【中考12年】江苏省镇江市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（2022江苏镇江3分）给出下列函数：(1)y=2x；(2)y=－2x＋1；(3)y=(x>0)(4)y=x2(x<－1)其中，y随x的增大而减小的函数是【】A、（1）、（2）.　B、（1）、（3）.C、(2)、(4).D、（2）、（3）、（4）【答案】D。【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。【分析】∵对于y=2x，y随x的增大而增大；对于y=－2x＋1，y随x的增大而减小；对于y=(x>0)，y随x的增大而减小；对于y=x2(x<－1)，y随x的增大而减小，∴y随x的增大而减小的函数是（2）（3）（4）。故选D。2.（2022江苏镇江3分）设双曲线y=与直线y=－x+1相交于点A、B，O为坐标原点，则∠AOB是　　【】　　A、锐角　　B、直角　　C、钝角　　　D、锐角或钝角【答案】D。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，分类讨论。【分析】由两图象的交点所在的象限即可判断∠POQ的范围：双曲线y=与直线y=－x+1相交于点A、B，当k＞0时，A、B在第一象限，故∠AOB为锐角；当k＜0时，A、B分别在二、四象限，故∠AOB包含了第一象限，为钝角。故选D。3.（2022江苏镇江3分）如果直线y=kx+b经过一、三、四象限，则有【】A、k>0,b>0B、k>0,b<0C、k<0,b<0D、k<0,b>0【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；42\n②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。由题意得，函数经过一、二、四象限，故，。故选B。4.（2022江苏镇江3分）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图像大致是【】【答案】D。【考点】二次函数和一次函数的图象。【分析】先由一次函数y=ax+c图象和二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点相同可判断BC错误；再由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较判断AD的正误：A、由直线可知，a＜0，由抛物线可知，a＞0，错误；D、由直线可知，a＜0，过点（0，c），由抛物线可知，a＜0，过点（0，c），正确。故选D。5.（2022江苏镇江3分）已知：，则直线一定经过【　　】（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限【答案】B。【考点】分类讨论，比例的性质，一次函数的性质。【分析】根据已知条件分类讨论k的值，分别求当a+b+c≠0和a+b+c=0时的直线解析，根据一次函数的性质作出判断：分情况讨论：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k=，此时直线为y=42\nx+1，直线一定经过1，2，3象限；当a+b+c=0时，即a+b=－c，则k=-1，此时直线为y=－x＋2，此时直线必过2，3，4象限。综合两种情况，则直线必过第2，3象限。故选B。6.（2022江苏镇江3分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是【】A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜0，或x＞2D．x＜－1，或0＜x＜2【答案】D。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】求使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是指对于同一个自变量x的值，反比例函数的值位于一次函数的值的下方，观察图象，即可得出结果：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是x＜－1，或0＜x＜2。故选D。7.（2022江苏镇江3分）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2－x＋m（m为常数）的图象如下图，如果x=a时，y＜0；那么x=a－1时，函数值是多少．参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是【】42\nA．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m【答案】C。【考点】抛物线与x轴的交点问题。【分析】把x=a代入函数y=x2－x＋m中求出函数a、a－1与0的关系，从而确定x=a－1时，函数y=x2－x＋m的值：把x=a代入函数y=x2－x＋m中得：y=a2－a＋m=a（a－1）+m。∵x=a时，y＜0，∴a（a－1）+m＜0。由图象可知：m＞0，∴a（a－1）＜0。又∵x=a时，y＜0，∴a＞0。∴a－1＜0。由图象可知：x=0时，y=m。又∵x＜时y随x的增大而减小，∴x=a－1时，y＞m。故选C。8.（2022江苏镇江3分）两直线l1：y＝2x－1，l2：y＝x＋1的交点坐标为【】A．（—2，3）B．（2，—3）C．（—2，—3）D．（2，3）【答案】D。【考点】两条直线的交点问题。【分析】根据题意知，两直线有交点，所以列出方程组，解方程组即可：根据题意得：，解得：。∴两直线l1：y＝2x－1，l2：y＝x＋1的交点坐标为（2，3）。故选D。42\n9.（2022江苏镇江2分）已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足【】A．＞0、＞0B．＜0、＜0C．＜0、＞0D．＞0、＜0【答案】B．【考点】二次函数，不等式。故选B。10.（2022江苏镇江3分）关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】∵，∴它的对称轴为。又∵对称轴在y轴的右侧，∴。故选D。二、填空题1.（2022江苏镇江2分）直线y=kx过点（1，sin450）,且点A（，a）、B（b,－）在这条直线上，则a=▲_,b=▲.【答案】1；－2。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，特殊角的三角函数值。【分析】∵sin450=，∴点（1，sin450）即点（1，）。将（1，）代入y=kx，得k=。∴直线的解析式为y=x。把（，a）代入y=x得a=·，得a=1；把（b,－）代入y=x得－=·b，得b=－2。42\n2.（2022江苏镇江2分）老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；　　　　　乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；　　丁：当x<2时，y＞0.已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：▲.4.（2022江苏镇江2分）已知反比例函数的图像经过点（1，），则这个函数的表达式是▲。当时，的值随自变量值的增大而▲（填“增大”或“减小”）【答案】；增大。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质。【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数则可。再根据值的正负确定函数的增减性：∵反比例函数的图像经过点（1，－2），∴。42\n∴这个函数的表达式是。又∵，当时，的值随自变量值的增大而增大。5.（2022江苏省3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。6.（2022江苏镇江2分）反比例函数的图象在第二、四象限，则n的取值范围为▲，A(2，y1)，B(3，y2)为图象上两点，则y1▲y2（用“＜”或“＞”填空）【答案】n＜1，＜。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：k＞0时，函数图象在一、三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小；k＜0时，函数图象在一、四象限，在每一个象限，y随x的增大而增大。因此，反比例函数图象在第二、四象限，则n－1＜0，得n＜1；∵2＜3，A，B均在第四象限，∴y随x的增大而增大，得y1＜y2。7.（2022江苏镇江2分）已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为▲.【答案】4。【考点】代数式变形，二次函数的最值。【分析】把x＋y转化为“x＋y”关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求最值：∵x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，∴y＝－（x2＋3x－3）。∴x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4。∴当x＝－1时，x＋y最大值为4。16．8.（2022江苏镇江2分）已知关于的一次函数。若其图像经过原点，k=▲，若随着的增大而减小，则的取值范围是▲。【答案】．42\n【考点】一次函数。【分析】因为图像经过原点，所以有。由一次函数图象知：当y随着x的增大而减小时，k＜0。9.（2022江苏镇江2分）写出一个你喜欢的实数k的值▲，使得反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大。【答案】1（答案不唯一）。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此，若反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则，即。∴只要取的任一实数即可，如（答案不唯一）。三、解答题1.（2022江苏镇江8分）已知反比例函数y=与一次函数y=kx＋3的图像交于点A（x1,y1）、B（x2,y2）且x12＋x22=5，求k的值以及点A、B的坐标【答案】解：∵反比例函数y=与一次函数y=kx＋3的图像交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），∴联立y=和y=kx＋3得=kx+3，整理得kx2＋3x－6=0。∴。又∵x12＋x22=5，即，∴，整理得，解得。当时，解得或。此时，A（1，6）、B（－2，－3）或A（－2，－3）、B（1，6）。当时，解得。42\n∵△=25－40=－15＜0，∴方程组无解，即此时，二者不相交。综上所述，，A（1，6）、B（－2，－3）或A（－2，－3）、B（1，6）。【考点】反比例函数与一次函数的图像交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解一元二次方程。【分析】由已知，联立y=和y=kx＋3，应用一元二次方程根与系数的关系即可求出k的值。再联立解方程组即可求得点A、B的坐标。2.（2022江苏镇江12分）已知抛物线y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，（1）求A、B、C各点的坐标（可用含t的代数式表示）　　　（2）设ΔABC的面积为，求抛物线的解析式，并在如图所示的直角坐标系中画出这条抛物线。　　(3)在（2）的条件下，设a为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与a在第一象限交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若ΔOAD∽ΔOEB，求a的解析式以及a与抛物线另一交点的坐标。又如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，试判断满足条件的a是否存在？若存在，直接出a的解析式；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令y=0，得(x－2)(x－2t－3)=0，解得，x＝2或x＝2t＋3。∵t>0，点A在点B的左边，∴A（2，0）,B（2t＋3，0）。在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令x=0，得y=。∴C（0，）。（2）∵ΔABC的面积为，∴.　整理得，解得（舍去）。　　　∴抛物线的解析式为y=(x－2)(x－9)＝。42\n　　　作图如下：（3）如图，设直线a与ｙ轴交于点F。当ΔOAD∽ΔOEB时，∠OBE=∠ODA=∠OCA。∴Rt△OAC∽Rt△OFB。∴。∵OA=2，OB=9，OC=3，∴,解得OF=6。∴F（0，6）。设直线a的解析式为，将B（9，0），F（0，6）代入得，解得。∴直线a的解析式为。42\n联立y=和得，整理得，解得。当时，。∴a与抛物线另一交点的坐标为（－2，）。如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，满足条件的a仍然存在，a的解析式为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令y=0和x=0，即可求得A、B、C各点的坐标。（2）由ΔABC的面积为列式即可求得待定系数t，从而求得抛物线的解析式，并画出图象。（3）设直线a与ｙ轴交于点F，由ΔOAD∽ΔOEB得∠OBE=∠ODA，根据同弧所对圆周角相等的性质得∠ODA=∠OCA，即∠OBE=∠OCA，从而得到Rt△OAC∽Rt△OFB，由对应边成比例得，即可求得点F的坐标，由B、F的坐标，用待定系数法即可求得a的解析式。如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，满足条件的a仍然存在，a的解析式仍然为。如图：3.（2022江苏镇江12分）某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面如图所示）其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米，（1）设矩形的边长AB＝x（米），AM＝y（米），用含x的代数式表示y为＿＿＿＿＿＿＿＿（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域中铺设42\n花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元。①设该工程的总造价为S（元），求S关于x的函数关系式②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能请说明理由。③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方；若不能，请说明理由。【答案】解：（1）。（2）①②∵∴光靠银行贷款不能完成该工程的建设任务。③由S=235000+73000=308000，得，即　，。　由得，解得（舍去）。此时y=49。由得，解得（舍去）。此时y=17.5。故设计方案为情形一：正方形区域的边长为4m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为49m和4m，四个相同的三角形区域的直角边长均为49m；42\n情形二：正方形区域边长为10m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为17.5m和10m，四个相同的三角形区域的直角边长为17.5m。【考点】二次函数和一元二次方程的应用。【分析】（1）根据题意，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800m2列出关系式即可。（2）①可根据等量关系：总造价=矩形区域铺花岗岩的造价+四角直角三角形中铺草坪的造价来得出关于S，x，y的等量关系式，然后根据①中y，x的关系式用x替换掉y，即可得出S，x的函数关系式。②根据①的函数的性质即可得出S的最小值是多少，如果S的最小值大于银行贷款的数额，那么只靠银行贷款就不能完成此项目，反之则能。③可将银行贷款与追加的金额的和（即S的值）代入①的函数式中即可求出x的值．进而可根据x，y即AB，AM的长来设计方案。4.（2022江苏镇江5分）已知y与x＋2成正比例，且x=1时，y=－6.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）若点（a，2）在函数的图象上，求a的值。5.（2022江苏镇江10分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4，试写出y0的取值范围。（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S。①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；42\n①求S取得最大值时点P的坐标；②设四边形OBMC的面积S/,判断是否存在点P，使得S＝S/ ,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3），∴，解得。∴抛物线的解析式是：。∵，∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）。（2）∵在中，当x0=1时，y0=4，当x0=4时，y0=－5，　　　且当1≤x0≤4时，y随x的增大而减小，∴当1≤x0≤4时，－5≤y0≤4。（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n，把B（3，0），M（1，4）代入得，解得。∴直线BM的解析式为：y=－2x＋6。∴P点的坐标为：（t，－2t＋6）。∴42\n。又OQ=|t|=t OA=|－1|=1，OC=|3|=3，∴（1≤t＜3）。②∵，∴当t=时，S最大，。S的最大值为，这时P点坐标为（，）。③不存在。理由如下：∵，而S的最大值为，＜∴S=S′不可能。∴不存在点P，使S=S′。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）先根据抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标。（2）根据抛物线的解析式，分两种情况进行分析，当x0=1时和x0=4时y0的值，结合增减性即可求出它们的取值范围。（3）根据题意设出直线BM的解析式，再把B与M点的坐标代入，求出直线BM的解析式，从而得出P点的坐标，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的时候，S最大，得出P点的坐标，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S′，也就是不存在点P。6.（2022江苏镇江5分）已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m的图像相交于点（2，1）（1）分别求出这两个函数的解析式（2）试判断点P（—1，5）关于x轴的对称点P‘是否在一次函数y=kx+m的图像上【答案】解：（1）把点（2，1）分别代入两函数关系式得：，解得，∴这两个函数的解析式分别为；y=2x－3。（2）点P（－1，5）关于x轴的对称点P‘（－1，－5），把此点代入得：－5=－2－3，成。∴点P（—1，5）关于x轴的对称点P‘在一次函数y=2x－3的图像上42\n【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，关于x轴对称的点的坐标特征。【分析】（1）把点（2，1）分别代入两函数关系式即可得出函数的解析式。（2）把点P（－1，5）关于x轴的对称点Q代入一次函数解析式，看是否成立即可。7.（2022江苏镇江10分）已知抛物线，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随着x的增大而减小（1）求k的值及抛物线的解析式（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O‘的坐标（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O‘的切线？并求出此时直线BG的解析式②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？【答案】解：（1）由题意可知：，k=1。因此抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3。（2）由－x2＋2x＋3=0解得x1=－1，x2=3。又，∴A（－1，0），B（3，0），P（1，4）。（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上。设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有：PM•MN=MA•MB。42\n∴4•MN=2×2，即MN=1。因此PN=5，圆O′的半径为。因此O′在x轴的上方，坐标为（1，）。（4）①过B作⊙O′的切线交y轴于G，设直线BO′交y轴于E。可求得直线BO′的解析式为，因此E点的坐标为（0，）。∵BG是⊙O′的切线，因此BO′⊥BG。∴BO2=EO•OG，即9=•OG。因此OG=4，即G点的坐标为（0，－4）。设直线BG的解析式为y=kx－4。∵直线过B点（3，0），∴3k－4=0，k=。因此直线BG的解析式为y=x－4。②－4＜m＜0。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理，射影定理。【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴的公式即可求出k的值，也就能求出抛物线的解析式。（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出A、B、P的坐标。42\n（3）由于圆和抛物线都是轴对称图形，因此圆心O′必在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，因此可作出抛物线的对称轴设对称轴与x轴和圆O′的交点分别为M、N．根据相交弦定理即可求出MN的长，进而可求出圆的半径和圆心O′的坐标。（4）①可先过B作圆O′的切线，交y轴于G，要求出直线BG的解析式，就必须求出G点的坐标，首先要求出OG的长，可设直线BO′交y轴于E，根据B，O′两点的坐标可求出直线BO′的解析式进而可求出E点的坐标，即OE的长，在直角三角形EBG中，根据射影定理即可求出OG的长，得出G点坐标后，可用待定系数法求出直线BG的解析式。②根据①中G点的坐标即可得出本题的结论。8.（2022江苏镇江6分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P(4，n).（1）求n的值.（2）求一次函数的解析式.【答案】解：（1）把(4，n)代入得：。（2）由点P（4，2）在y=kx+k上得，2=4k+k，解得，k=。∴一次函数的解析式为y=x+。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点P代入反比例函数可得n=2，即点P（4，2）。（2）把点P（4，2）代入y=kx+k中，就可得到函数的解析式。9.（2022江苏镇江10分）已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC.（3）若过A、B、C三点，求的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.42\n【答案】解：（1）由题意得：，则，解得：。经检验m=1。∴抛物线的解析式为：。由=0得x1=－5，x2=1。由x=0得y=－5。∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）。设直线BC的解析式为y=kx+b，则，∴。∴直线BC的解析式为y=5x－5。（2）作图如下：42\n（3）由题意，圆心P在AB的中垂线上，且在抛物线的对称轴直线x=－2上。设P（－2，－p）（p＞0），连接PB、PC，则。由PB2=PC2，得，解得p=2。∴P（－2，－2）。∴⊙P的半径。（4）存在。设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，），则点E的坐标为（t，5t－5）。若S△MEB：S△ENB=1：3，则ME：EN=1：3。∴EN：MN=3：4。∴，解得t1=1（不合题意舍去），t2=。∴M（）。若S△MEB：S△ENB=3：1，则ME：EN=3：1。∴EN：MN=1：4。∴，解得t3=1（不合题意舍去），t4=15。∴M（15，280）。综上所述，存在点M，点M的坐标为（（）或（15，280）。【考点】二次函数综合题，一元二次方程与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，圆的性质，勾股定理。【分析】（1）依据根与系数的关系表示出x1+x2、x1•x2的值，然后依据AB=6，即x2－x1=6来求出m的值，从而得出A、B两点的坐标．然后根据A、B、C的坐标用待定系数法求出抛物线和直线BC的解析式。（2）经过选点、描点、连线画出函数图象即可。（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心P必在抛物线的对称轴上，因此可设出圆心P的纵坐标（其横坐标为抛物线对称轴的值），然后用坐标系中两点间的距离公式求出PB、PC的长，因为PB、PC均为半径，因此两者相等，由此可得出关于P点纵坐标的方程，即可求出P点的坐标。（4）如果设MN与直线BC相交于E，本题要分两种情况进行讨论：①S△MEB：S△ENB=1：3；②S△MEB：S△ENB=3：1。可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后依据上面的分析的两种情况分别可得出一个关于E点坐标的方程，经过解方程即可得出E点的坐标。10.（2022江苏镇江8分）已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于点（2，1）．求：（1）k，b的值；（2）两函数图象的另一个交点的坐标．42\n【答案】解：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于点（2，1），∴，解得。（2）由（1），得两函数的解析式为和y=2x－3。二者联立，解得或。∴两函数图象的另一个交点的坐标是（，－4）。【考点】反比例函数和一次函数图象的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）首先把点（2，1）代入反比例函数解析式中求得k的值，再代入一次函数中求得b的值。（2）根据求得的函数解析式联立解方程组即可求得两函数图象的另一个交点的坐标。11.（2022江苏镇江8分）某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示．（1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为▲；当200≤x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为▲；（2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票；（3）请思考并解释图象与y轴交点（0，-1000）的实际意义；（4）根据图象，请你再提供2条信息．【答案】解：（1）y=10x－1000；y=15x－2500。（2）∵y＞1000，那么根据图象，则15x－2500＞1000，解得，x＞.42\n∵x是整数，∴x=234（张）。∴要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出234张门票。（3）图象与y轴交点（0，-1000）的实际意义为：当每天不卖门票时，每天亏损1000元。（4）当每天卖出门票100张时，游乐场保本；当每天卖出门票少于100张时，游乐场亏损。（答案不唯一）【考点】开放型，一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象可找到点，通过点的坐标可求出两段的解析式，都是一次函数。设0≤x≤200时，y=ｍx－1000，把（100，0）代入可得：0=100ｍ－1000，解得，ｍ=10。∴当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为：y=10x－1000。设第二段范围的函数式为：y=kx＋b，把（200，500）和（300，2000）代入可得：，解得。∴当200≤x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为y=15x－2500。（2）通过观察可知，应该是y＞1000，应该用第二段。（3）如果有一天的门票为0的话，游乐园就会亏损1000元。（4）答案不唯一，合理即可。12.（2022江苏镇江10分）已知二次函数的图象经过（0，0），（1，－1），（－2，14）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x1，y1），（x2，y2）两点（x1≠x2）．①求t的取值范围；②设，求m与t之间的函数关系式及m的取值范围．42\n13.（2022江苏镇江8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。42\n【答案】解：本题共有4种情况：设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E，（1）如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE=。∴点B的坐标为（，0），点C的坐标为（1，－1），∵点B、C在二次函数的图像上，∴，解得。∴此二次函数的表达式。（2）如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，），解得∴此二次函数的表达式为。同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为。综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：，，。42\n【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。14.（2022江苏镇江6分）已知抛物线的对称轴是经过点（2，0）且与y轴平行的直线，抛物线与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B（0，3），其在对称轴左侧的图像如图所示。⑴求抛物线所对应的函数关系式，并写出抛物线的顶点坐标。⑵画出抛物线在对称轴右侧的图像，并根据图像，写出当x为何值时，y<0。【答案】解：（1）由题意，得c=3，a+b+3=0，，即b=-4a，解方程组得。∴抛物线所对应的函数关系式为。抛物线的顶点坐标为（2，－1）。（2）画出抛物线在对称轴右侧的图像如下，由图象得，当1＜x＜3时，y＜0。42\n【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质。【分析】（1）由题意可知：抛物线与y轴交于B（0，3）点，那么可得出c=3，然后将A（1，0）代入抛物线可得出a+b+3=0，而抛物线的对称轴是，可联立两个关于a、b的式子组成方程组可求出a、b的值，也就得出了抛物线的解析式。（2）根据对称轴为x=2可得出函数与x轴交于另一点（3，0），由于函数开口向上，由此可得出当1＜x＜3时，y＜0。15.（2022江苏镇江6分）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，－3），B（2，－3），C（－1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移▲个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（0，－3），∴设。把点（2，－3），（－1，0）代入得，解得。∴此二次函数的关系式为。（2）∵，∴函数的顶点坐标为（1，－4）。（3）5。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，二次函数图象与平移变换。【分析】（1）可用一般式来求二次函数的关系式。（2）把二次函数的关系式化为顶点式即可求得顶点。（3）看顶点坐标是如何经过最短距离之和到达原点：|1－0|＋|-4－0|=5。42\n16.（2022江苏镇江6分）推理运算：如图，在直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=．（1）求点A，点B的坐标，并求边AB的长；（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，求证：△ADH∽△BAO；（3）求点D的坐标．【答案】解：（1）在中，令y=0，解得x=－4；令x=0，解得y=2。∴A（－4，0），B（0，2），即OA=4，OB=2。∴在Rt△AOB中，。（2）证明：∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°，∴∠BAO=∠ADH。又∵∠AOB=∠DHA=90°，∴△ADH∽△BAO。（3）∵△ADH∽△BAO，∴，即。∴DH=2，AH=1。∴OH=5。∴D（－5，2）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）在解析式中令y=0，x=0就可以求出A，B的坐标，根据勾股定理就可以求出AB的长。（2）求证∠BAO=∠ADH，再根据∠AOB=∠DHA=90°，即可证出结论。（3）根据△ADH∽△BAO，可以求出DH，AH，即可得到D的坐标。17.（2022江苏镇江7分）实际运用：如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T（m，n）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O（北京路与奥运路的十字路口），OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；42\n（3）设t=m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．【答案】解：（1）设反比例函数为，则k=xy=mn=S矩形OATB=10000。∴反比例函数的关系式为。（2）设鲜花方阵的长为m米，则宽为（250－m）米，由题意得，m（250－m）=10000，250m－m2=10000，即m2－250m＋10000=0，解得m=50或m=200，满足题意。∴此时火炬的坐标为（50，200）或（200，50）。（3）∵mn=10000，∴在Rt△TAO中，。∴当t=0时，TO最小。∵t=m－n，∴此时m=n。又mn=10000，m＞0，n＞0，∴m=n=100，且10＜100＜1000。∴T（100，100）。【考点】反比例函数和一元二次方程的应用，勾股定理。【分析】（1）根据题意，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递，且方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米，将此数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式。（2）设鲜花方阵的长为m米，则宽为（250－m）米，根据面积为10000，列出方程求解即可。（3）根据勾股定理即可用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离，即可求出火炬离指挥部最近时，火炬的位置。18.（2022江苏镇江8分）探索研究：如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，－1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；42\n（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线有无其它公共点并说明理由．【答案】解：（1）证明：由题可知AO=CQ=1。∵∠AOH=∠QCH=900，∠AHO=∠QHC，∴△AOH≌△QCH（AAS）。∴OH=CH，即H点为线段AQ的中点。（2）①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，又∵AR∥PQ，∴∠RAH=∠PQH。∴△RAH≌△PQH（ASA）。∴AR=PQ。∴四边形APQR为平行四边形。②设P（），∵PQ∥y轴，∴Q（），PQ=。过点P作PG⊥y轴于点G，在Rt△APG中，，∴平行四边形APQR为菱形。（3）除P点外，直线PH与抛物线无其它公共点。理由如下：设直线PH为，P（），由OH=CH，得H（），∴，解得。∴直线PH为。42\n联立和得，整理得。∵△=，∴有两相同实数根，即直线PH和只有一个公共点P。【考点】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，平行的性质，平行四边形、菱形的判定，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由AAS可证△AOH≌△QCH，从而得到对应边相等：OH=CH，即H点为线段AQ的中点。（2）①由ASA可证△RAH≌△PQH，从而得到对应边相等：AR=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。②设P（），求出PQ和AP的长，即可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得证。（3）用待定系数法求出直线PH的解析式，与联立，得关于x的一元二次方程，由其根的判别式等于0即可得出直线PH和只有一个公共点P的结论。19.（2022江苏省10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。42\n（2）∵四边形是菱形，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。20.（2022江苏省12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。42\n答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。21.（2022江苏镇江6分）运算求解：在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点.（1）求直线l的函数关系式；42\n（2）求△AOB的面积.【答案】解：（1）设直线l的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），把（3，1），（1，3）代入得，，解得，。∴直线l的函数关系式为y＝－x＋4。（2）在y＝－x＋4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)。∴S△AOB＝AO·BO＝×4×4＝8。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。【分析】（1）知道直线经过两点，可设出解析式为y＝kx＋b，用代定系数法求函数关系式。（2）求出A，B两点的坐标为（4，0）和（0，4），便可知OA＝OB＝4的长，代入三角形面积公式就可以求出△AOB的面积。22.（2022江苏镇江9分）深化理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n为非负整数时，如果，则<x>＝n如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝（π为圆周率）；②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为；（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x≤n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b.求证：a＝b＝2n.42\n【答案】解：（1）①3；②。（2）①证明：设x＝k＋b，k为x的整数部分，b为其小数部分，1）当0≤b＜0.5时，<x>＝k，m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分，<x＋m>＝m＋k，∴<x＋m>＝m＋<x>。2）当b≥0.5时，<x>＝k＋1，则m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分，<x＋m>＝m＋k＋1，∴<x＋m>＝m＋<x>综上所述：<x＋m>＝m＋<x>。②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。∴<x>＋<y>＝<x＋y>不一定成立。（3）作的图象，如图：y＝<x>的图象与图象交于点(0，0)、、，∴x＝0，。（4）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数，当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2，即(n－)2≤y＜(n＋)2。①∴n2－n＋≤y＜n2＋n＋。∵y为整数，∴y＝n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n个y。∴a＝2n②。42\n则。∴③比较①，②，③得：a＝b＝2n。【考点】新定义，近似数，整数，二次函数的性质，不等式的整数解。【分析】（1）第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3－≤2x－1＜3＋，解这个不等式组，可求得x的取值范围。（2）根据定义进行证明和举反例。（3）用图象法解，可设y＝<x>，y＝，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x的值。（4）根据在＜n≤x≤n＋1范围内y随x的增大而增大，所以可得出y的取值范围，从而求出y的整数解的个数，同样地由定义得，，把此式两边平方可得，k与y的取值范围一致，所以a＝b。23.（2022江苏镇江10分）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。⑴若点E与点P重合，求的值；⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线42\n与直线相交于点P，∴点P（1，2）。若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形∵PE⊥PF，∴∴S△PEF＝∴四边形PFGE是矩形，∴S△PEF＝S△GFE，∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE＝∵S△OEF＝2S△PEF，∴，解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，舍去。∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）。（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H∵△FHM∽△MBE，∴∵FH＝1，EM＝PE＝1－，FM＝PF＝2－k，∴。在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，∴（1－）2＝（）2＋（）2解得k＝，此时E点坐标为（，2）。42\n②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，。∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝－1，∴＝，BM＝2在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2）∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。【分析】（1）易由直线，求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在图象上，坐标满足函数关系式，求出。（2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF面积是PEF面积2倍的关系求出。（3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出。要注意应根据点P、E、F三点位置分k＜2和k＞2两种情况讨论。24.（2022江苏镇江6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线在第一象限交于点C（1，m）。（1）求m和n的值；（2）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线交于点P、Q，求△APQ的面积。42\n【答案】解：（1）∵点C（1，m）在双曲线上，∴。将点C（1，4）代入，得，解得。（2）在中，令，得，∴A（－1，0）。将分别代入和，得P（3，8）。Q（3，）。∴AD=3－（－1）=4，PQ=。∴△APQ的面积=。【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入，求出m的值，再将C（1，4）代入即可求出n的值。（2）求出点A、P、Q的坐标即可得到△APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得△APQ的面积。25.（2022江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。42\n【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为（千米/小时），乙车的速度为（千米/小时）。根据题意，得，解得a=180（千米）。（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则，解得x=90。经检验，x=90是方程的解并符合题意，∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：【考点】一次函数和方程的应用。【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：。设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得，解得。42\n（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程求解）。应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为。若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为（小时）。∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。26.（2022江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为▲。（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为▲。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，－2）。（2）点A在抛物线E上，理由如下：42\n将x=2代入得y=0。∴点A在抛物线E上。（3）将（－1，n）代入得。【发现】A（2，0）和B（－1，6）。【应用1】不是。∵将x=－1代入，得，∴二次函数的图象不经过点B。∴二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，则，即，得。∴C1（0，）。易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=。∴D1（3，）。易得△OAD2∽GAD1，则，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。42\n∴D2（0，－1）。易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2（－3，5）。∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入得；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，－1）代入得。∴满足条件的所有t值为，，，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）。（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。（3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。42