（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第九篇 解析几何初步《第55讲　直线与圆的位置关系》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第九篇解析几何初步《第55讲　直线与圆的位置关系》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．解析　集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝＜1＝r，所以直线与圆相交，故A∩B的元素个数有2个．答案　22．(2011·山东济南调研(二))已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是________．解析　设圆心为C(m,0)(m＞0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0.答案　x2＋y2－4x＝03．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围是________．解析　若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有≤1，解得－2－≤a≤－2＋.答案　[－2－，－2＋]4．(2011·南通调研)若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．解析　h取最小值时，直线x＋y＋1＝0与圆O：(x－h)2＋(y－1)2＝1相切且在直线x＋y＋1＝0向右上方，所以＝1，h＝－2±，所以hmin＝－2.答案　－27\n5．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．解析　显然x＝2为所求切线之一．另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么＝2，k＝，即3x－4y＋10＝0.答案　x＝2或3x－4y＋10＝06．(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．解析　将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得，弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴＝，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝.答案　1或7．(2011·扬州中学最后冲刺)将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．解析　由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以＝，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案　－3或7二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．解　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.9．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；7\n(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解　(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则QM＝＝，当CQ⊥l1时，CQ取最小值，CQ＝＝4，此时QM的最小值为＝4.10．(2011·苏北四市调研)如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相交于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t＝1时，求出直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围．解　(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y＝1上．设圆C与x轴的交点分别为A、B.由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB＝.所以CA＝CB＝2.圆心C的坐标为(－2,1)，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1.由得或7\n不妨令M，N(0,1)．因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，所以·＝·(0,1)＝＝0，解得m＝2±.所以所求直线l方程为y＝(2＋)x＋1或y＝(2－)x＋1.(3)设直线MO的方程为y＝kx.由题意，知≤2，解得k≤.同理，得－≤，解得k≤－或k＞0.由(2)知，k＝0也满足题意．所以k的取值范围是∪.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析　切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.答案　2．若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号，∴＋的最小值为4.答案　43．(2011·湖南)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．7\n解析　(1)圆C圆心坐标为(0,0)、半径r＝2，l：4x＋3y－25＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝5.(2)如图所示，当OM＝3时，上的点满足到直线l的距离小于2.由平面几何知识可求得∠AOB＝60°，故所求概率为的长度与圆周长之比，所以所求概率为.答案　(1)5　(2)4．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析　画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d＜1，即0＜＜1，∴－13＜c＜13.答案　(－13,13)5．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．解析　如图，若MN＝2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－()2＝1.∵直线方程为y＝kx＋3，∴d＝＝1，解得k＝±.若MN≥2，则－≤k≤.答案　6．(2011·苏北四市调研)已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r＞0}，若点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要条件，则r的最大值是________．解析　由题意得B⊆A，所以r的最大值即为原点到直线x＋y＝1的距离d＝＝.7\n答案　二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解　(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由＝2，得k1＝0，k2＝－，从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d(d＞0)，则2＝2，得d＝1，从而1＝，得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，＝(0，y0)，∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)⇒x＝x0，y＝2y0.∵x＋y＝4，∴x2＋2＝4，即＋＝1.∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1,0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解　(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.7\n由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.所以AM·AN＝·＝·＝6为定值，故AM·AN是定值，且为6.7