（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第三篇 导数及其应用《第16讲　导数的综合应用》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第三篇导数及其应用《第16讲　导数的综合应用》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为________cm.解析　设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.所以当h＝cm时，V最大．答案　2．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析　因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.答案　m<－3．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的________条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析　∵f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m.由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥8\n.故为充分必要条件．答案　充分必要4．(2011·辽宁改编)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．解析　令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0.∴g(x)＞0⇒x＞－1.答案　(－1，＋∞)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析　结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案　(－1,0)6．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析　设矩形的长为xm，则宽为：＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案　167．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案　(－2,2)二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)＝ex＋ax－1(a∈R，且a为常数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时，若方程f(x)＝0只有一解，求a的值；(3)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝ex＋a.当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数．当a＜0时，8\n由f′(x)＞0，得x＞ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；由f′(x)＜0，得x＜ln(－a)，f(x)在(－∞，ln(－a))上是单调减函数．综上，当a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．(2)由(1)知，当a＜0，x＝ln(－a)时，f(x)最小，即f(x)min＝f(ln(－a))，由方程f(x)＝0只有一解，得f(ln(－a))＝0，又考虑到f(0)＝0，所以ln(－a)＝0，解得a＝－1.(3)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即得ex＋ax≥e－x－ax恒成立，即ex－e－x＋2ax≥0恒成立．令h(x)＝ex－e－x＋2ax(x≥0)，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．又h′(x)＝ex＋e－x＋2a，且h′(x)≥2＋2a＝2＋2a，当x＝0时等号成立．①当a＞－1时，h′(x)＞0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．②当a＝－1时，若x＝0，h′(x)＝0，若x＞0，h′(x)＞0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．③当a＜－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋)，此时，若x∈(0，x1)，则h′(x)＜0，故h(x)在该区间为减函数．所以x∈(0，x1)时，h(x)＜h(0)＝0，与x≥0时，h(x)≥0恒成立矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是[－1，＋∞)．9．(2011·盐城市调研)如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[4,8]时的图象，图象的最高点为B，DF⊥OC，垂足为F.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问：点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？8\n解　(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，由图象知A＝，ω＝＝＝.将B代入到y＝·sin中，得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝－.故y＝sin.(2)在y＝sin中，令x＝4，得D(4,4)，所以曲线OD的方程为y2＝4x(0≤x≤4)．设点P(0≤t≤4)，则矩形PMFE的面积为S＝t(0≤x≤4)．因为S′＝4－，由S′＝0，得t＝，且当t∈时，S′＞0，则S单调递增，当t∈时，S′＜0，则S单调递减；所以当t＝时，S最大，此时点P的坐标为.10．(2011·洛阳模拟)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，且f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解　(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤.8\n故m的取值范围是.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·济宁模拟)一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析　S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案　30　4052．(2011·合肥二模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是________．解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1,0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1,0)上恒成立，∴∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝，∴a2＋b2≥d2＝，∴a2＋b2的取值范围为.答案　3．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.∴当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a.8\n∴，解得：－4＜a＜0.答案　(－4,0)4．(2010·江苏)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．解析　如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝x2(m2)，∴梯形的面积为－x2(m2)，∴s＝×(0＜x＜1)，∴s′＝×，令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.答案　5．已有函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)＜0的解集是________．解析　在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，图象关于y轴对称，f(x)＞0，∴x＜－1.答案　(－∞，－1)∪(0,1)6．(2012·广州模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，8\n因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案　4二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800.所以当x＝15cm时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.8．(★)(2011·金华模拟)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈8\n[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解　(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴∴－＜m＜－9.【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；,第二步：求函数f(x)的导数f′(x)；,第三步：求方程f′(x)＝0的根；,第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；,第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；,第六步：明确规范表述结论.8