【中考12年】江苏省泰州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（2022江苏泰州3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函教是【】。A.B.C.D.【答案】C。【考点】正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质。【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质逐一作出判断：A.的k=－2＜0，∴y随x的增大而减小；B.的k=－2＜0，∴y随x的增大而减小；C.的k=－2＜0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；D.的a=－2＜0，对称轴为x=0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小。故选C。2.（2022江苏泰州4分）抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且，则m的值为【】。A.B.0C.D.【答案】D。【考点】抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且，∴，即。又根据一元二次方程根与系数的关系，，∴。解得。故选D。33\n3.（江苏省泰州市2022年4分）用某种金属材料制成的高度为h的圆柱形物体甲如右图放在桌面上，它对桌面的压强为1000帕，将物体甲锻造成高度为h的圆柱形的物体乙(重量保持不变)，则乙对桌面的压强为【】A．500帕B．1000帕C．2000帕D．250帕【答案】A。【考点】反比例函数的应用。【分析】甲乙的重量相等，高度之比是2：1的关系，所以物体与桌面的接触面积是1：2的关系，根据压强公式即可求解：根据压强公式可知，甲的压强为p=FS，即F=1000S，则乙的压强为p′=1000S2S=500帕。故选A。4.（江苏省泰州市2022年3分）反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可为【】A．B．0C．1D．2【答案】C。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，随的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，随的增大而增大。所以，∵的图象在每个象限内，随的增大而减小，∴。故选C。5.（江苏省泰州市2022年3分）下列函数中，随的增大而减小的是【】A．B．C．（）D．（）【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，随的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，随的增大而增大。所以，33\nA、，根据反比例函数的性质得到，图象在二、四象限内，在每个象限内随的增大而增大，故该选项错误；B、，根据反比例函数的性质得到，图象在二、四象限内，在每个象限内随的增大而减小，故该选项错误；C、，，根据反比例函数的性质，图象在第二象限内，随的增大而增大，故错误；D、，根据反比例函数的性质，图象在第三象限内，随的增大而增大，故该选项正确。故选D。6.（江苏省泰州市2022年3分）已知：二次函数，下列说法错误的是【】A．当时，随的增大而减小B．若图象与轴有交点，则C．当时，不等式的解集是D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则【答案】B。【考点】二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与轴的交点，二次函数与不等式（组）。【分析】二次函数为，对称轴为=2，图象开口向上。则：A、当时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与轴有交点，即△=16＋4≥0则≥－4，故选项错误；C、当=3时，不等式的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、可化为，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，项点移为（－1，）所得函数解析式是。由函数过点（1，－2），代入解析式得到：=3．故选项正确。故选B。7.（江苏省泰州市2022年3分）下列函数中，y随x增大而增大的是【】33\nA.B.C.D.【答案】C。【考点】一次函数、反比例函数、二次函数的增减性。【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性逐一分析作出判断：A.是反比例函数，其增减性有前提条件，即在“各个象限内”，不能笼统描述。选项错误。B.是一次函数，，所以y随x增大而减小。选项错误。C.是一次函数，，所以y随x增大而增大。选项正确。D.是二次函数的一部分，它的图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x增大而减小选项错误。故选C。8.（江苏省泰州市2022年3分）某公司计划新建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是【】ShODShOAShOBShOC【答案】C。【考点】反比例函数的图像和性质。【分析】因为池的底面积S(m2)与其深度h（m）之间的函数关系为反比例函数的一部分，所以根据反比例函数的图像特征，直接得出结果。故选C。二、填空题1.（2022江苏泰州2分）如图，一男生推铅球．铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，铅球推出距离为▲m。【答案】10。33\n【考点】二次函数的应用。【分析】推出的水平距离就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解：当y=0时，，解之得x1=10，x2=－2（不合题意，舍去）。所以推铅球的水平距离是10m。2.（江苏省泰州市2022年3分）在距离地面2米高的某处把一物体以初速度（米/秒）竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度（米）与抛出时间（秒）满足：(其中是常数,通常取10米/秒2),若米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面▲米.4.（江苏省泰州市2022年3分）直线，直线与轴围成图形的周长是▲（结果保留根号）．【答案】。【考点】一次函数的应用，两条直线相交或平行问题，勾股定理。【分析】如图，过B作BC⊥OA于C，33\n直线与轴的交点为（－2，0），直线与坐标轴交于原点，而直线与直线的交点为（－1，1）。则由（－2，0）、（0，0），（－1，1）三点所围成三角形得底边AO长为2，高BC为1。∵点B的坐标为（－1，1），∴OC=AC=1，∴BA=BO=。∴直线，直线与轴围成图形的周长是。5.（江苏省2022年3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。6.（江苏省泰州市2022年3分）一次函数（为常数且）的图象如图所示，则使成立的的取值范围为▲．【答案】＜－2。【考点】一次函数的图象。【分析】观察图象可知，时直线在轴上方，的取值在－2的左侧，所以的取值范围是＜－2。三、解答题1.（2022江苏泰州12分）已知，二次函数，k为正整数，它的图象与x轴交于点A、B，且点A在原点左边，点B在原点右边。（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线过点A且与y轴的正半轴交于点C，与抛物线交于第一象限内的点D，过点D作DE⊥x轴于点E，已知。33\n①求直线的解析式；②若点O1是△ABD的外接圆的圆心，求tan∠ADO1；③设抛物线交y轴于点F，问点F是否在△ABD的外接圆上，请证明你的结论。【答案】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴。解得k＜3。∵k为正整数，∴k取1、2。当k=1时，，符合题意。当k=1时，，此时函数图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去。∴二次函数的解析式为：。（2）①设D（a，h），∵点D在第一象限，∴a＞0，h＞0。由得A（－1，0），B（3，0）。∵点C是直线与y轴的正半轴的交点，∴C（0，n），n＞0。∵直线过点A，∴即。∴。∵点E是和的交点，∴。33\n∵，∴，解得a=2或a=0（舍去）。∴，解得。∴直线的解析式为。②如图，连接O1D，O1A，作O1M⊥AD于点M。则。∴。③点F是在△ABD的外接圆上。证明如下：在中令，得，∴F（0，3）。连接DF交抛物线的对称轴于点G，连接O1D，O1F。易知，DF∥x轴，∴O1G⊥DF，FG=GD=1。∴O1G垂直平分DF。∴O1F=O1D（半径）。∴点F是在△ABD的外接圆上。【考点】二次函数综合题，二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，曲线上点的坐标与方程的关系，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，二次函数的性质。【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△＞0，求出k的取值范围，结合k为正整数，求出k的整数解；再将整数解代入二次函数解析式，得到符合题意的二次函数。（2）①设D（a，h），由直线过点A得到，由点E是和的交点得。根据列出方程，求出a，从而求得n而得到直线的解析式。②连接O1D，O1A，作O1M⊥AD于点M，根据垂径定理、圆周角定理和锐角三角函数定义，可得。③连接DF交抛物线的对称轴于点G，连接O1D，O1F，只要证明O1F=O1D（半径）即可。2.（江苏省泰州市2022年8分）某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威。可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。（1）请你给出不同的租车方案（至少三种），（2）33\n若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天,请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。【答案】解：（1）方案1：四辆8人车，一辆4人车4×8＋1×4=36；方案2：三辆8人车，三辆4人车3×8＋3×4=36；方案3：二辆8人车，五辆4人车2×8＋5×4=36；方案4：一辆8人车，七辆4人车1×8＋7×4=36；方案5：九辆4人车9×4=36； （2）设8座车x辆，4座车y辆，则费用w=300x＋200y。∵8x＋4y=36，且0≤8x≤36，0≤x≤，∴w=1800－100x。∴当x取最大整数值，即x=4，y=1时，w的值最小。答：最佳方案为四辆8人车，一辆4人车。【考点】二元一次方程组和一次函数的应用。【分析】（1）设8座车x辆，4座车y辆，可得8x+4y=36，结合x，y是正整数进行分析。（2）根据租金结合（1）中的方程得到一次函数，根据自变量的取值范围分析其最小值。3.（江苏省泰州市2022年12分）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，面积S＝9，建立如图所示的直角坐标系，已知A（1,0）、B（0,3）。（1）求C、D两点坐标；（2）取点E（0,1），连结DE并延长交AB于F，求证：DF⊥AB；（3）将梯形ABCD绕A点旋转180°到AB’C’D’，求对称轴平行于y轴，且经过A、B’、C’三点的抛物线的解析式；（4）是否存在这样的直线，满足以下条件：①平行于x轴，②与（3）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（3）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点？若存在，求出这个等边三角形的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）依题意设C（－m，3）则D（－m－1，0），BC=m，AD=m＋2。33\n由梯形面积公式得（m＋m＋2）×3÷2=9，解得m=2。∴C（－2，3），D（－3，0）。 （2）证明：∵OD=OB=3，∠DOE=∠BOA=90°，OE=OA=1，∴△ODE≌△OBA（SSS）。∴∠DEO=∠A，∠EDO+∠DEO=90°。∴∠A+∠EDO=90°。∴DF⊥AB。（3）由旋转的性质可得B'（2，－3），C'（4，－3）。又A（1，0），设抛物线解析式y=ax2＋bx＋c，代入得，解得。∴所求抛物线的解析式y=x2－6x＋5。 （4）存在。设等边三角形边长为2n，∵抛物线对称轴是x=3，顶点坐标（3，－4），∴其中右交点为（n＋3，n2－4），等边三角形高为n2－4－（－4）=n2。由等边三角形底，高的关系得，∴。∴等边三角形边长为，高为3，面积为。【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析】（1）依题意设C（－m，3），则D（－m－1，0），根据梯形面积公式可求m=2，即可求出C，D两点坐标。（2）通过证明△ODE≌△OBA，利用互余关系可证DF⊥AB。（3）利用中心对称画图，由对称性可确定A，B'，C'三点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式。（4）根据等边三角形的高与边长的关系，建立等式求解。4.（江苏省泰州市2022年12分）已知：如图，抛物线与轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线经过点N，交轴于点F.⑴求这条抛物线和直线的解析式.(4分)33\n⑵又直线与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H.①试用含有k的代数式表示;（2分）②求证：.（2分）⑶在⑵的条件下，延长线段BD交直线于点E，当直线绕点O旋转时,问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.（4分）【答案】解：（1）∵直线经过轴上的点N，∴N点的坐标为（，0）。又∵抛物线过N点，∴，即m2－8m=0，解得m=0或m=8。∵M，N在原点两侧，∴3（m－1）＜0即m＜1。∴m=8不合题意舍去。∴m=0。∴抛物线的解析式为，直线的解析式为。（2）①∵抛物线与直线y2交于A、B两点，∴，即。设C、D的坐标为（x1，0），（x2，0）．∴x1＋x2=2＋k，x1•x2=－3。∴。②证明：∵直线y2与y1交于P点，∴－2x＋6=kx，即，33\n∴H点的坐标为（，0）。∴OH=，。∴。（3）分三种情况：①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，∵∠OFD＜45°，∴∠FOB为钝角，此时y2的斜率k＜0。因此不合题意，不存在这种情况。②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），∴y=OF=3。∵直线y1过P点，∴P点的坐标为（，3）。∴3=k，k=2。∴直线y2的解析式为y2=2x。③PE=BE，则由△PBE∽△POE有PF=OF=6。过点P作PG⊥y轴于点G，设点P的坐标为（x，kx）。在Rt△ONF中，ON=3，OF=6，∴。∵PG∥x轴，∴，即。∴，kx=。∴点P的坐标为（，）。又∵直线过P点，∴，解得，∴直线y2的解析式为y2=（）x。综上所述y2的解析式为y2=2x=2x或y2=（）x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。33\n【分析】（1）可先根据直线y1的解析式求出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出m的值，然后根据M、N在原点两侧，即3（m-1）＜0，将不合题意的m的值舍去，即可求出抛物线和直线的解析式；（2）联立个相交函数的解析式，求出C，D，H三点的横坐标，然后用根与系数的关系进行求解即可。（3）分三种情况进行讨论：①当PB=BE时，则有∠OFD=∠OF，由于∠OFD为锐角且小于45°，因此∠FOB为钝角，此时直线y2的斜率k＜0，显然不合题意。②当PB=PE时，那么PF=PO，P点位于OF的垂直平分线上，因此P点的纵坐标为3，由此可求出P点的坐标．以此来求出直线y2的解析式。③当PE=BE时，那么由△PBE∽△POE有PF=OF=6，可过P作PG⊥y轴于G，通过构建相似三角形来求出P点的横坐标，从而根据直线y1的解析式求出k值，以此来求出直线y2的解析式。5.（江苏省泰州市2022年10分）“五一黄金周”的某一天,小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发,到距离180千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息,解答下列问题：(1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？(2)求出返程途中,（千米）与时间（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？(3)若出发时汽车油箱中存油15升,该汽车的油箱总容量为35升,汽车每行驶1千米耗油升.请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议.(加油所用时间忽略不计)【答案】解：（1）由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了14－10=4小时。（2）设返程途中,（千米）与时间（时）的函数关系为，由（14,180）和（15,120），得，解得　。∴（14≤t≤17）。令，得。33\n答：返程途中与时间的函数关系是,小明全家当天17:00到家。（3）答案不唯一，大致的方案为：①9：30前必须加一次油；②若8：30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但加油总量至少为25升。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图可知：10—14小时的时间段内小明全家在旅游景点游玩，因此时间应该是4小时。（2）可根据14小时和15小时两个时间点的数值，用待定系数法求出函数的关系式。（3）可根据8小时和10小时两个时间段的数值求出出发途中（千米）与时间（时）的函数关系函数关系式：。∵出发时的15升油，可行驶的路程是15÷19=135千米，代入函数式中可得出=9.5，∴9：30以前必须加一次油。∵如果刚出发就加满油，那么可行驶的路程=35÷19=315千米＞180千米，因此如果刚出发就加满油，到景点之前就不用再加油了．也可以多次加油，但要注意的是不要超出油箱的容量。6.（江苏省泰州市2022年12分）抛物线()交轴于点A(－1,0)、B（3,0）,交轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.(1)求顶点D的坐标(用的代数式表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由。【答案】解：（1）由题意：设抛物线的解析式为，∴。33\n当时，。∴点C（0，－3），D（1,－4）。（2）过点D作DE⊥轴于点E，易证△DEC∽△COB。∴，即，∴。　∵，∴。∴抛物线的解析式为：。（3）符合条件的点P存在，共3个：①若∠BPD＝90°，P点与C点重合，则P1（0，3）（P1表示第一个P点，下同）。②若∠DBP＝90°，过点P2作P2R⊥轴于点R，过点D作DH⊥轴于点H，设点P2由△BP2R∽△DBH得，，即，解得或（舍去）。∴。③若∠BDP＝90°，设DP3的延长线交y轴于点N，过点D作DH⊥轴于点H，由△EDN∽△HDB得，，即求得EN＝，∴N（0，）。由D（1,4），N（0，）求得DN的解析式为。则由得和。∴抛物线与直线DN的交点得P3（）。33\n综上所述：符合条件的点P为（0，3）、、（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，圆周角定理。【分析】（1）由点A（－1，0）和B（3，0）用待定系数法设抛物线的交点式，化为顶点式即可以求出D的坐标。（2）过点D作DE⊥轴于点E，易证△DEC∽△COB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出的值．从而求出抛物线的解析式。（3）分∠BPD=90°，∠DBP=90°，∠BDP=90°三种情况进行讨论：第一种情况，当∠BPD=90°时，根据直径所对圆周角是直角的圆周角定理，点C就是满足条件的点P。第二种情况中，当∠DBP=90°时，过点P2作P2R⊥轴于点R，由△BP2R∽△DBH就可以求出。第三种情况，∠BDP=90°，设DP3的延长线交轴于点N，可证△EDN∽△HDB，求出直线DN的解析式，就可以求抛物线与直线DN的交点。7.（江苏省泰州市2022年10分）.右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．（1）求抛物线的解析式.（6分）（2）求两盏景观灯之间的水平距离.（4分）【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）。设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5，把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－。33\n∴抛物线的解析式为y=－(x－5)2＋5（0≤x≤10）。（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=－(x－5)2＋5，∴(x－5)2=1。∴x1=，x2=。∴两景观灯间的距离为x1＋x2=5米。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（5，5），用待定系数法设抛物线的顶点式表达式，将抛物线与y轴交点坐标代入即可求解。（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，故将y=4代入抛物线的解析式即可求出两景观灯间的距离。8.（江苏省泰州市2022年12分）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同.放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）(x≥2)的函数关系式；（4分）（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？（4分）（3）按（2）的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？（4分）【答案】解：（1）设在x≥2时，存水量y与放水时间x的解析式为y=kx＋b。把（2，17）、（12，8）代入y=kx＋b得，解得。33\n∴所求函数关系式为y=－x＋（2≤x≤）。（2）由图可得每个同学接水量是（18－17）÷4=0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5升，22个同学接水后存水量y=18－5.5=12.5升。∴12.5=－x＋，∴x=7。∴前22个同学接水共需7分钟。（3）当x=10时，存水量y=－×10＋=。用去水18－=8.2升，设课间10分钟最多有z人及时接完水，由题意可得0.25z≤8.2z≤32.8∴课间10分钟最多有32人及时接完水。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图示（2，17）、（12，8）在直线上，用待定系数法即可求出函数关系式。（2）求出每个同学接水量，即可得前22个同学的总接水量，从而得到22个同学接水后的存水量，代入（1）的函数关系式即可求出前22个同学接水结束共需要的时间。（3）由（1）的函数关系式求出x=10时的存水量，得到放出的水量，设不等式即可求解。9.（江苏省泰州市2022年10分）如图，现有一横截面是一抛物线的水渠.一次，水渠管理员将一根长1.5的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，发现标杆有1浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）.⑴以水面所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式(结果保留根号)；⑵在⑴的条件下，求当水面再上升0.3时的水面宽约为多少？(取2.2,结果精确到0.1).33\n【答案】解：（1）设AB与轴交于点C，可知AC=1，BC=。作BD⊥轴于点D，则由∠BOD=300，得OA=，OC=，BD=，CD=，OD=。则A（0，－），B（，）。∴设抛物线的解析式为，将点B的坐标代入得，解得，。∴设抛物线的解析式为：。（2）当水面再上升0.3时，代入得，解得，。∵，∴当水面再上升0.3时的水面宽约为2.6。【考点】二次函数的性质和应用，平行的性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）作BD⊥轴于点D，设AB与轴交于点C，则解直角三角形BCD和OCD，即可求得点A和点B的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式。（2）当水面再上升0.3时，，求出的值，即可得到当水面再上升0.3时的水面宽。10.（江苏省泰州市2022年10分）2022年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时)．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米)、(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了____________小时；(2分)33\n(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区，请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？(6分)(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米．请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．(4分)【答案】解：（1）1.9。(2)设直线EF的解析式为=kx+b，∵点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上，∴，解得。∴直线EF的解析式是。∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，∴点C的纵坐标为80×6—100=380。∴点C的坐标是（6，380）。设直线BD的解析式为=mx+n，∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，∴，解得。∴BD的解析式是。∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入得B（4.9，270）。∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米。（3）符合约定。理由如下：33\n由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D对应的时间相距最远。在点B处对应的时间有—=80×4.9—100—（100×4.9—220）=22千米＜25千米，在点D处对应的时间有—=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米。∴按图像所表示的走法符合约定。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图知，甲组在途中停留的时间=4.9－3=1.9（小时）。（2）由点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在线段EF上，用待定系数法可求线段BD所在直线EF的表达式，从而求出点C的坐标。由点C（6，380）、点D（7，480）在线段BD上，用待定系数法可求线段BD所在直线的表达式，从而求出点B的坐标。点B的纵坐标即为甲组在排除故障时，距出发点的路程。（3）由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D对应的时间相距最远，求出变两个时间的纵坐标与25千米比较，即可得出结论。11.（江苏省泰州市2022年14分）已知二次函数的图像经过三点(1,0)，(－3,0)，(0,).（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）（2）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A，落在两个相邻的正整数之间.请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A，点A的横坐标满足，试求实数k的取值范围.（5分）【答案】解：（1）设抛物线解析式为=a(x－1)(x+3)，将（0，—）代入，解得a=。33\n∴抛物线解析式为=(x－1)(x+3)，即=x2＋x－。列表，得x···－4－3－112···y···0－0···描点作图如下：（2）画出反比例函数在第一象限内的图像。由图像可知，交点的横坐标落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。（3）由二次函数性质可知：当2＜x＜3时，对=x2＋x－,y1随着x增大而增大，由反比例函数性质可知：当2＜x＜3时，对y2=（k＞0），y2随着x的增大而减小∵A为二次函数图像与反比例函数图像的交点。∴当=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方得y2＞y1，即＞×22+2-，解得＞5。同理，当=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方得y1＞y2，即×32+3—＞，解得＜18。∴的取值范围为5＜＜18。【考点】二次函数和反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数和反比例函数的图像和性质。33\n【分析】（1）由二次函数的图像经过三点(1,0)，(－3,0)，可用待定系数法，设定交点式，将（0，—）代入即可求出二次函数的表达式。然后描点作图即可。（2）观察图象可直接得出。（3）根据二次函数和反比例函数的性质，分别得出=2和=3时，两函数的大小关系，解之即可得到实数k的取值范围。12.（江苏省2022年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。（2）∵四边形是菱形，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。33\n【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。13.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。33\n∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。14.（江苏省泰州市2022年10分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2022年1月的利润为200万元．设2022年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2022年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2022年1月的水平？⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？33\n【答案】解：（1）①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，∴该化工厂治污期间y与x之间对应的函数关系式为（1≤≤5）。②∵当时，，且当＞5时每月的利润比前一个月增加20，∴当＞5时，，即该化工厂治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式（＞5）。15.（江苏省泰州市2022年12分）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x33\n轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）【答案】解：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），OA=OB，∴OA=OB=b。，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1。②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD，OP。∵PC、PD是⊙O的两条切线，PC⊥PD，∴∠CPD=90°。∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°。∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD＝45°，OD＝，∴OD＝PD＝，OP=。∵P在直线y＝－x＋4上，∴设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4。∵∠PFO=90°，∴OF2＋PF2＝PO2，即m2＋(－m＋4)2＝（）2，解得m=1或3。∴P的坐标为（1，3）或（3，1）。⑵分直线与x轴、y轴的正半轴和负半轴相交两种情形：33\n当直线与x轴、y轴的正半轴相交时，如图，设与x轴、y轴交于A，B，直线与圆交于E、F，连接OE，OF，作OC⊥EF于点C。∵直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，∴∠EOF=120°。∴∠COE=60°。在Rt△OCE中，OE=，∴OC=。又∵直线中，∴，即。∴AC=。由勾股定理，得AO=。∴OB=。∴直线与y轴交于点（，0），即b的值为。同理，当直线与x轴、y轴的负半轴相交，可求得b的值为。综上所述，b的值为或。【考点】一次函数的综合题，一次函数系数的几何意义，直线上点的坐标与方程的关系，圆切线的性质，勾股定理，弦径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）①由OA=OB=b，不难求得k的值。②过P作x轴的垂线，求出点P到x轴和y轴的距离即可。（2）直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，直线中，∴直线与x轴交角的正切值为，充分理解这两层意思，再结合直角三角形，求出直线与y轴交点坐标，即可求出b的值。16.（江苏省泰州市2022年10分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象。（1）求s2与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？33\ns(m)AODCBt(min)24001012F【答案】解：(1)t=2400÷96=25设s2=kt+b,将（0,2400）和（25,0）代入得：解得：∴s2=-96t+2400（2）由题意得D为（22,0）设直线BD的函数关系式为：s=mt+n得：解得：∴s=-240t+5280由-96t+2400=-240t+5280解得：t=20当t=20时，s=480答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案。（2）首先求得直线BD的解析式，然后求直线BD与EF的交点，即可求得答案。17.（江苏省泰州市2022年12分）已知二次函数的图象经过点P（－2，5）（1）求b的值并写出当1＜≤3时y的取值范围；（2）设在这个二次函数的图象上，①当＝4时，能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当取不小于5的任意实数时，一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。【答案】解：（1）由题意得：4-2b-3=5∴b=-233\n则y=x²-2x-3=(x-1)²-4∴当1＜x≤3时，-4＜y≤0(2)y1=m²-2m-3y2=(m+1)²-2(m+1)-3=m²-4y3=(m+2)²-2(m+2)-3=m²+2m-3①当m=4时，y1=5，y2=12，y3=21∵5+12＜21∴不能作为同一个三角形三边的长②当m≥5时，∵m＜m+1＜m+2,而函数当x≥1时y随x增大而增大∴y1＜y2＜y3y1+y2-y3=（m²-2m-3）+（m²-4）-（m²+2m-3）=m²-4m-4=（m-2）²-8≥1＞0∴一定能作为同一个三角形三边的长【考点】二次函数的增减性,三角形构成的条件。【分析】⑴把点P的坐标代入即可得到b的值.根据二次函数的增减性知当x≥1时y随x增大而增大,所以只要求x=1.3时y的值即可得解。（2）根据根据两边之和大于第三边的三角形构成的条件可得证。18.（2022江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．【答案】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），将点B、C的坐标分别代入得33\n，解得。∴二次函数的解析式为。（2）令y=0，则，整理得，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3。∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（－1，0）（3，0）。∴当y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，x的取值范围是－1＜x＜3。【考点】二次函数综合题，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象与x轴的交点问题。【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答。（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出c的取值范围即可。19.（2022江苏泰州12分）如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．33\n【答案】解：（1）将点B的坐标代入，得，解得。∴反比例函数解析式为。将点C（，d）的坐标代入，得。∴C（，－2）。∵一次函数的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点，∴，解得。（2）存在。令，即，解得。∴A（，0）。由题意，点P（m，n）是一次函数的图象上的动点，且∴点P在线段AB上运动（不含A、B）。设P（）。∵DP∥x轴，且点D在的图象上，∴，即D（）。∴△PAD的面积为。∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。又∵n=，，得，而。∴当时，即P（）时，△PAD的面积S最大，为。（3）由已知，P（）。易知m≠n，即，即。若，则。由题设，，解出不等式组的解为。若，则。由题设，，解出不等式组的解为。33\n综上所述，数a的取值范围为，。【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B的坐标求得，从而得到；由点C在上求得，即得点C的坐标；由点B、C在上，得方程组，解出即可求得k、b的值。（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。（3）由m≠n得到。分和两种情况求解。33