（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第七篇 不等式《第42讲　基本不等式及其应用(2)》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第七篇不等式《第42讲　基本不等式及其应用(2)》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系为________．解析　p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.当a－2＝，即a＝3时取等号，q＝x2－2≤4，∴p≥q.答案　p≥q2．要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．解析　设鱼池的长、宽分别为x，，所以S＝(x＋6)＝432＋48＋＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝，即x＝18，＝24时等号成立．答案　24m　18m3．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析　由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案　44．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．解析　f(x)＞0，即32x－(k＋1)·3x＋2＞0，∴k＋1＜＝3x＋.∵x∈R，∴3x＞0，∴＝3x＋≥2，当且仅当3x＝时取等号．从而k＜－1＋2.8\n答案　(－∞，－1＋2)5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析　由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.答案　6．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析　由题意得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，得x＝∈，故f(x)的最小值为25，此时x＝.答案　25　7．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．解析　由ab－4a－b＋1＝0可得(a－1)(b－4)＝3.则a－1＝，由a－1＞0可得b＞4，从而a＝＋1，∴(a＋1)(b＋2)＝2(b－4)＋＋15≥15＋2＝27.当且仅当2(b－4)＝时，即b＝7时，等号成立．答案　27二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立．(1)求f(1)；(2)求f(x)的解析表达式；8\n(3)求证＞.解　(1)取x＝1，由1≤f(1)≤(1＋1)＝1，得f(1)＝1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(－1)＝0，f(1)＝1，∴∴a＋c＝b＝.∵f(x)≥x对x∈R恒成立，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0对x∈R恒成立．∴∴∵a＋c≥2≥2＝，当且仅当a＝c＝时，等号成立．∴f(x)＝x2＋x＋，即f(x)＝(x＋1)2.(3)证明　＝＞4＝4＝4＝＝.9．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解　设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm.连接BD，则在△CDB中，2＝b2＋a2－2abcos60°，8\n∴b＝，∴b＋2a＝＋2a，设t＝a－1，t≥－1＝0.4，则b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋4≥7，当且仅当3t＝时等号成立，解得t＝0.5＞0.4，∴当t＝0.5时，a＝1.5，b＝4.即当AB＝3m，CD＝4m时，建造这个支架的成本最低．10．(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解　(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD得＋＝解得H＝＝＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝，所以tan(α－β)＝8\n＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知正实数x，y满足x·y－(x＋y)＝1，则x＋y的最小值为________．解析　1＋(x＋y)＝x·y≤2，令x＋y＝t(t＞0)，则1＋t≤，所以t2－4t－4≥0，所以t≥2＋2.所以x＋y的最小值为2＋2.答案　2＋22．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．解析　由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”号成立，则＋的最大值为1.答案　13．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．解析　由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．所以＋＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4.答案　44．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，在D内任意x1，x2，…，xn，都有8\n≤f.若y＝sinx在(0，π)是凸函数，可以推出在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析　≤f＝f，所以(sinA＋sinB＋sinC)≤，所以sinA＋sinB＋sinC≤，即最大值为.答案　5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每辆客车营运________年，其运营的年平均利润最大．解析　＝－＋12≤－2＋12，当且仅当x＝，即x＝5时等式成立．答案　56．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站________km处．解析　依题意，设y1＝，y2＝k2×d，则有2＝，8＝k2×10，即有k1＝20，k2＝，从而这两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋d≥2＝8万元，当且仅当即d＝5km时，有这两项费用之和最小．答案　5二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知集合P＝，函数y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解，求实数a的取值范围．解　(1)由已知Q＝{x|ax2－2x＋2＞0}，若P∩Q≠∅，则说明在内至少有一个x值，使不等式ax2－2x＋2＞0成立，即在内至少有一个x值，使a＞－成立，8\n令u＝－，则只需a＞umin.又u＝－22＋，∴当x∈时，∈.从而u∈，∴a＞－4，∴a的取值范围是{a|a＞－4}．(2)方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解，则方程ax2－2x＋2＝4，即ax2－2x－2＝0在内有解，分离a与x，得a＝＋，故在内有x的值，使a＝＋成立．∵a＝＋＝22－，∴当x∈时，a∈，∴a的取值范围是.8．(2011·扬州调研)扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．解　(1)9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，所以9＝·(2BC＋x)·x，得BC＝－.由得2≤x＜6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)．(2)由y＝＋≤10.5，得3≤x≤4.8\n因为[3,4][2,6)．所以腰长x的范围是[3,4]．(3)y＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x＝2∈[2,6)时等号成立．故外周长的最小值为6米，此时腰长为2米.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8