【中考12年】江苏省无锡市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年江苏无锡中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（2022江苏无锡3分）下列各点中，在双曲线y=上的是【】A．（1，2）B．（2，2）C．（4，2）D．（0，2）【答案】A。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是2的，就在此函数图象上。四个选项中只有A符合。故选A。2.(江苏省无锡市2022年3分)若一次函数，当的值减小1，的值就减小2，则当的值增加2时，的值【】A．增加4B．减小4C．增加2D．减小2【答案】A。【考点】一次函数的性质。【分析】∵当x的值减小1，x变成x–1，y的值就减小2，则y变为y–2，∴y–2=k(x–1)+b，整理得，y–2=kx–k+b，而y=kx+b，∴kx+b–2=kx–k+b．解得k=2。∴一次函数为y=2x+b。当x的值增加2时，即x变为x+2，故y′=2(x+2)+b=2x+4+b=2x+b+4=y+4，∴y增加了4。故选A。3.(江苏省无锡市2022年3分)如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值【】A．等于2B．等于C．等于D．无法确定【答案】B。22\n【考点】反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义。因此，延长BC交y轴与M点，过D作DN⊥x轴于N。由题意易知，四边形OABM为矩形，且S△OBM=S△OBA由k的几何意义知，S△COM=S△DON，∴S四边形DNAB=S△BOC=3而△ODN∽△OBA，相似比为OD：OB=1:3，∴S△ODN：S△OBA=1:9。∴S△ODN：S四边形DNAB=1:8。∴S△ODN=，∴k=。故选B。4.(江苏省无锡市2022年3分)下列二次函数中，图象以直线为对称轴、且经过点(0，1)的是【】A．B．C．D．【答案】C．【考点】二次函数图象的性质，点的坐标与方程的关系。【分析】根据二次函数对称轴的概念知二次函数为A、C之一；又根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点(0，1)的坐标分别代入A、C，使等式成立的即为所求。故选C。5.(江苏省无锡市2022年3分)如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是【】A．>1B．<－1C．0<<1D．－1<<0【答案】D．【考点】点的坐标与方程的关系,不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。【分析】由抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1,代入可得交点A的纵坐标是2。把(1，2)代入可得。从而。则求不等式的解集等同于问当22\n为何值时函数图像在函数图像下方。由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，－1），与图像的交点横坐标是－1。故当－1<<0时，函数图像在函数图像下方，从而关于的不等式的解集是－1<<0。故选D。6.（2022江苏无锡3分）若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为【】　A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标：y=﹣2+1=﹣1，从而，将该交点坐标代入即可求出k的值：k=﹣1×（﹣1）=1。故选B。二、填空题1.（江苏省无锡市2022年3分）若点（1，2）在直线y=2x+k上，则k的值是▲．【答案】0。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】把点（1，2）代入函数解析式y=2x+k得：2+k=2，解得：k=0。2.（江苏省无锡市2022年2分）若函数的图象经过点（－1，2），则k的值是▲。【答案】－2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值：∵函数的图象经过点（－1，2），∴，得k=－2。3.（江苏省无锡市2022年2分）反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为▲.【答案】－2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值：∵函数的图象经过点（2，－1），∴，得k=－2。4.（江苏省无锡市2022年2分）函数的图象经过点（－l，），则＝▲_。22\n【答案】3。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－l，）代入求解即可：∵函数的图象经过点（－l，），∴。5.（江苏省无锡市2022年2分）反比例函数的图象经过点（－1，2），则的值为▲．【答案】。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，2）代入求解即可：∵函数的图象经过点（－1，2），∴，解得。6.（江苏省无锡市2022年2分）若反比例函数的图象经过点（），则的值为▲．【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，－2）代入求解即可：∵函数的图象经过点（－1，－2），∴，解得。7.（江苏省无锡市2022年2分）已知平面上四点，，，，直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则的值为▲．【答案】。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，22\n梯形的面积。【分析】如图，设直线与AB、CD分别交于点P、Q。当时，，∴P（，0）。当时，，∴Q（，6）。∴AP=，BP=10－，DQ=，CQ=10－。由得，由于AD=BC，∴，即，解得。8.（江苏省2022年3分）反比例函数的图象在第▲象限．【答案】二、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。9.（2022江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　▲　．【答案】y=﹣x2+4x﹣3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。三、解答题1.（2022江苏无锡9分）某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地，已知汽车和火车从A地到B地的运输路程均为s km，这两家运输单位在运输过程中，除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，要收取的其他费用及有关运输资料由下表给出：22\n运输工具行驶速度（千米/时）运费单价（元/吨千米）装卸总费用（元）汽车5023000火车801.74620（1）请分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1（元）和y2（元）（用含s的式子表示）；（2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应选择哪家运输单位运送这批水果更为合算？【答案】解：（1），。（2）当s=100km时，（元），（元），∴为减少费用，果品公司应选择火车货运站运送这批水果更为合算。【考点】一次函数的应用。【分析】由题中条件不难得出两家运输公司运费与路程之间的函数关系；当s=100km时，计算那家的费用最低即可。2.（2022江苏无锡10分）已知直线（m＞0）与x轴、y轴分别交于点C和点E，过E点的抛物线的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线（m＞0）与x轴、y轴分别交于点C和点E，当y=0时，x=；当x=0时，y=m。∴C（，0）E（0，m）。∴CE=。由题意，抛物线过E点可得：m=c。抛物线的顶点为D。由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（，2m）。22\n∴，解得。∴。3.（江苏省无锡市2022年10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC－S△OBC＝OA·OB）.⑴求b的值；⑵若tan∠CAB＝，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设A（x1，0）、B（x2，0），由题设可求得C点的坐标为（0，c），且x1＜0，x2＞0。∵a＜0，∴c＞0。由S△OAC－S△OBC＝OA·OB，得：，即。22\n∴。∴b=－2。（2）存在。理由如下：设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N∵tan∠CAB=，∴OA=2•OC=2c。∴A点的坐标为（－2c，0）。∵A点在抛物线上，∴将x=－2c，y=0代入y=ax2－2x＋c，得。又∵x1、x2为方程ax2－2x＋c=0的两根，∴，即。∴。∴B点的坐标为(，0)。∴顶点P的坐标为（）。由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN又∵，∴AM=BM=，PM=。若△PAB的外接圆半径为，则直径PN=，MN=－。∴，解得，∴。∴所求抛物线的函数解析式是：。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理。【分析】（1）可根据S△OAC－S△OBC＝OA·OB来求解，先用OA、OC、OB的长，表示出△OAC、△OBC的面积，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出b的值。（2）先根据tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的长，即可得出A点的坐标，将A的坐标代入抛物线的解析式中，可将抛物线解析式中的待定系数减少为1个，然后用这个待定系数表示出P、B点的坐标，即可得出AB的长，如果过P作抛物线的对称轴交x轴于M，交圆于N，那么△PAB的外心必在PN（抛物线的对称轴）上，那么可根据相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，据此可求出抛物线中的待定系数，由此可得出抛物线的解析式。4.（江苏省无锡市2022年10分）某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足3－y与x+1成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．22\n（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）（生产费用=固定费用+材料费）②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？（销售利润=销售收入一生产费用-改造费用）5.（江苏省无锡市2022年10分）已知直线y=kx－4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线过A、C两点，且与x轴交于另一点B．22\n（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式．（2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）易知：A（，0），k＞0，AO=3BO，∴OA=，OB=，B（，0），∴AB=。过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，在直角三角形ADE中，则。根据直线AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，因此，即：，解得（负值舍去）。∴直线的解析式为。∴A（3，0），B（－1，0）。设抛物线的解析式为y=a（x－3）（x＋1），由于抛物线过C（0，－4），则有：a（0－3）（0＋1）=－4，a=，∴抛物线的解析式为y=（x－3）（x＋1），即。 （2）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2＋bx－4。设△ABC的外接圆圆心为P，连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，∵⊙P截y轴所得弦长为5，且过点A、B及C（0，－4）。∴⊙P过点D（0，1）。∴P点在x轴下方。∴CF=DF=，PE=OF=。∵∠APE=∠APB=∠ACB，∴tan∠APE==tan∠ACB=2∴AE=2PE=3，∴AB=2AE=6。∵OA•OB=OC•OD，即－x1x2=4。∴=4，a=1。∴抛物线的解析式为y=x2＋bx－4。22\n∵AB=6，∴x1－x2=6。∴。∴b=±2。∴存在这样的抛物线y=x2±2x－4。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，直线斜率的几何意义，相交弦定理，垂径定理，圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）本题可通过构建直角三角形求解，过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长，即可得出AB的长，已知了BE的长度，可用勾股定理求出AE的长。AE长的另一种表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE，然后联立两个AE的表达式即可求出k的值．从而可求出直线的解析式和抛物线的解析式。（2）已知了C点坐标，关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数．可用一元二次方程根与系数的关系来求解。已知了三角形ABC的外接圆（设圆心为P）截y轴的弦长为5，那么OD=1，根据相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出一元二次方程根与系数的关系中两根积的值，即可求出二次项系数的值．连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F。根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，据此可求出AE和AB的长，即可得出A、B横坐标差的绝对值，由此可求出一次项系数的值，即可确定抛物线的解析式。6.（江苏省无锡市2022年10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC－S△OBC＝OA·OB）.⑴求b的值；⑵若tan∠CAB＝，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设A（x1，0）、B（x2，0），由题设可求得C点的坐标为（0，c），且x1＜0，x2＞0。∵a＜0，∴c＞0。由S△OAC－S△OBC＝OA·OB，得：，即。∴。∴b=－2。（2）存在。理由如下：22\n设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N∵tan∠CAB=，∴OA=2•OC=2c。∴A点的坐标为（－2c，0）。∵A点在抛物线上，∴将x=－2c，y=0代入y=ax2－2x＋c，得。又∵x1、x2为方程ax2－2x＋c=0的两根，∴，即。∴。∴B点的坐标为(，0)。∴顶点P的坐标为（）。由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN又∵，∴AM=BM=，PM=。若△PAB的外接圆半径为，则直径PN=，MN=－。∴，解得，∴。∴所求抛物线的函数解析式是：。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理。【分析】（1）可根据S△OAC－S△OBC＝OA·OB来求解，先用OA、OC、OB的长，表示出△OAC、△OBC的面积，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出b的值。（2）先根据tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的长，即可得出A点的坐标，将A的坐标代入抛物线的解析式中，可将抛物线解析式中的待定系数减少为1个，然后用这个待定系数表示出P、B点的坐标，即可得出AB的长，如果过P作抛物线的对称轴交x轴于M，交圆于N，那么△PAB的外心必在PN（抛物线的对称轴）上，那么可根据相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，据此可求出抛物线中的待定系数，由此可得出抛物线的解析式。7.（江苏省无锡市2022年9分）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.22\n【答案】解：（1）∵直线与y轴交于点B，∴B（0，）又∵抛物线经过点B，∴，即。∴抛物线的解析式可化为，其顶点坐标P。又∵顶点P在直线上，∴，即，解得∴抛物线的解析式为或。（2）由题意知，A（），B（），∴OA=，OB=。∵BC⊥AB，∴△ABO∽△BOC。∴，即，解得。∴C（）。∵抛物线的对称轴经过C点，∴，解得。∴直线的解析式。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）反复应用点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，求出，表示出顶点坐标，代入直线，求出，即可得所求抛物线的解析式。（2）由BC⊥AB，得△ABO∽△BOC，从而由可求出点C的坐标，由抛物线的对称轴经过C点，根据求出，即可得所求直线的解析式。8.（江苏省无锡市2022年8分）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.（1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式.22\n【答案】解：（1）∵一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），∴，解得。∴这个一次函数关系式为。（2）根据A、B的坐标可得OA=6，OB=，∴AB=，∠BAO=30°。∵CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=。在Rt△ACD中，AD=，∠BAO=30°，∴，OC=OA－AC=2。∴C（2，0）；设抛物线的解析式为，将B点坐标代入后得：。∴抛物线的解析式为：，即。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据A、B的坐标用待定系数法即可求出直线AB的解析式。（2）根据A、B的坐标求出AB的长，即可求出AD的值，然后在Rt△ACD中根据∠DAC的余弦值求出AC的长，即可求出OC的长也就能求出C点的坐标．然后用待定系数法求出抛物线的解析式。9.（江苏省无锡市2022年9分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y＝－ax＋3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N。（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；（2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式。22\n【答案】解：（1）∵抛物线的顶点是C（0，1），∴b=0，c=1，∴。如图1，∵a>0，直线l过点N（0，3），∴M点在x轴正半轴上。∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2。把y=2代入y＝－ax＋3得，，∴P点坐标为（，2）。∵直线与抛物线交于点P，∴点P在上，∴解得a=1。∴直线l的函数关系式为。（2）如图2，若点P在y轴的右边，记为P1。过点P1作P1A⊥x轴于A，∵，，∴。∵，∴MP1=3P1N，MN=MP1＋P1N=4P1N。∴。∵ON=3，∴，即点P1的纵坐标为。把代入y＝－ax＋3，得。∴点P1的坐标为（）。又∵点P1是直线l与抛物线的交点。∴点P1在抛物线上，∴，解得∴抛物线的函数关系式为。如图2，若点P在y轴的左边，记为P2。作P2B⊥x轴于B，22\n∵，，∴。∵，∴MP2=3P2N，MN=MP2－P2N=2P1N。∴。∵ON=3，∴，即点P2的纵坐标为。由P2在直线l上可求得，又∵P2在抛物线上，∴，解得。∴抛物线的函数关系式为。综上所述，若线段MP与PN的长度之比为3:1，则抛物线的函数关系式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1．即抛物线的解析式为y=ax2+1．已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2．可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式。（2）分点P在y轴的左右边两种情况分别求解即可。已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值，从而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式。10.（江苏省无锡市2022年9分）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图像如图中的折线段所示．（1）试求折线段所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图像．（友情提醒：请对画出的图像用数据作适当的标注）22\n【答案】解：（1）设线段对应的函数关系式为，将（12，1）代入得。线段对应的函数关系式为：（）。又线段对应的函数关系式为：。∴折线段所对应的函数关系式为。（2）图中线段的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟。（3）如图中折线段：【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）为正比例函数图象，可以用待定系数法求出。（2）AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动。（3）妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用（20－12）÷2=4分钟。11.（江苏省2022年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．22\n【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。（2）∵四边形是菱形，∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。∵二次函数的图象经过点，，∴，解得∴二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。（2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。12.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：22\n（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】22\n（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。13.(江苏省无锡市2022年10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知老王种植水果的成本是2800元／吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大?最大利润是多少?22\n14.（2022江苏无锡8分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？22\n22