2022年中考数学二轮复习第三章函数课时训练十七二次函数的几何应用练习新版苏科版

课时训练(十七)　二次函数的几何应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·潍坊]如图K17-1,菱形ABCD的边长是4厘米,∠B=60°,动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(　　)图K17-111\n图K17-22.如图K17-3,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为(　　)图K17-3A.ab=-2B.ab=-3C.ab=-4D.ab=-53.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使△PMN的面积等于12的点P共有　　　　个. 4.[2022·长春]如图K17-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A'的横坐标为1,则A'C11\n的长为　　　　. 图K17-45.[2022·枣庄]如图K17-5①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图②是点P运动时,线段BP长度y随时间x变化的图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是　　　　. 图K17-56.如图K17-6,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,☉P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=　　　　(用含a的代数式表示). 图K17-67.[2022·龙东]如图K17-7,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B,C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC的面积分成2∶3的两部分,请直接写出P点坐标.11\n图K17-78.[2022·苏州]如图K17-8,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.图K17-811\n|拓展提升|9.[2022·鄂州]如图K17-9,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与t(s)之间的函数关系的图象大致是(　　)图K17-9图K17-1010.[2022·遂宁]如图K17-11,已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9x(x>0)的图象相交于点B,且B点的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点,P点是x轴上一动点,当PA+PB最小时,P点的坐标为　　　　. 图K17-1111\n参考答案1.D　[解析]当0≤t≤2时,点Q在BC上,此时BP=4-t,BQ=2t,S=12(4-t)·2tsin60°=-32t2+23t是开口向下的抛物线的一部分,可排除A和C;当2≤t≤4时,△BPQ中BP边上的高不变,始终为4sin60°=23,此时S=12(4-t)·23=-3t+43,面积随底边的减小而减小,最终变为0,故选择D.2.B　[解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).令y=0,得ax2+b=0,∴x=±-ba,∴A--ba,0,B-ba,0,∴AB=2-ba,BC=OC2+OB2=b2-ba.要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,∴2-ba=b2-ba,∴4×-ba=b2-ba,11\n∴ab=-3.∴a,b应满足关系式ab=-3.故选B.3.4　[解析]y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,S△PMN=12=12MN·|y|,可得y1=12,y2=-12.当y=12时,x=8±62;当y=-12时,x=8±22,所以共有四个点.4.3　[解析]如图,设A'C与y轴交于点D.∵点A与点A'关于点B对称,∴AB=A'B.又A'C∥x轴,∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,∴△ABO≌△A'BD,∴AO=A'D,∵点A'的横坐标为1,∴A'D=AO=1,11\n∴点A坐标为(-1,0).把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx得m=1,∴抛物线解析式为y=x2+x,∴点A'坐标为(1,2).令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,∴A'C=1-(-2)=3.5.12　[解析]动点P运动过程中:①当动点P在BC上时,BP由0到5逐渐增加,所以可得BC=5;②当动点P在AC上时,BP先变小后变大且当BP垂直于AC时,BP最小,为4.当P点运动到A点时,BP=5,所以可得AB=5,由题意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边AC上的高为4,当BP垂直于AC时,由勾股定理可得AP=CP=3,即AC=6,所以△ABC的面积=12AC·BP=12.6.14a　[解析]如图,连接PF.设☉P与直线y=-n相切于点E,连接PE.则PE⊥AE.∵动点P在抛物线y=ax2上,∴设P(m,am2).∵☉P恒过点F(0,n),∴PF=PE,即m2+(am2-n)2=am2+n.∴n=14a.7.解:(1)∵点A(0,2)在抛物线y=x2+bx+c上,∴c=2,∵抛物线对称轴为直线x=-2,∴-b2×1=-2,∴b=4,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+2.11\n(2)点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).提示:∵抛物线对称轴为直线x=-2,BC∥x轴,且BC=6,∴点C的横坐标为6÷2-2=1,把x=1代入y=x2+4x+2得y=7,∴C(1,7),∴△ABC中BC边上的高为7-2=5,∴S△ABC=12×6×5=15.令y=7,得x2+4x+2=7,解得x1=1,x2=-5,∴B(-5,7),∴AB=52.设直线CP交AB于点Q,∵直线CP将△ABC的面积分成2∶3的两部分,∴符合题意的点P有两个,对应的点Q也有两个.①当AQ1∶BQ1=2∶3时,作Q1M1⊥y轴,Q1N1⊥BC,则AQ1=22,Q1M1=2,BQ1=32,Q1N1=3,Q1(-2,4),∵C(1,7),∴直线CQ1的解析式为y=x+6,令y=0,则x=-6,∴P1(-6,0);②当BQ2∶AQ2=2∶3时,作Q2M2⊥y轴,Q2N2⊥BC,则AQ2=32,Q2M2=3,BQ2=22,Q2N2=2,Q2(-3,5),∵C(1,7),∴直线CQ2的解析式为y=12x+132,令y=0,则x=-13,∴P2(-13,0).综上,点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).8.解:(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.∵点A位于点B的左侧,∴A(-2,0).∵直线y=x+m经过点A,∴-2+m=0,∴m=2,∴D(0,2).∴AD=OA2+OD2=22.(2)∵新抛物线经过点D(0,2),∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,∴y=x2+bx+2=x+b22+2-b24.11\n∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.∴2-b24=-b2-4,整理得b2-2b-24=0,解得b1=-4,b2=6.∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.9.A　[解析]由题意可知0≤t≤6,当0≤t<2时,如图①所示,S=12BP·CQ=12t·2t=t2;当t=2时,如图②所示,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=12BP·CQ=12×2×4=4;当2<t≤6时,如图③所示,点Q在AD上运动,S=12BP·CD=12t·4=2t.故选A.10.125,0　[解析]∵B点的横坐标为3,且点B在反比例函数y=9x的图象上,∴B(3,3).∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B,C两点,∴9a-12+c=3,c=6,解得a=1,c=6,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+6=(x-2)2+2,11\n∴抛物线的顶点A的坐标为(2,2),∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为(2,-2).设A'B所在的直线解析式为y=kx+b,则2k+b=-2,3k+b=3,解得k=5,b=-12,∴直线A'B的解析式为y=5x-12,令y=0,解得x=125,∴直线A'B与x轴的交点坐标为125,0.根据两点之间线段最短,可得当P的坐标为125,0时,PA+PB最小.故答案为125,0.11