【中考12年】江苏省苏州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（2022江苏苏州3分）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是【】A．k甲＞k乙B．k甲=k乙C．k甲＜k乙D．不能确定【答案】A。【考点】一次函数的应用。【分析】∵直线的倾斜程度与它的斜率有直接关系，斜率的绝对值越大，直线越倾斜，∴根据图示可知，L甲的倾斜程度大于L乙的倾斜程度，所以k甲＞k乙。故选A。2.（江苏省苏州市2022年3分）已知，点都在函数的图像上，则【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据函数的图象的特点，函数图象的开口向上，对称轴是y轴，在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的增大而增大：∵a＜－1，∴a－1＜a＜a＋1＜0，即点都在y轴左侧。∵的图象在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴。故选C。3.（江苏省苏州市2022年3分）已知正比例函数y=(3k—1)x，若y随x的增大而增大，则的取值范围是【】Ak＜0Bk＞0Ck＜Dk＞【答案】D。30用心爱心专心\n【考点】正比例函数的性质。【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围：根据y随x的增大而增大，知：3k－1＞0，即k＞。故选D。4.（江苏省苏州市2022年3分）将直线向上平移两个单位，所得的直线是【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】一次函数图象与平移变换。【分析】直线平移时k的值不变，只有b发生变化，因此，原直线的k=2，b=0，向上平移两个单位得到了新直线，新直线的k=2，b=0+2=2。∴新直线的解析式为。故选A。5.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知、两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最小值是【】A．2B．1C．D．【答案】C。【考点】直角坐标系和坐标，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】中边上的高2，要使面积最小，只需最短，由图知为切线时，最短。如图，当为切线时，连接。∵为切线，∴。∴。∴，即。又∵、两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，的圆心坐标为(－1，0)，半径为1，30用心爱心专心\n∴，=2，，∴。又∵，∴。∴。∴当为切线时，面积的最小值为。故选C。6.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为【】A．3B．C．4D．【答案】B。【考点】一次函数，特殊角三角函数值。【分析】根据三角函数求出点B的坐标，即可求得b的值：由可知，k=1，故在△OAB中，∠OBA，∴。故选B。7.（2022江苏苏州3分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【】A.2B.-2C.1D.-1【答案】D。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式：n=2m+1，即2m－n=－1。故选D。二、填空题1.（2022江苏苏州2分）已知抛物线的顶点的横坐标是2，则m的值是▲。【答案】。【考点】二次函数的顶点坐标。30用心爱心专心\n【分析】由抛物线的顶点的横坐标是2，根据顶点公式得，解得。2.（2022江苏苏州2分）如图，A、B、C是二次函数的图象上的三点．根据图中给出的三点的位置情况，可得a、c、△（）与零的大小关系是：a▲0，c▲0，△▲0。（填入“＞”、“＜”或“=”）【答案】＜、＜、＞。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】根据二次函数图象的开口方向来判断a的符号；由图象与y轴的交点来判断c的符号；根据图象与x轴交点的个数来判断根的判别式的符号：画草图得，此函数开口向下，所以a＜0；与y轴的交点为在y轴的负半轴上，所以c＜0；抛物线与x轴有两个交点，∴＞0。故答案是：＜、＜、＞。3.（江苏省苏州市2022年2分）抛物线的顶点坐标是▲【答案】（1，2）。【考点】二次函数的性质。【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）。4.（江苏省苏州市2022年2分）设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是▲【答案】＜－1。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】由给出的条件确定双曲线所在的象限，然后列出不等式解出的范围：∵时，，∴双曲线在第二，四象限，则+1＜0，解得＜－1。30用心爱心专心\n5.（江苏省苏州市2022年2分）已知点（1，－2）在反比例函数的图像上，则=▲。【答案】－2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系：已知点（1，－2）在反比例函数的图象上，则把（1，－2），代入解析式就可以得到k的值：，则k=－2。6.（江苏省苏州市2022年3分）已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为▲（只需写出符号条件的一个k的值）【答案】－1（答案不唯一）。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】∵当x1＜x2＜0时，y1＜y2，∴点（x1，y1），(x2，y2)都在第四象限，∴k＜0，例如k=－1等（答案不唯一）。7.（江苏省苏州市2022年3分）已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则的值可为▲。（写出满足条件的一个的值即可）【答案】3（答案不唯一，只要符合＞2即可）。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质解答：∵反比例函数，其图象在第一、第三象限内，∴＞0，即＞2。故的值可为3（答案不唯一，只要符合＞2即可）。8.（江苏省苏州市2022年3分）抛物线的对称轴是x=_▲．【答案】。【考点】二次函数的性质。【分析】根据求对称轴的公式，直接求解：∵a=2，b=4，∴抛物线的对称轴是。9.（江苏省苏州市2022年3分）已知点P在函数(x＞0)的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为▲．30用心爱心专心\n【答案】2。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|。因此，由于点P在函数y=2x（x＞0）的图象上，矩形OAPB的面积S=|k|=2。10.（江苏省苏州市2022年3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：···－2－1012······－4－2···根据表格上的信息同答问题：该二次函数在=3时，y=▲．【答案】－4。【考点】二次函数的图象。【分析】由表格可知，（0，），（2，）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，由利用对称性知横坐标为3的点关于x=1的对称点是（－1，－4）。根据对称性，x=3与x=－1时，函数值相等，都是－4。11.（江苏省2022年3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。12.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB＝3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是▲（填“相离”、“相切”或“相交”）．30用心爱心专心\n13.（2022江苏苏州3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x－1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1▲y2.【答案】>。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。【分析】由二次函数y=（x－1）2+1知，其对称轴为x=1。∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧。∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2。14.（2022江苏苏州3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，第二象限30用心爱心专心\n内的图象是反比例函数图象的一个分支，在x轴上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB<AC，则点A的坐标是▲.【答案】（，3）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。【分析】∵点A在反比例函数图象上，∴可设A点坐标为（）。∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为。∵点B在反比例函数图象上，∴B点的横坐标，即B点坐标为（）。∴AB=a－（－2a）=3a，AC=。∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，∴AB＋AC=4，即3a＋=4，整理得，3a2－4a＋1=0，即（3a－1）（a－1）=0。∴a1=，a2=1。∵AB＜AC，∴a=。∴A点坐标为（，3）。三、解答题1.（2022江苏苏州5分）已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。30用心爱心专心\n2.（江苏省苏州市2022年6分）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象。（1）根据图象，求k，b的值；（2）在图中画出函数y=—2x+2的图象；（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=—2x+2的函数值。【答案】解：（1）由图知，直线经过（－2，0），（0，2），30用心爱心专心\n把（－2，0），（0，2）代入解析式y=kx+b得：，解得。（2）取（0，2），（1，0）连接，得（3）由（1）得y=kx+b的解析式为y=x+2，∴x+2＞—2x+2，解得x＞0。∴使函数y=kx+b的函数值大于函数y=—2x+2的函数值的x的取值范围为x＞0。【考点】待定系数法求一次函数解析式，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数的图象。【分析】（1）由一次函数的图象可看出函数经过（－2，0）（0，2）两点，然后用待定系数法将两点代入一次函数的表达式中求出k，b的值。（2）可用两点法画函数y=-2x+2的图象，即先确定函数上的两点（一般是与x，y轴的交点），然后两点确定一条直线。（3）函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值，kx+b＞-2x+2，由（1）中，k、b的值即能求出x的范围。【也可以图象解】3.（江苏省苏州市2022年5分）已知反比例函数和一次函数的图象都经过点。（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；（2）若点和点都在这个一次函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明大于。【答案】解：（1）∵双曲线过点，∴，即。∴。∵直线过点，∴，即。∴这个一次函数的解析式为。30用心爱心专心\n（2）∵中，，∴根据一次函数的性质，随的增大而减少。又∵，∴。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可得，故。再将点代入一次函数解析式可得，从而得到一次函数的解析式。（2）根据一次函数的性质，，随的增大而减少，由即可得。4.（江苏省苏州市2022年7分）已知直线过点（3，4）。（1）求b的值；（2）当x取何值时，？【答案】解：（1）∵直线过点（3，4），∴4=3＋b，解得b=1。（2）由（1）得，令y＜0，即x＋1＜0，得x＜－1。∴当x＜－1时，y＜0。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，一次函数与一元一次不等式。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，直接把点（3，4）代入直线，就可求得b。（2）y＜0，即x＋1＜0，解不等式即可解决。5.（江苏省苏州市2022年6分）已知抛物线与x轴交于两点，（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC－2，求a的值。【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于，，且，∴，解得a＜。又∵a≠0，∴，即必同号。又∵，∴必同为负数。30用心爱心专心\n∴点，都在原点的左侧。（2）当时，。∵同为负数，∴由OA＋OB=OC－2，得。∴，即，解得，。又∵a＜，且a≠0，∴a的值为－3。【考点】二次函数综合题，二次函数图象与轴交点问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）首先令抛物线的值y=0，可得出一个关于x的方程，那么，因此同号，然后可根据抛物线与x轴有两个坐标不同的交点即方程的△＞0以及的值来得出点A、B均在原点O左侧。（2）可先根据一元二次方程根与系数的关系用a表示出OA、OB的长，然后用a表示出OC的长，然后根据题中给出的等量关系：OA＋OB=OC－2求出a的值。6.（江苏省苏州市2022年6分）已知二次函数。（1）求证：对于任意实数，该二次函数图象与轴总有公共点；（2）若该二次函数图象与轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标。【答案】解：（1）∵对于有△，又∵≥0，∴△≥0。∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点。（2）∵点A（1，0）在二次函数图象上，∴把（1，0）代入二次函数关系式，得，解得。当时，二次函数关系式为：。令y=0，得：，解得：x=1或－2。∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（－2，0）。又∵A点坐标为（1，0），∴B（－2，0）。当m=1时，同理可得：B（，0）。【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式。30用心爱心专心\n【分析】（1）依题意可得△=9m2得出△≥0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点。（2）把已知坐标代入可得m值，然后把m的值及y=0代入二次函数可求出点B的坐标。7.（江苏省苏州市2022年6分）已知函数和．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【答案】解；(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴，∴。（2）将y＝代人y=kx+l，消去y．得kx2+x一2=0．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可。∵△＝1＋8k，∴由1+8k≥0解得k≥∴当k≥且k≠0时，这两个函数的图象总有公共点。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以x=1，y=a是方程组的解，代入可得a和k的值。（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组有解，即=kx+1有解，根据判别式△即可求出k的取值范围。8.（江苏省苏州市2022年8分）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m／s)之同有如下关系：s=tv+kv2其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m／s，则该汽车的刹车距离为＿＿＿＿m(精确到0.1m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m／s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m．假如该志愿者当初是以11m／s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到O.1m)30用心爱心专心\n(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m／s至17m／s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m至50m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”。则你的反应时间应不超过多少秒?(精确到0.01s)【答案】解：（1）17.4m。（2）设志愿者饮酒后的反应时间为t1，则t1×17+0.08×172=46，解得tl≈1.35s。当v=11m／s时，s=1.35×11+0.08×112=24.53。∴24.53一17.38≈7.2(m)答：刹车距离将比未饮酒时增加7.2m。(3)为防止“追尾”，当车速为17m／s时，刹车距离必须小于40m,∴t×17+0.08×172<40，解得t＜0.993（s）。答：反应时间不超过0.99s。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。【分析】（1）因为未饮酒时的反应时间t=0.7s，所以s=tv+kv2=0.7×11＋0.08×112=17.38≈17.4（m）。（2）由v=17m／s，s=46m求得饮酒时的反应时间t≈1.35s；再求出v=17m／s，t≈1.35s时的刹车距离，从而求出饮酒时刹车距离比未饮酒时增加的距离。（3）为防止“追尾”，车速为最大17m／s时，刹车距离必须小于最短40m，据此列出不等式t×17+0.08×172<40求解即可。9.（江苏省苏州市2022年8分）设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．30用心爱心专心\n【答案】解：(1)∵在中令x=0，得y=－2，∴C(0，一2)。∵∠ACB=90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB。∴，即OB=∴m=4。将A(一1，0)、B(4，0)代入，得，解得。∴抛物线的解析式为。（2）将D(1，n)代入，得n=－3。由解得，。∴E（6，7）。过点E作EH⊥轴于点H，则点H（6，0）。∴AH=EH=7，∠EAH=450。过点D作DF⊥轴于点F，则点F（1，0）。∴BF=DF=3，∠DBF=450。∴∠EAH=∠DBF=450。∴∠DBH=1350，900＜∠EBA＜1350。则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况（如图）：①若△BDP1∽△EAB，则，30用心爱心专心\n由EH⊥轴，AH=EH=7，∠EAH=450得AE=。由DF⊥轴，BF=DF=7，∠DBF=450得BD=。∴。∴OP1=4－。∴P1（，0）。②若△BDP2∽△BAE，则，由EH⊥轴，AH=EH=7，∠EAH=450得AE=。由DF⊥轴，BF=DF=7，∠DBF=450得BD=。∴。∴OP2=。∴P2（，0）。综上所述，所求点P的坐标为（，0）或（，0）。（3）或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组。【分析】（1）在中令x=0即能求得C点坐标；由△AOC∽△COB即能求得m的值；由A、C三点坐标代入即可求出抛物线的解析式。（2）将D(1，n)代入求得n，联立和求出点E的坐标。过点E作EH⊥轴于点H和过点D作DF⊥轴于点F，通过等腰直角三角形的判定和性质得出点P只能在点B的左侧的结论。分△BDP1∽△EAB和△BDP2∽△BAE分别求出符合条件的点P。（3）①点P（，0）时，△BDP的外接圆圆心在直线上，设外接圆圆心坐标为S（）。则，∴,解得。30用心爱心专心\n∴此时，△BDP的外接圆半径为。②点P（，0）时，△BDP的外接圆圆心在直线上，设外接圆圆心坐标为T（）。则，∴,解得。∴此时，△BDP的外接圆半径为。10.（江苏省苏州市2022年8分）如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点．建立如图所示的坐标系，轴、轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(，)、B(，)和C(，)；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。【答案】解：（1）2，2；－2，－2；。（2）作AD⊥x轴于D，连接AC、BC和OC，∵A（2，2），∴∠AOD=45°，AO=。∵C在O的东南45°方向上，30用心爱心专心\n∴∠AOC=45°+45°=90°。∵AO=BO，∴AC=BC。又∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形。∴AC=BC=AB=2AO=。∴。由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，则教练船所用时间为，A、B两船所用时间均为。∵，即。∴教练船没有最先赶到。【考点】反比例函数综合题。【分析】（1）A、B两点直线上和双曲线，列方程组可求A（2，2）、B（－2，－2）。依题意可判断△ABC为等边三角形，OA=，则OC=OA=。过C点作x轴的垂线CE，垂足为E，利用OC在第四象限的角平分线上求OE，CE，确定C点坐标（）。（2）分别求出AC、OC的长，分别表示教练船与A、B两船的速度与时间，比较时间的大小即可。11.（江苏省苏州市2022年9分）如图，抛物线与轴的交点为M、N．直线与轴交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线上．且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点。OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于；k=，b=．(2)是否存在实数a，使得抛物线上有一点E．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG10，写出探索过程30用心爱心专心\n【答案】解：（1）1；；。或1；－；－。（2）存在。理由如下：假设存在实数a，使得抛物线上有一点F．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似。∵AO=BO=，AO⊥BO，∴△AOB是等腰直角三角形。∴以D、N、E为顶点与△AOB相似的三角形是等腰直角三角形，有两种情况：①以DN为直角边，②以DN为斜边。①若DN为直角边，则ED⊥DN。由抛物线与轴的交点为M、N，得M（－1，0）、N（5，0）。∴D（2，0）。∴ED=DN=3。∴E（2，3）。将（2，3）代入得。∴抛物线的解析式为，即。②若DN为斜边，则DE⊥EN，DE=EN。过点E作ES⊥轴于点S，则DS=ES=，OS=。∴E（，）。将（，）代入得。∴抛物线的解析式为，即。30用心爱心专心\n当时，若抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为，那么只有可能△DN是以DN为斜边的等腰直角三角形，此时（，），代入不成立，所以点不在抛物线上。因此，抛物线上没有满足条件的其它E点。当时，若抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为，那么只有可能△DN是以DN为直角边的等腰直角三角形，此时（2，3），代入不成立，所以点不在抛物线上。因此，抛物线上没有满足条件的其它E点。当E（2，3），对应的抛物线的解析式为，∵△EDN和△AOB是等腰直角三角形，∴∠GMP=∠PBO=450。又∵∠NPG=∠BPO，∴△NPG∽△BPO。，即。∵PO=2，PN=7，∴。∵，∴，即PB·PG10。当E（，），对应的抛物线的解析式为，同理可证得PB·PG10。30用心爱心专心\n12.（江苏省2022年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。30用心爱心专心\n（2）∵四边形是菱形，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。13.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。30用心爱心专心\n答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。14.（江苏省苏州市2022年8分）如图，四边形是面积为4的正方形，函数()的图象经过点．(1)求的值；30用心爱心专心\n(2)将正方形分别沿直线、翻折，得到正方形、．设线段、分别与函数()的图象交于点、，求线段EF所在直线的解析式．【答案】解：(1)∵四边形是面积为4的正方形，∴=2.。∴点坐标为（2,2）。∴=2×2=4。(2)∵正方形、由正方形翻折所得，∴=4。∴点横坐标为4，点纵坐标为4。∵点、在函数的图像上，∴当时，，即，当时，，即。设直线解析式为,将、两点坐标代入，得∴。∴直线解析式为。【考点】正方形的性质，比例系数的意义，待定系数法求一次函数的解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】(1)由比例系数，而四边形的面积刚好为即可求得。（2）要求直线的解析式，用待定系数法设出这条直线的解析式，并列出与之相关系的二元一次方程求解即可。15.（江苏省苏州市2022年9分）如图，以为顶点的抛物线与轴交于点．已知、两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设是抛物线上的一点(、为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以、、、30用心爱心专心\n为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点，是否总成立?请说明理由．【答案】解：(1)设，把代入，得。∴抛物线的解析式为。(2)∵为正整数，,∴应该是9的倍数。∴是3的倍数。又∵，∴…当时，，此时,。∴四边形的四边长为3，4，5，6。∵当时，，∴四边形的四边长不能是四个连续的正整数。∴点坐标只有一种可能（6，4）。(3)设,与对称轴交点为，则，。∴=。∴当时，有最小值。∴总是成立。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，连续整数的性质。【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式，用待定系数法设这个抛物线的解析式为顶点式求解。（2）要求点的坐标与有关系，对的取值进行分类讨论。30用心爱心专心\n（3）证明，只要关于点纵坐标的函数最小值大于28即可。16.（江苏省苏州市2022年10分）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．【答案】解：（1）由，令，解得，。令，解得，。∴点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，）。∴该抛物线的对称轴为。如图①，设该抛物线的对称轴与轴的交点为点M，则由OA=2得AM=1。30用心爱心专心\n由题意，得O'A=OA=2，∴O'A=2AM，∴∠O'AM=600。∴∠OAC=∠CAO'=600。∴OC=，即。∴。（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论仍然成立。①如图②，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB。又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。②设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FG=3，GB=。∴3≤PB＜。∵PC≥4，∴PC＞PB。又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形。（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB。∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，－a），点P的坐标是（3，），∴由PC=PD得PC2=PD2，∴，整理得，，解得。显然满足题意。30用心爱心专心\n∴当是一个大于3的常数时，存在一个正数，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。【考点】二次函数综合题，,图形的翻转，含300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含300角的直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，求出点A、B、C的坐标，再求出a。(2)分点P在边EF或边FG上两种情况比较四线段的长短来得出结论。(3)因为点A、B是抛物线与X轴的交点，点P在抛物线对称轴上，所以PA=PB。要PA，PB，PC，PD构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,，从而推出a。17.（2022江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.⑴点B的坐标为▲，点C的坐标为▲（用含b的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】解：（1）B（b，0），C（0，）。（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形。设点P坐标（x，y），连接OP，则∴。30用心爱心专心\n过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°。∴四边形PEOD是矩形。∴∠EPD=90°。∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°。∴∠EPC=∠BPD。∴△PEC≌△PDB（AAS）。∴PE=PD，即x=y。由解得，。由△PEC≌△PDB得EC=DB，即，解得符合题意。∴点P坐标为（，）。（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴。∵b＞2，∴AB＞OA.∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB=90°。由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA。∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC，∴AQ=CO=。由得：，解得：。∵b＞2，∴。∴点Q坐标为（1，）.（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA∽△OCQ，∴，即。又，∴，即，解得：AQ=4此时b=17＞2符合题意。∴点Q坐标为（1，4）。综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似。30用心爱心专心\n30用心爱心专心