【中考12年】江苏省南京市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（江苏省南京市2022年2分）反比例函数的图象的两个分支分别位于【】A、第一、二象限　　B、第一、三象限C、第二、四象限　　D、第一、四象限　【答案】B。【考点】反比例函数的性质。【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限。因此，∵k≠0，∴k2＞0，∴图象两个分支分别位于第一、三象限。故选B。2.（江苏省南京市2022年2分）抛物线的顶点坐标是【】．（A）（1，1）（B）（－1，l）（C）（1，－1）（D）（－1，－1）【答案】A。【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数的顶点式是：（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标为（h，k），直接写出顶点坐标：因为是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1，1）。故选A。3.（江苏省南京市2022年2分）抛物线y=（x﹣2）2的顶点坐标是【】A、（2，0）B、（﹣2，0）C、（0，2）D、（0，﹣2）【答案】A。【考点】二次函数的性质。【分析】已知抛物线y=（x﹣2）2是顶点式，直接写出顶点坐标：（2，0）。故选A。4.（江苏省南京市2022年2分）反比例函数=的图象位于【】A、第一、二象限B、第一、三象限C、第二、三象限D、第二、四象限【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】对于反比例函数，当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限。因此，∵k=－2＜0，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。故选D。23\n5.（江苏省南京市2022年2分）二次函数的最小值是【】A、2B、2C、1D、1【答案】B。【考点】二次函数的最值。【分析】抛物线开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值。故选B。7.（江苏省南京市2022年2分）已知反比例函数的图象经过点P（－2，1），则这个函数的图象位于【】A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【答案】C。【考点】反比例函数的性质，待定系数法【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解：∵图象过P（－2，1），∴k=xy=－2＜0。∴函数图象位于第二，四象限。故选C。8.（江苏省南京市2022年2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，）(＞2)，半径为2，函数的图象被⊙P的弦AB的长为，则的值是【】23\nA．B．C．D．9.（2022江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【】A.-2B.-1C.1D.2【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。二、填空题1.（江苏省南京市2022年2分）点A（1,m）在函数y=2x的图像上，则点A关于x轴的对称的点坐标是▲.【答案】（1，－2）·【考点】直线上点的坐标与方程的关系，关于x轴对称的点的坐标。23\n【分析】首先根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系求出m的值，然后根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出结果：∵点A（1,m）在函数y=2x的图像上，∴m=2×1=2。∴点A（1，2）关于x轴的对称点的坐标是（1，－2）·2.（江苏省2022年3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。3.（江苏省南京市2022年2分）若反比例函数的图象经过点（－2，－1），则这个函数的图象位于第▲象限．【答案】一、三。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的意义。【分析】设该反比例函数的关系式为，根据题意得，所以k=2＞0，因此该反比例函数位于第一、三象限。4.（江苏省南京市2022年2分）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为▲．【答案】。【考点】一次函数和反比例函数图象，曲线上点的坐标与方程的关系，等量代换。【分析】∵函数与的图象的交点坐标为，∴。∴。∴。5.（2022江苏南京2分）已知一次函数的图像经过点（2，3），则的值为▲【答案】2。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（2，3）代入，得23\n，解得，k=2。三．解答题2.（2022江苏南京7分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10-3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服药后，（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？【答案】解：（1）当x≤2时，设y=kx，把（2，6）代入上式，得k=3。∴x≤2时，y=3x。当x≥2时，设y=mx+n，23\n把（2，6），（10，3）代入上式，得：，解得：。∴x≥2时，。（2）把y=3代入y=3x，可得x=1，由图象可知：逐步衰减时，当x=10时，y=3。∴10－1=9。∴这个有效时间是9小时。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，注意当x＜2时y与x成正比例函数，当x＞2时y与x成一次函数关系。（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为3微克是在两个函数图象上都有，所以把y=3，代入y=3x，求得开始到有效所用的时间，由图象可知衰减过程中y=3时的时间，求其差即可求得答案。3.（江苏省南京市2022年6分）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）是气温x（0C）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速：气温x（0C）05101520音速y（米/秒）331334337340343（1）求y与x之间的函数关系式；（2）气温x=22（0C）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？【答案】解：（1）根据表中数据画图象可知y与x成一次函数关系，故设y=kx+b，取两点（0，331），（5，334）代入关系式得，解得。∴所求函数关系式为y=x+331。（2）把x=22代入y=x+331，得y=×22+331=，且×5=1721。∵光速非常快，传播时间可以忽略，∴此人与燃放烟花的所在地相距约1721m。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。23\n【分析】（1）由表中的数据可知，温度每升高5℃，声速就提高3米/秒，所以y是x的一次函数，利用待定系数法即可求出该函数解析式；（2）令x=22，求出此时的声速y，然后利用路程=速度×时间即可求出该距离。4.（江苏省南京市2022年9分）已知抛物线(a,t是常数，a≠0,t≠0)的顶点是A，抛物线的顶点是B.（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。【答案】解：（1）由题意可知：A点的坐标为（t+1，t2），将A点的坐标代入抛物线中可得：∴A点在抛物线上。 （2）①由题意可知：B点坐标为（1，0），则有：，解得a=－1。②根据①可知：抛物线的解析式为。当y=0时，，解得x=1或x=2t+1设抛物线与x轴的交点为M，N，那么M点的坐标为（1，0），N点的坐标为（2t+1，0）。∴AM2=t2+t4，AN2=t2+t4，MN2=4t2。当△AMN是直角三角形时，AM2+AN2=MN2，即（t2+t4）×2=4t2，解得t=1或t=－1。∴能构成直角三角形，此时t的值为1或－1。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理。23\n【分析】（1）可将A点的坐标代入抛物线中，即可判断出A点是否在这条抛物线上。（2）①先根据抛物线得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线中即可求出a的值。②可先根据①得出的抛物线的解析式来求出抛物线与x轴两交点的坐标，然后求出这两点之间和这两点与A之间的线段的长度，由于A在这两交点的垂直平分线上，因此只有一种情况，即A为此等腰三角形的直角顶点，因此可根据勾股定理求出t的值。5.（江苏省南京市2022年5分）已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与轴的交点的个数【答案】解：根据题意，得，∴=1。∴这个二次函数解析式是。∵这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），∴该函数图象与x轴有两个交点。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线与轴的交点。【分析】首先将（1，－1）代入求出值，即可求出二次函数解析式。利用二次函数图象的性质可以解答与轴的交点的个数。6.（江苏省南京市2022年5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/）是它的体积V（）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1．43kg/．⑴求ρ与V的函数关系式；⑵求当V＝2时氧气的密度ρ．【答案】解：（1）依题意，设，∵当V=10时，ρ=1.43，∴，即k=14.3。∴ρ与V的函数关系式是。（2）把V=2代入得：ρ=7.15。∴当V=2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）。【考点】反比例函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。23\n【分析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案。7.（江苏省南京市2022年8分）如图．直线与x轴、y轴分别交于点M、N．⑴求M、N两点的坐标；⑵如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标。【答案】解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，，∴x=3。∴M（3，0），N（0，4）．（2）①当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P1与直线相切于点A，连接P1A，则P1A⊥MN，∴∠P1AN=∠MON=90°。∵∠P1NA=∠MNO，∴△P1AN∽△MON。∴。在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5。又∵P1A=，∴，即P1N=4。∴P1点坐标是（0，0）。②当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是（0，0）。③当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P3与直线上切于点B，连接P3B．则P3B⊥MN，∴OA∥P3B。．∵OA=P3B，∴P3M=OM=3，∴OP3=6。．∴P3点坐标是（6，0）。；④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4。．23\n∴OP4=8，∴P4点坐标是（0，8）。综上所述，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，【分析】（1）已知直线解析式，易求M，N点坐标。（2）分P点在y轴上，在N点的下方：在y轴上，在N点的上方；在x轴上，在M点的左侧；在x轴上，在M点的右侧四种情况讨论。根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标。8.（江苏省南京市2022年6分）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（pa）是它的受力面积Sm2的反比例函数，其图象如图所示．（1）求P与S之间的函数关系式；（2）求当S=0.5m2时物体承受的压强P．【答案】解：（1）设，∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，∴，解得k=100。∴P与S的函数关系式为。（2）当S=0.5m2时，（pa）。【考点】反比例函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】观察图象易知p与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点A的坐标可以求得p与S之间的函数关系式，并求得求当S=0.5m2时物体承受的压强P。9.（江苏省南京市2022年6分）（1）如果二次函数的图象经过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴；23\n（2）图象的对称轴是y轴的二次函数有无数个．试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴是y轴．10.（江苏省南京市2022年6分）某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b，另一部分与参赛的人数x（人）成正比，当x=20时，y=1600，当x=30时，y=2000．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果有50名运动员参赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需支付多少元？【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则，解得∴y与x的函数关系式为y=40x+800。（2）当x=50时，y=40×50+800=2800，∵全部费用由运动员分摊，∴。答：每名运动员需支付56元。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由于当x=20时，y=1600，当x=30时，y=2000，根据待定系数法列方程，求函数关系式。（2）先根据函数解析式求出有50名运动员参赛时的比赛总费用，再分摊给50名运动员即可。11.（江苏省南京市2022年8分）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量(升)与时间(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．23\n①求排水时与之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．【答案】解：（1）由图可知洗衣机的进水时间是4分钟清洗时洗衣机中的水量是40升。（2）①如图，设排水时任一时间P（，），∵排水速度为每分钟19升，∴，即整理，得。∴排水时与之间的关系式为（15＜x＜17）②∵排水的时间是2分钟，即=17。∴当=17时，。∴排水结束时洗衣机中剩下的水量是2升。【考点】一次函数的应用，根据实际问题列一次函数关系式，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图象可知0-4分时是进水时间，4-15分钟时时清洗时间，15分钟以后是放水的时间。（2）①根据图象中的信息和排水速度为每分钟19升列出等式即可。②排水的时间是2分钟，即=17，代入函数式即可求排水结束时洗衣机中剩下的水量。12.（江苏省南京市2022年8分）某块试验田里的农作物每天的需水量y(千克)与生长时间x(天)之间的关系如折线图所示.这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克.(1)分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；(2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？23\n【答案】解：（1）当x≤40时，设y=kx+b，由直线经过（10，2000），（30，3000）得，解这个方程组，得。∴当x＜40时，y与x之间的关系式是y=50x+1500.∴当x=40时，y=50×40+1500=3500。∵在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克，∴，整理，得y=100x－500。∴当x≥40时，y与x之间的关系式是y=100x－500。（2）∵当y≥4000时，y与x之间的关系式是y=100x－500，∴由100x－500≥4000得x≥45。∴应从第45天开始进行人工灌溉。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。【分析】（1）在x≤40时，设y=kx+b．把已知坐标代入求出k，b的值，求出y与x的函数关系式；在x≥40时，由在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克，列出等式而得到y与x的函数关系式。（2）令y≥4000，转化为不等式问题求解。13.（江苏省南京市2022年8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?【答案】解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴。∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x。∴EM=EF－MF=10－2x。∴。∴当x=时，S有最大值为。23\n【考点】二次函数综合题，矩形的性质，相似的性质，二次函数的性质。【分析】利用矩形相似，可得到比例线段，先设其中一段，MN=x，再利用面积公式可得到S关于x的二次函数，利用二次函数可求最大值。14.（江苏省南京市2022年7分）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．（1）分别求出和时与的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？【答案】解：（1）当时，与的函数表达式是；当时，与的函数表达式是，即。（2）∵小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，∴把代入中，得；把代入中，得；把代入中，得。∴。答：小明家这个季度共用水。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）由月用水量不超过20时，按2元／计费得出当时，与的函数表达式。（2）由月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按2.6元／计费得出当时，与的函数表达式。15.（江苏省南京市2022年8分）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：23\n…………（1）求该二次函数的关系式；（2）当为何值时，有最小值，最小值是多少？（3）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．【答案】解：（1）根据题意，当时，；当时，。∴，解得。∴该二次函数关系式为。（2）∵，∴当时，有最小值，最小值是1。（3）∵，两点都在函数的图象上，∴，。∴。∴当，即时，；当，即时，；当，即时，。【考点】待定系数法求二次函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）从表格中取出2组解，利用待定系数法求解析式。（2）利用顶点坐标求最值。（3）利用二次函数的单调性比较大小。16.（江苏省南京市2022年10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．23\n根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【答案】解：（1）900。（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇。（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h。（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为。设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得，解得。∴线段所表示的与之间的函数关系式为。自变量的取值范围是。（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把代入，得。23\n此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。【考点】一次函数综合和应用题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图可知，两车之间的距离开始和终了时相距900km，即甲、乙两地之间的距离为900km。（2）因为点在轴上，即此时两车之间的距离为0，慢车和快车相遇。（3）由图象慢车12h行驶的路程为900km，求出慢车的速度；根据慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km求出快车的速度。（4）求出点的坐标，用待定系数法即可求出线段所表示的与之间的函数关系式和自变量的取值范围（由点和点的横坐标确定）。（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h。由于，所以此时慢车在段上。因此，代入，求得慢车与第一列快车之间的距离（即两列快车之间的距离），除以速度，即得两列快车出发的间隔时间（即第二列快车比第一列快车晚出发时间）。17.（江苏省2022年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，23\n∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。（2）∵四边形是菱形，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。18.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）23\n【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。19.（江苏省南京市2022年7分）已知点A（1，1）在二次函数y=x2－2ax＋b的图象上．（1）用含a的代数式表示b；23\n（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【答案】解：（1）∵点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，∴1=1－2a＋b，可得b=2a。（2）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根。∴△=4a2－4b=4a2－8a=0，解得a=0或a=2。当a=0时，y=x2，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）；当a=2时，y=x2－4x＋4，这个二次函数的顶点坐标为（2，0）。∴这个二次函数的顶点坐标为（0，0）或（2，0）。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质。【分析】（1）根据题意得1=1－2a＋b，所以b=2a。（2）由题意知方程x2－2ax＋b=0有两个相等的实数根，所以4a2－4b=0，由（1）b=2a得4a2－8a=0，解得a=0，或a=2．从而分类可求得该二次函数的图象的顶点坐标。20.（江苏省南京市2022年7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发min后行走的路程为m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中与的函数关系．⑴小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了________min．⑵①当时，求与的函数关系式；②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】解:⑴3600，20．⑵①当时，设y与x的函数关系式为．根据题意，当时，；当，．23\n∴，解得。所以，与的函数关系式为．②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（），缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（）．小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）．把代入，得y=55×60—800=2500．所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（）．【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】⑴看图可知,小亮行走的总路程是3600m,他途中休息了50-30=20_min．⑵当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式,看图可知,点(50,1950),(80,3600)在函数图像上,坐标满足函数关系式,用待定系数可求.由路程,速度,时间的关系求出缆车到达终点所需时间,从而求出小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间,代入函数关系式即得小亮离缆车终点的路程.21.（江苏省南京市2022年7分）已知函数（是常数）．⑴求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值．【答案】解：⑴当x=0时，。∴不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）。⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9。【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，二次函数与一元二次方程的关系。【分析】⑴由于二次函数的常数项为1,故x=0时，得证。⑵虑一次函数和二次函数两种情况.函数为一次函数,与X轴有一个交点.函数为二次函数,由函数y=f(x)与X轴有一个交点的要求,对应的一元二次方程f(x)=0有两个相等的实数根,23\n即根的判别式等于0,从而求解.也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解,即。22.（江苏省南京市2022年11分）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为．探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：x……1234……y…………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【答案】解:⑴①x……1234……y……2……函数的图象如图：②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数23\n的最小值为2．③===当=0，即时，函数的最小值为2．⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为。23