2022年中考数学二轮复习第三章函数课时训练十五二次函数与一元二次方程及不等式练习新版苏科版

课时训练(十五)　二次函数与一元二次方程及不等式(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·无锡梁溪区初三模拟]已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根,若a<b,则下列判断正确的是(　　)A.a<m<b<nB.m<a<n<bC.a<m<n<bD.m<a<b<n2.如图K15-1,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是(　　)图K15-1A.b2>4acB.ax2+bx+c≥-611\nC.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>nD.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-13.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是(　　)A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<24.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为　　　　. 5.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=　　　　;当1<x<2时,y随x的增大而　　　　(填写“增大”或“减小”). 6.关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范围是　　　　. 7.[2022·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.11\n8.[2022·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.9.[2022·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?11\n|拓展提升|10.[2022·贵阳]已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图K15-2所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是(　　)图K15-2A.-254<m<3B.-254<m<2C.-2<m<3D.-6<m<-211.[2022·日照]在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mx(m<11\n0)的图象与y=x2-4的图象在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为　　　　. 12.[2022·舟山]已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图①,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1.根据图象,写出x的取值范围.(3)如图②,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C14,y1,D34,y2都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.图K15-311\n参考答案1.D2.C　[解析]点(-2,m)关于对称轴的对称点是(-4,m),在对称轴x=-3左侧,图象从左向右下降,所以点(-5,n)在点(-4,m)的上方,所以n>m,故选C.3.D　[解析]根据二次函数的图象经过点(2,0),且对称轴为直线x=-1,可得函数的图象与x轴的另一个交点为(-4,0),由于a<0,所以抛物线开口向下,当y>0时,函数图象在x轴上方,由图象可知x的取值范围是-4<x<2,故选D.4.-1或2或1　[解析]∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,∴当函数为二次函数时,b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0,解得a1=-1,a2=2,当函数为一次函数时,a-1=0,解得a=1.故答案为-1或2或1.5.-1　增大　[解析]当y=0时,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,可得二次函数图象的对称轴是直线x=-1.因为二次项系数a=1>0,所以抛物线开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大.故答案为-1　增大.11\n6.-94<a<-2　[解析]∵ax2-3x-1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=9+4a>0.∴a>-94.又∵两个不相等的实数根都在-1和0之间,∴当x=-1和x=0时的函数y=ax2-3x-1的值同号.∵当x=-1时,y=a+2;当x=0时,y=-1.∴a+2<0,即a<-2.综上所述a的取值范围为-94<a<-2.7.解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-1m,x2=5.由|x1-x2|=6,得-1m-5=6.解得m=1或m=-111.(3)由(2)得,当m>0时,m=1.此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线x=2.由题意知,P,Q关于直线x=2对称.∴a+a+n2=2,∴2a=4-n.∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.8.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).11\n∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=--2a2a=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥13.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-43.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:11\n综上,a的取值范围是a≥13或a<-43或a=-1.9.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.10.D　[解析]在抛物线y=-x2+x+6中,令y=0时,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即抛物线y=-x2+x+6与x轴交点坐标分别为(-2,0),(3,0).∵抛物线y=-x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,∴此时新抛物线y=x2-x-6(y<0)与y轴交点坐标为(0,-6).当直线y=-x+m过(-2,0),(0,-2)时,m=-2.此时直线y=-x+m与x轴下方图象只有三个交点.如图所示,要使直线y=-x+m与新图象有4个交点,需y=-x+m与y=x2-x-6有两个交点,则-x+m=x2-x-6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6时,直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6有两个交点,m的取值范围是-6<m<-2.11.-2≤m<-1　[解析]当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.所以在第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mx(m<0)的图象经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2个,当反比例函数y=mx(m<0)的图象经过点(1,-1),即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为3个,∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,∴m的取值范围为-2≤m<-1.12.[解析](1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),将坐标代入y=4x+1,问题得解;11\n(2)由题意知B(0,5),二次函数图象过点B,代入解析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图象比较大小;(3)先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,再根据抛物线的对称性和增减性解决y1,y2大小关系.解:(1)∵点M坐标是(b,4b+1),∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上.(2)如图①,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B坐标为(0,5).又∵B(0,5)在抛物线上,∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b1=b2=2,∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1.∴A(5,0).观察图象可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.(3)如图②,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB表达式为y=-x+5,解方程组y=4x+1,y=-x+5,得x=45,y=215,∴点E45,215,又∵F(0,1).点M在△AOB内,∴0<b<45.11\n当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-14=34-b,∴b=12.且二次函数图象的开口向下,根据二次函数图象的对称性和增减性可知.①当0<b<12时,y1>y2;②当b=12时,y1=y2;③当12<b<45时,y1<y2.11