【中考12年】江苏省南通市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（江苏省南通市2022年3分）抛物线y=2x2－4x＋7的顶点坐标是【】A．（－1，13）B．（－1，5）C．（1，9）D．（1，5）【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】利用公式法或利用配方法可求出y=2x2－4x＋7=2（x－1）2+5的顶点的坐标（1，5）。故选D。2.（江苏省南通市2022年3分）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。【分析】由反比例函数的图象得到k的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致：∵函数的图象经过二、四象限，∴k＜0。∴抛物线开口向下，对称轴，即对称轴在y轴的左边。故选D。3.（江苏省南通市2022年3分）抛物线的对称轴是【】A、x＝－2B、x＝2C、x＝－4D、x＝4【答案】B。43\n【考点】二次函数的性质。【分析】可以用配方法将抛物线的一般式写成顶点式，或者用对称轴公式求解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴是直线x=2。故选B。4.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）二次函数的图象如图所示,若,,则【】A、B、C、D、【答案】D。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】∵当=2时，，∴可以判断；∵当=－1时，，∴可以判断；∵抛物线的开口向上，对称轴在=1右侧，∴＞0，对称轴，即。∴可以判断。故选D。5.（江苏省南通市课标卷2022年3分）已知抛物线的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是【】43\nA．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞3【答案】B。【考点】二次函数的图象。【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（－1，0），根据抛物线的对称性可知，另一交点为（3，0）。因为抛物线开口向上，所以当y＜0时，－1＜x＜3。故选B。6.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值与【】A、x=1时的函数值相等B、x=0时的函数值相等C、x=时的函数值相等D、x=时的函数值相等【答案】B。【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。【分析】∵当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则以x1、x2为横坐标的两点关于直线x=对称，∴，所以。∵根据抛物线的对称性可知x=与x=0时函数值相等。故选B。7.（江苏省南通市课标卷2022年3分）如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2－3x2y1的值为【】A．－10B．－5C．5D．10【答案】A。【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线43\n交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。又∵点A、点B在双曲线上，∴x1y1=－5，x2y2=－5。∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×（－5）+7×（－5）=－10。故选A。8.（江苏省南通市2022年4分）如图，把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，则直线AB的解析式是【】．A、y＝－2x－3B、y＝－2x－6C、y＝－2x＋3D、y＝－2x＋6【答案】D。【考点】一次函数图象与平移变换。【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可：∵原直线的k=－2，向上平移后得到了新直线，∴新直线的k=－2。∵直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，即n＝6－2m，∴直线AB经过点（m，6－2m）。设新直线的解析式为y=－2x＋b1，∴6－2m=－2m＋b1，则b1=6。∴直线AB的解析式是y=－2x＋6。故选D。9.（江苏省南通市2022年4分）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【】43\nA．B．C．D．【答案】D。【考点】一次函数与二元一次方程（组），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组：根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为=2－1，=－+2，因此所解的二元一次方程组是。故选D。10.（江苏省南通市2022年3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有【】A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B。【考点】等腰三角形的判定，坐标与图形性质。【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案，注意求解有关等腰三角形问题时一定要注意分情况讨论：如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，22）（0，-22）（0，4）。故选B。11.（江苏省南通市2022年3分）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【】43\nA．甲的速度是4km/hB．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1hD．甲比乙晚到B地3h【答案】C。【考点】一次函数的图象。【分析】根据所给的一次函数图象有：A.甲的速度是，选项错误；B.乙的速度是，选项错误；C．乙比甲晚出发，选项正确；D．甲比乙晚到B地，选项错误。故选C。12.（2022江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是【】A．m＜0B．m＞0C．m＞－D．m＜－【答案】D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。【分析】将A（－1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出y1与y2的表达式：。由y1＞y2得，，解得m＜－。故选D。13.（2022江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），43\n∴，解得。∴直线l的解析式为：y=2x－1。∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。二、填空题1.（2022江苏南通2分）抛物线的顶点坐标是▲_。【答案】（2，1）。【考点】二次函数的性质。【分析】将抛物线变为项点式即可求出顶点坐标（或用公式计算）：∵，∴抛物线的顶点坐标是（2，1）。2.（2022江苏南通3分）设点P1（x1，y1）和P（x2，y2）都在反比例函数y=的图象上，且x1<x2<0，则y1▲_y2（填“＜”或“＞”。【答案】＜。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】结合已知条件和反比例函数的性质，画出函数图象，根据反比例函数图象上点的特性，即可看出y1与y2的大小关：∵双曲线y=中k=－2＜0，∴函数图象如图在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。∵点P1（x1，y1）和P（x2，y2）都在反比例函数y=的图象上，且x1<x2<0，∴P1，P2两点在第二象限的曲线上。∴0＜y1＜y2。故填＜。3.（江苏省南通市2022年2分）写出具有性质“图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大”的一个反比例函数▲．【答案】（答案不唯一）。【考点】反比例函数的性质。【分析】对于反比例函数43\n，当k＞0时，图象是位于一、三象限；当k＜0时，图象是位于二、四象限。根据题意，所写函数只要k＜0即可：如（答案不唯一）。4.（江苏省南通市2022年3分）如图，如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为▲cm【答案】12。【考点】一次函数的应用，待定系数法。【分析】设解析式为y=kx+b，把（5，14.5），（20，22）代入得：，解之得。所以弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系为y=0.5x+12。当x=0时，y=12．即弹簧不挂物体时的长度为12cm。5.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图,△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在的图象上,斜边OA1、A1A2都在轴上,则点A2的坐标是▲.【答案】（，0）。【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。【分析】如图，作P1B⊥y轴于点B，P1A⊥x轴于点A，P2C⊥y轴于点C，P2D⊥x轴于点D。∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，∵点P1在的图象上，∴OA•OB=4。43\n∴OA=OB=AA1=2，OA1=4。设A1D=x，∵点P2在的图象上，∴OD•OC=4，即（4+x）x=4。解得（∵，∴舍去）。则。∴A2坐标为（，0）。6.（江苏省南通市课标卷2022年3分）如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是▲．7.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣7x2y1的值等于▲　．43\n【答案】20。【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。又∵点A、点B在双曲线上，∴x1y1=4，x2y2=4。∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20。8.（江苏省南通市课标卷2022年3分）请写出一个二次函数y=ax2＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=－2时，y＜0．答：▲．（答案不唯一）【答案】y=－x2＋2x－3（答案不唯一）。【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质，∵图象关于直线x=1对称，∴。又∵当x=2时，y＞0；当x=－2时，y＜0，∴a＜0，c＞0，b2－4ac＞0。∴与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且x1＜x2，－2＜x1＜0，2＜x2＜4。∴可得较简单的一个为a=－1，b=2，x1=－1，x2=3，c=x1•x2=－3。∴次函数y=ax2＋bx＋c可以为y=－x2＋2x－3。9.（江苏省南通市2022年3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝▲．43\n【答案】12。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值：由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（xD，yD），矩形OABC的面积=|xD·yD|=，∵图象在第一象限，∴k=xD•yD=12。10.（江苏省南通市2022年3分）一次函数中，y随x增大而减小，则m的取值范围是▲．【答案】m＜3。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】因为y随x增大而减小，所以k＜0，即2m－6＜0，从而得m的取值范围：m＜3。11.（江苏省2022年3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。12.（江苏省南通市2022年3分）如果正比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值等于▲．【答案】2。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】由于正比例函数43\n的图象经过点（1，－2），于是点（1，－2）满足y＝kx，进而利用待定系数法求解：∵图象经过点（1，－2），∴1×k=－2，解得：k=－2。三、解答题1.（2022江苏南通9分）已知抛物线(m为常数)（1）求证：此抛物线与x轴一定有交点；（2）是否存在正数m，使已知抛物线与x两个交点的距离等于？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。2.（2022江苏南通9分）改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇年国民生产总值为5亿元时，可达到小康水平。（1）若从1996年开始，该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇经过几年可达到小康水平？（2）设以2022年为第1年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x之间的关系是43\n该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？【答案】解：（1）设经过x年可达到小康水平，则根据题意，得2+0.6x=5，解得x=5。答：该镇通过5年可达到小康水平。（2）依题意，将y=5×4＝20代入并化简得，解得x=9或－15（舍去）.又∵2022为第一年，∴2022年国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值的4倍）。【考点】二次函数的应用，解一元一、二次方程。【分析】（1）依题意可列出一元一方程，解出即可。　　　　（2）依题意可列出一元二方程，解出即可。3.（2022江苏南通12分）已知m、n是x的方程的两个根，且,过点Q（m,n）的直线L1交于点A（0，t），直线L1、L2分别与x轴的负半轴交于点B、C（如图）ΔABC为等腰三角形。（1）求m、n、t的值；（2）求直线L1与直线L2的解析式；（3）若P为直线L2上的点，且ΔABO与ΔABP相似，求点P的坐标。（4）43\n【答案】解：（1）∵m、n是x的方程的两个根，且，　　　　　　　　　∴，解得。　　　　　　（2）由（1）得点Q，A。　　　　　　　　设直线L1的解析式为，则，解得。　　　　　　　　∴直线L1的解析式为。　　　　　　　　令，得。∴B（－1,0）。∴OA=，OB=1，AB=2。∵ΔABC为等腰三角形，∴BC=AB=2。∴OC=3，点C的坐标为（－3，0）。　　　　　　　　设直线L1的解析式为，则，解得。　　　　　　　　∴直线L1的解析式为。（3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300。　∴要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=900或∠ABP=900。　∵点P在直线L2上，∴设P（）。　又∵OA=，OB=1，　∴AB=2，，。　若∠APB=900，　则，即。　解得，（舍去）或。43\n　此时，。　∴P（）。【注：此时实际上两三角形全等】若∠ABP=900，　则，即。　解得，。　此时，。　∴P（）。　综上所述，点P的坐标为（）或（）。【考点】一次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解方程和方程组。【分析】（1）由m、n是x的方程的两个根，且，根据一元二次方程根与系数的关系，可得三元方程组，解之即得m、n、t的值。（2）由（1）可得点A、Q的坐标，用待定系数法，可求得直线L1的解析式。由ΔABC为等腰三角形可求得点C的坐标，从而由点A、C的坐标，用待定系数法，可求得直线L2的解析式。（3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=300，所以要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=900或∠ABP=900。因此分∠APB=900或∠ABP=900两种情况分别求解即可。4.（江苏省南通市2022年10分）某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期共投入固定成本200万元，每生产1台这种新家电，还需要生产成本0.3万元，已知每台新家电的售价为0.5万元．（1）分别求总成本y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；（2）当x=900（台）时，该公司的盈亏情况如何？（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．（注：总成本=固定成本＋生产成本，总利润=总产值－总成本）【答案】解：（1）根据题意，y1=0.3x＋200，y2=0.5x－（0.3x＋200）=0.2x－200。 （2）把x=900代入y2中，可得y2=0.2×900－200=－20＜0，∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元。43\n（3）根据题意，当0.2x－200＜0时，解得x＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会亏损；当0.2x－200＞0时，解得x＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会盈利；当0.2x－200=0时，解得x=1000，说明总产量等于1000台时，公司不亏不盈。【考点】一次函数的性质和应用。【分析】（1）根据题意可直接列出两个函数解析式。（2）再把x=900代入y2中可求出盈利额，负则说明亏损，正则说明盈利。（3）利用y2的解析式，让y2＞0则可算出生产多少会盈利，y2=0不亏损也不盈利，y2＜0则会亏。5.（江苏省南通市2022年12分）设抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M．（1）求b和c（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3）在第（2）小题所求的点中，有一个点也在抛物线y=ax2＋bx＋c上，试判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，∴，解得。（2）由（1）得，抛物线y=ax2－bx＋c－1的解析式是y=ax2＋（a＋1）x－2a，∵物线y=ax2－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等，∴ax2＋（a＋1）x－2a=x，即ax2＋ax－2a=0。∵a是抛物线解析式的二次项系数，∴a≠0。∴方程的解是x1=1，x2=－2，∴抛物线y=ax2－bx＋c－1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（－2，－2）。（3）由（1）得抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是y=ax2－（a＋1）x＋1－2a。①当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有a－（a＋1）＋1－2a=1，解得。这时抛物线y=ax2＋bx＋c的解析式是，它与y轴的交点是M（0，2）。∵点A（－1，2），M（0，2）两点的纵坐标相等，43\n∴直线AM平行于x轴。②当P2（－2，－2）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，有4a＋2（a＋1）＋1－2a=－2，解得。这时抛物线的解析式为，它与y轴的交点是M（0，）。∵A、M两点的纵坐标不相等，∴直线AM与x轴相交。综上所述，当P1（1，1）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，直线AM平行x轴；当P2（－2，－2）在抛物线y=ax2＋bx＋c上时，直线AM与x轴相交。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把A（－1，2），B（2，－1）两点分别代入抛物线y=ax2＋bx＋c，即可用a表示出b、c的值。（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入抛物线y=ax2－bx＋c－1，即可求出符合条件的点的坐标。（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其解析式，根据其解析式可求出函数图象与y轴的交点坐标，根据其纵坐标于A点纵坐标的关系即可判断出直线AM与x轴的关系。6.（江苏省南通市2022年8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，－4），B（－1、0），C（－2，5）三点．（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标．【答案】解：（1）依题意有：43\n解得。∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3。描点作图如下：（2）（1，－4），（2，－3）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】本题的关键是求出二次函数的解析式，已知了抛物线所经过的A、B、C三点，可用待定系数法求出抛物线的解析式。经过描点、连线得出函数的图象后即可得出第四象限内抛物线上所有整点的坐标。7.（江苏省南通市2022年10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点．（1）求证：点D在y轴上；（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；（3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．43\n【答案】解：（1）证明：∵AB2+BD2=32+42=52=AD2∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD。∵x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，∴点D在y轴上。 （2）由旋转的性质知，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB。过Q点作QH⊥BD，垂足为H。在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×，PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×，BH=PB－PH=。∴Q（，）。∵直线y=kx+b过P、Q两点．∴，解得。∴直线PQ的解析式为。（3）设B′T′与AB交于点M，Q′T′交AB于点E，交AD于点F。∵0＜m≤3，∴。由（2）可知，BE=QH=．∴AE=AB－BE=4－。∴EF=AE•tan∠DAB=。43\n∴。又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=m。∴。∴。【考点】一次函数综合题，勾股定理的逆定理，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，平行的性质，三角形和梯形面积。【分析】（1）根据AB、BD、AD的长，不难得出三角形ABD为直角三角形．由于A、B在x轴上，且B为原点，因此D必在y轴上。（2）点P的坐标易求出，关键是求出Q点的坐标，可过Q作QH⊥y轴于H，那么可在直角三角形PQH中，根据PQ的长和∠QPB的三角函数值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的长，即可得出Q点的坐标，然后用待定系数法求出直线PQ的解析式。（3）当0＜m≤3，B'在线段BD上，此时重合部分是个五边形．设TB'与x轴的交点为M，AD与Q'T的交点为F，那么重合部分的面积可用梯形EFDB的面积-三角形EBB'的面积来求得。梯形的上底可用AE的长和∠DAB的正切值求出（AE的长为A点横坐标绝对值与Q点横坐标绝对值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的长，由此可求出S、m的函数关系式。8.（江苏省南通市2022年6分）已知，二氧化碳的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）的函数关系式是ρ⑴求当V=5m3时二氧化碳的密度ρ⑵请写出二氧化碳的密度ρ随V的增大（或减小）而变化的情况。【答案】解：（1）当V=5m3时，ρ=1.98（kg/m3）。（2）密度ρ随体积V的增大而减小。【考点】反比例函数的应用。【分析】（1）把V的具体值代入所给的函数解析式即可得出结果。（2）由比例系数大于0，得ρ随V的增大而减小。9.（江苏省南通市2022年7分）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：43\n⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．10.（江苏省南通市2022年10分）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC＝2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y＝2x＋1⑴求BC、AP1的长；⑵设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；⑶以点E为圆心作⊙E与x轴相切①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说43\n明理由。【答案】解：（1）在y＝2x＋1中，令x=0，得y=1，∴B（0，1）。∵A的坐标为（0，3），∴在y＝2x＋1中，，令y=3，得x=1，∴P1（1，3）。∴AB=3－1=2，BC=2AB=4，AP1=1。（2）过点D作DG∥PE交BC于点G，则由△DCG≌△BAP1，得CG=AP1=1∵1≤m＜4，∴PD=4－m，EC=4－m＋1=5－m，CD=2，∴。（3）①⊙P和⊙E的位置关系有相交、外切和相离，理由如下：在Rt△ABP1中，∵AB=2，AP1=1，∴BP1=。∴PE=BP1=。在Rt△ABC中，∵AB=2，BC=4，∴AC=2。∵Rt△APF∽Rt△ACD，∴，即，∴。∴EF=－。如图，过点E作EH⊥x轴于点H，则EH=OB=1。设AP＝m，∴当⊙P和⊙E相切时，EF=EH，即－=1，解得。当⊙P和⊙E相交时，1≤m＜4，且EF＜EH，即－＜1，解得43\n。当⊙P和⊙E相离时，1≤m＜4，且EF＞EH，即－＞1，解得。∴当时，⊙P和⊙E相离；当时，⊙P和⊙E相切；当时，⊙P和⊙E相交。②外离或相交．理由如下：∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，∴或者。当时，9－2m=5，m=2，即AP=2，∴。∴此时两圆外离。当时，9－2m=3，m=3，即AP=3，∴。∴此时两圆相交。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理，梯形的面积，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）求BC、AP1的长，因为BC=2AB，可以根据直线的解析式是y=2x+1，确定B、P1的坐标，得出AB的距离，从而求出BC、AP1的长。（2）根据梯形PECD的面积公式求出PD、EC、CD的长，从而求出S与m之间的函数关系式，及自变量m的取值范围。（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系。11.（江苏省南通市大纲卷2022年8分）已知抛物线经过（－1,0）,（0,－3）,（2,－3）三点.⑴求这条抛物线的解析式;⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.43\n【答案】解：（1）把（－1,0）,（0,－3）,（2,－3）代入，得：，解得：。∴抛物线的解析式为。（2）∵，∴抛物线的开口方向向上，对称轴为=1，顶点坐标为（1，－4）。【考点】待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】⑴已知了抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式。⑵根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）。12.（江苏省南通市大纲卷2022年12分）在平面直角坐标系中，直线经过点A（,4），且与轴相交于点C，点B在轴上，O为为坐标原点,且。记的面积为S.（1）求m的取值范围;（2）求S关于m的函数关系式;（3）设点B在轴的正半轴上，当S取得最大值时,将沿AC折叠得到,求点的坐标.【答案】解：（1）∵直线经过点A（，4），∴，∴。∵，∴，解得2≤m≤6。（2）∵A的坐标是（，4），∴OA=。又∵，∴OB=7。∴B点的坐标为（0，7）或（0，－7）。直线与y轴的交点为C（0，m）。①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7－m。43\n∴。②当点B的坐标是（0，－7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m。∴。（3）当m=2时，一次函数取得最大值，这时C（0，2）。如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E。则AD=，CD=4－2=2。在Rt△ACD中，，∴∠ACD=60°。由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，∴∠B′CE=180°－∠B′CB=60°。在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，∴CE=，B′E=。∴OE=CE－OC=。∴点B′的坐标为（，－）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，解不等式组，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据点在直线上的意义可知．由即可求出m的取值范围。（2）根据题意求出B点的坐标（0，7）或（0，－7）。分两种情况求出S关于m的函数关系式。（3）分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．利用Rt△ACD中的关系：，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7－2=5，所以∠B′CE=180°－∠B′CB=60°．再利用Rt△B'CE中的线段之间的关系可求得，CE=，B′E=．故OE=CE－OC=．所以点B′的坐标为（，－）。13.（江苏省南通市课标卷2022年9分）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系．43\n（1）求y与x的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？【答案】解：（1）设，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．∴，解之，得。∴y与x的函数关系式为。（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y＝380时，，得x＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元)。显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少。（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则W＝xy＝x（－80x+720）＝，∴当x＝时，W最大值＝1620。要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥W最大值+780，即50a≥1620+780，解之，得a≥48。所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯。【考点】一次和二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）设y=kx+b，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式。43\n（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得。（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解。14.（江苏省南通市大纲卷2022年8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．【答案】解：（1）由图象，可知A（0，2），B（4，0），C（5，－3），得方程组解得。∴抛物线的解析式为。∵∴抛物线的顶点坐标为（，）。（2）所画图如图：43\n（3）由图象可知，当－1＜x＜4时，y＞0。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的图象。【分析】由图象可得出A、B、C三点的坐标，用待定系数求出抛物线的解析式，从而可画出x＜0时抛物线的图象，以及y＞0时x的取值范围。15.（江苏省南通市大纲卷2022年12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．（1）求点D，B所在直线的函数表达式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．【答案】解：（1）过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBO＝60°，OD＝BC＝2，∴CA＝BC·sin∠CBO＝，BA＝BC·cos∠CBO＝1。∴点C的坐标为（4，）。设直线CB的解析式为，由B（5，0），C（4，），43\n得，解得。∴直线CB的解析式为（2）∵∠CBM＋∠2＋∠3＝180°，∠DMC＋∠1＋∠2＝180°，∠CBM＝∠DMC＝∠DOB＝60°，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠2．∴∠1＝∠3。∴△ODM∽△BMC。∴。∴OD·BC=BM·OM。∵B点为（5，0），∴OB＝5。设OM＝x，则BM＝5－x。∵OD＝BC＝2，∴2×2＝x（5－x），解得x1＝1，x2＝4。∴M点坐标为（1，0）或（4，0）。（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，OM＝1，BM＝4。∵DC∥OB，∴∠MDE＝∠DMO。又∵∠DMO＝∠MCB．∴∠MDE＝∠MCB。∵∠DME=∠CMF=α，∴△DME∽△CMF。∴。又由（2），∴CF=2DE。∵CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m，即。（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2，OM＝4，BM＝1。同理可得△DME∽△CMF，∴，∴DE=2CF。∵CF＝2－n，DE＝m，∴m＝2（2－n），即。【考点】43\n一次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系数法，即得直线DB的函数表达式。（2）先证明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5﹣x，得2×2=x（5﹣x），解得x的值，即可求得M点坐标。（3）分M点坐标为（1，0和M点坐标为（4，0）两种情况讨论即可。16.（江苏省南通市课标卷2022年7分）一定质量的气体，当温度不变时，气体的压强p（Pa）是气体体积V（m3）的反比例函数．已知当气体体积为1m3时，气体的压强为9.6×104Pa．（1）求p与V之间的函数关系式；（2）要使气体的压强不大于1.4×105Pa，气体的体积应不小于多少立方米？（精确到0.1m3）【答案】解：（1）设，由题意，得k=9.6×104，∴p与V之间的函数关系式为。（2）令p≤1.4×105，得，解得V≥。∴气体体积应不小于0.7m3。【考点】反比例函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解不等式。【分析】（1）用待定系数法求得p与V之间的函数关系式。（2）利用“压强不大于1.4×105Pa”作为不等关系解不等式即可。17.（江苏省南通市2022年9分）周华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y(米)与时间x(分)的关系如图所示．回答下列问题：(1)填空：周华从体育场返回行走的行走速度时___________米/分；(2)刘明与周华同时出发，按相同的路线前往体育场，刘明离周华家的距离y(米)与时间x(分)的关系式为y＝kx＋400，当周华回到家时，刘明刚好到达体育场．①直接在图中画出刘明离周华家的距离y(米)与时间x(分)的函数图象；②填空：周华与刘明在途中共相遇___________次；③求周华出发后经过多少分钟与刘明最后一次相遇．43\n【答案】解：（1）160。（2）①根据题意图象经过（0，400）（40，2400），所以作图如下：②2。③由刘明离周华家的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式y＝kx＋400和（40，2400）得，40k＋400=2400，解得k=50。∴刘明离周华家的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式为y=50x+400。由函数的图象可知，在出发后25分钟到40分钟之间最后一次相遇。设周华出发后25分钟到40分钟之间的图象解析式为y=kx+b根据图象有，解得。∴当25≤x≤40时，周华从体育场到家的函数关系式是y=－160x＋6400。由解得。∴周华出发后经过分钟与刘明最后一次相遇。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由速度=路程÷时间可得2400÷（40－25）=160。43\n（2）刘明图象经过点（40，2400），可以求出函数解析式，然后用两点法作图，相遇就是所走路程相同求解。18.（江苏省南通市2022年9分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？【答案】解：（1）∵每台彩电的利润是（3900－100x－3000）元，每天销售（6＋3x）台，∴y=（3900－100x－3000）（6＋3x）=－300x2＋2100x＋5400。（2）∵y=－300x2＋2100x＋5400=－300（x－3.5）2＋9075，又x为正整数，∴当x=3或4时，利润y最大，为9000元。当x=3时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15=54000元；当x=4时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18=63000元。∴销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元。此时，每台彩电的销售价是3500元时彩电的销售量和营业额均较高。【考点】二次函数的性质和应用。【分析】（1）根据每天销售这种彩电获得的利润=每台彩电的利润×每天销售台数列出函数关系式。（2）用配方法或公式法分析求出销售该品牌彩电每天获得的最大利润，并讨论每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高。19.（江苏省南通市2022年15分）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．43\n【答案】解：（1）∵A(0，1)、B(0，3)，∴AB=2。∵△ABC是等腰三角形，且点在x轴的正半轴上，∴AC=AB=2。∴。∴C（，0）。设直线BC的解析式为，∴，解得。∴直线BC的解析式为。（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，∴。∴抛物线为y＝ax2＋c又抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（0，1）、D(3，－2)两点，∴，解得。∴抛物线的解析式是。在中，OA=1，AC=2，∴。在中，OB=3，，∴。∴CA是的角平分线。∴直线BC与x轴关于直线AC对称。∵点P关于直线AC的对称点在x轴上，∴符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点。∵点P在直线BC上，∴设点P的坐标是。又∵点P在抛物线上，43\n∴，解得，。∴所求的点P的坐标是，。（3）要求PM＋CM的取值范围，可先求PM＋CM的最小值。I）当点P的坐标是时，点P与点C重合，故。显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为。∵点M是y轴上的动点，∴PM＋CM无最大值，∴PM＋CM。II）当点P的坐标是时，由点C关于y轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得。∴PM＋CM的最小值是6。同理PM＋CM没有最大值，∴PM＋CM的取值范围是PM＋CM。综上所述，当点P的坐标是时，PM＋CM，当点P的坐标是时，PM＋CM。【考点】二次函数综合题，等腰三角形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质，垂直线段的性质。【分析】（1）由等腰三角形的性质，求出点C的坐标即可求出直线BC的解析式。（2）由抛物线y＝ax2＋bx＋c关于轴对称和经过A（0，1）、D(3，－2)两点即可求出抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式。证出CA是的角平分线，即知直线BC与x轴关于直线AC对称，得出符合条件的点P就是直线BC：与抛物线的交点的结论，从而联立和，即可求出点P的坐标。（3）分点P的坐标是和点P的坐标是两种情况讨论即可。20.（江苏省南通市2022年14分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．43\n（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．【答案】解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2。∴B点坐标为（－8，－2）。∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）。∴。（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）。∵，S△DBO=，S△OEN=，∴。∴。∴双曲线为。由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）。∴C（－4，－2），M（2，2）。设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得，解得。∴直线CM的解析式是。（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1。设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．43\n于是。同理。∴。【考点】反比例函数和一次函数的综合题，矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，关于原点对称点的性质，平行线的性质。【分析】（1）由矩形的性质可得点B的横坐标，代入即可求得点B的纵坐标，根据对称性可得点A的坐标，由曲线上点的坐标与方程的关系可得k的值。（2）由面积的关系式，求出点C、M的坐标，即可由待定系数法求出直线CM的解析式。（3）由平行线分线段成比例的性质，可得和，即可求出p－q的值。21.（江苏省2022年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。（2）∵四边形是菱形，43\n∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。22.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。43\n（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。23.（江苏省南通市2022年9分）如图，直线与双曲线相交于A（2，1）、B两点．（1）求m及k的值；43\n（2）不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；（3）直线经过点B吗？请说明理由．【答案】解：(1)把A（2，1）分别代入直线与双曲线的解析式得:m=－1，k=2。(2)根据反比例函数的对称性，点B、点A关于坐标原点对称，∴B的坐标(－1，－2)。(3)当x=－1，m=－1代入，得y=－2×(－1)＋4×(－1)=2－4=－2，∴直线经过点B(－1，－2)。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质，关于坐标原点对称点的特征。【分析】（1）将点A分别代入两个解析式直接求解即求。（2）利用双曲线关于原点的对称性求得。（3）由（1）和（2），将x=－1，m=－1代入，看y的值是否等于－2即可判断。24.（江苏省南通市2022年12分）已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线(＞0)经过其中的三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线(＞0)上；(2)点A在抛物线(＞0)上吗？为什么？(3)求和的值．【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上，联立方程，解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。43\n(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。(3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，联立方程，，解之得a＝1，k＝－2。②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，联立方程，解之得a＝，k＝。因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，a＝，k＝。【考点】二次函数，二元一次方程组。【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。(2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有①B、C、D，②B、C、E，③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。25.（江苏省南通市2022年14分）如图，已知直线经过点A(1，0)，与双曲线交于点B(2，1)．过点P(，－1)(＞1)作轴的平行线分别交双曲线和于点M、N．(1)求的值和直线的解析式；(2)若点P在直线＝2上，求证：△PMB∽△PNA；43\n(3)是否存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得，解之，得∴所求直线l的解析式为。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，BP＝∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。∴△PMB∽△PNA。(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为则有解得则直线MP为43\n当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。则，由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。此时，S△AMP大于情况当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。26.（2022江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．43\n【答案】解：（1）0.5。 （2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），∴代入y=kx+b，得：，解得：。∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）。（3）设线段OA对应的函数解析式为y=mx（0≤x≤5），∵A点坐标为（5，300），代入解析式y=mx得，300=5m，解得：m=60。∴线段OA对应的函数解析式为y=60x（0≤x≤5）由60x=110x－195，解得：x=3.9。∴货车从甲地出发经过3.9小时与轿车相遇，即轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。（2）由D点坐标（2.5，80），E点坐标（4.5，300），用待定系数法求出线段DE对应的函数解析式。（3）用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x－195时，求解减去1小时即为轿车追上货车的时间。43