据几何概型的计算公式可知P＝＝.答案　6．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．解析　方程x2＋x＋n＝0，n∈(0,1)有实根⇔Δ＝1－4n≥0，即n≤.故所求概率为：.答案　7．(2011·宿迁联考)一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1,2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10,9，…，1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为________．解析　所求概率为P＝＝.答案　二、解答题(每小题15分，共45分)8．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．7\n解　弦长不超过1，即OQ≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.9．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．解　(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝＝.(2)m、n满足条件的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P＝＝.10．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．解　(1)设CM＝x，则0<x<a.(不妨设BC＝a)．7\n若∠CAM<30°，则0＜x＜a，故∠CAM<30°的概率为P＝＝.(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°，若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率为P＝＝.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析　如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝＝1－.答案　1－2．(2011·郑州模拟)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．7\n解析　设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.答案　3．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．解析　由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，∵a，b∈[0,1]，∴a≥b.∴画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为.答案　4．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析　如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.答案　5．(2011·南京模拟)在水平放置的长为5cm的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm的概率是________．解析　如图，由题意，得灯的悬挂点位于线段CD内，故所求概率为P＝＝.7\n答案　6．(2011·江苏南京模拟)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析　依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝＝.答案　二、解答题(每小题15分，共30分)7．(★)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．思路分析　由题意画出图象可求面积之比．解　如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝＝.【点评】解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.8．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率．解　(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6.7\n因落在圆x2＋y2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A)＝＝.(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B)＝＝.7