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(江苏专用)2023高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第九篇 解析几何初步《第55讲 直线与圆的位置关系》理(含解析) 苏教版

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2013高考总复习江苏专用(理科):第九篇解析几何初步《第55讲 直线与圆的位置关系》(基础达标演练+综合创新备选,含解析)A级 基础达标演练(时间:45分钟 满分:80分)一、填空题(每小题5分,共35分)1.(2011·广东)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为________.解析 集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交,故A∩B的元素个数有2个.答案 22.(2011·山东济南调研(二))已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是________.解析 设圆心为C(m,0)(m>0),因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切,所以=2,整理得:|3m+4|=10,解得m=2或m=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即x2+y2-4x=0.答案 x2+y2-4x=03.若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则实数a的取值范围是________.解析 若直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,故有≤1,解得-2-≤a≤-2+.答案 [-2-,-2+]4.(2011·南通调研)若圆C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内,则h的最小值为________.解析 h取最小值时,直线x+y+1=0与圆O:(x-h)2+(y-1)2=1相切且在直线x+y+1=0向右上方,所以=1,h=-2±,所以hmin=-2.答案 -27\n5.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引切线的方程为________.解析 显然x=2为所求切线之一.另设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,那么=2,k=,即3x-4y+10=0.答案 x=2或3x-4y+10=06.(2011·湖北)过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为________.解析 将圆的方程化成标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为(1,1),半径r=1.由弦长为得,弦心距为.设直线方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,∴=,化简得7k2-24k+17=0,∴k=1或k=.答案 1或7.(2011·扬州中学最后冲刺)将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为________.解析 由题意,得直线2(x+1)-y+λ=0,即2x-y+2+λ=0与圆(x+1)2+(y-2)2=5相切,所以=,λ-2=±5,所以λ=-3或λ=7.答案 -3或7二、解答题(每小题15分,共45分)8.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2时,求直线l的方程.解 将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2.解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.9.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足PA=2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;7\n(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解 (1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,由直线l2是此圆的切线,连接CQ,则QM==,当CQ⊥l1时,CQ取最小值,CQ==4,此时QM的最小值为=4.10.(2011·苏北四市调研)如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相交于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2,过点H(0,t)的直线l与圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程;(2)当t=1时,求出直线l的方程;(3)求直线OM的斜率k的取值范围.解 (1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1),所以圆心C在直线y=1上.设圆C与x轴的交点分别为A、B.由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1,得∠ACB=.所以CA=CB=2.圆心C的坐标为(-2,1),所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.(2)当t=1时,由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx+1.由得或7\n不妨令M,N(0,1).因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0),所以·=·(0,1)==0,解得m=2±.所以所求直线l方程为y=(2+)x+1或y=(2-)x+1.(3)设直线MO的方程为y=kx.由题意,知≤2,解得k≤.同理,得-≤,解得k≤-或k>0.由(2)知,k=0也满足题意.所以k的取值范围是∪.B级 综合创新备选(时间:30分钟 满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1.由直线y=x+1上的一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线,则切线长的最小值为________.解析 切线长的最小值在直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d==2,圆的半径为1,故切线长的最小值为==.答案 2.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是________.解析 圆(x+1)2+(y-2)2=4,∵弦长为4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b=1,∴+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时,取等号,∴+的最小值为4.答案 43.(2011·湖南)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________;(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________.7\n解析 (1)圆C圆心坐标为(0,0)、半径r=2,l:4x+3y-25=0,由点到直线的距离公式得d==5.(2)如图所示,当OM=3时,上的点满足到直线l的距离小于2.由平面几何知识可求得∠AOB=60°,故所求概率为的长度与圆周长之比,所以所求概率为.答案 (1)5 (2)4.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0<<1,∴-13<c<13.答案 (-13,13)5.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N两点,若MN≥2,则k的取值范围是________.解析 如图,若MN=2,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-()2=1.∵直线方程为y=kx+3,∴d==1,解得k=±.若MN≥2,则-≤k≤.答案 6.(2011·苏北四市调研)已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0},若点(x,y)∈A是点(x,y)∈B的必要条件,则r的最大值是________.解析 由题意得B⊆A,所以r的最大值即为原点到直线x+y=1的距离d==.7\n答案 二、解答题(每小题15分,共30分)7.已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程;(2)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;(3)圆C上有一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.解 (1)显然直线l的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),则由=2,得k1=0,k2=-,从而所求的切线方程为y=2和4x+3y-10=0.(2)当直线l垂直于x轴时,此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),这两点的距离为2,满足题意;当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d(d>0),则2=2,得d=1,从而1=,得k=,此时直线方程为3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1.(3)设Q点的坐标为(x,y),M点坐标是(x0,y0),=(0,y0),∵=+,∴(x,y)=(x0,2y0)⇒x=x0,y=2y0.∵x+y=4,∴x2+2=4,即+=1.∴Q点的轨迹方程是+=1,轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.8.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.解 (1)①若直线l1的斜率不存在,即直线是x=1,符合题意.②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0.7\n由得N.又直线CM与l1垂直,由得M.所以AM·AN=·=·=6为定值,故AM·AN是定值,且为6.7

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发布时间:2022-08-25 21:34:56 页数:7
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文章作者:U-336598

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