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全国通用版2022年中考数学复习第二单元方程与不等式第6讲一元二次方程练习
全国通用版2022年中考数学复习第二单元方程与不等式第6讲一元二次方程练习
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第6讲 一元二次方程重难点1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (2022·随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若+=-1,求k的值.【思路点拨】 (1)根据方程的系数结合根的判别式Δ>0,即可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=-2k-3,x1x2=k2,结合+=-1即可得出关于k的分式方程,解之经检验即可得出结论.【自主解答】 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k+3)2-4k2>0.解得k>-.(2)∵x1,x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根,∴x1+x2=-2k-3,x1x2=k2.∴+==-=-1.解得k1=3,k2=-1.经检验,k1=3,k2=-1都是原分式方程的根.又∵k>-,∴k=3.1.判断一元二次方程根的情况,要明确a,b,c的值,然后比较b2-4ac与0的大小.2.利用根与系数的关系解决有关代数式的问题,一般是通过变形将代数式转化为含有x1+x2与x1x2的式子.解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时,容易忽视一元二次方程的前提条件是:二次项系数a≠0.因此,在解答过程中,要首先列出前提条件,即:在满足二次项系数a≠0的条件下求解.【变式训练1】 (易错易混)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【变式训练2】 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x+x=10,求m的值.解:(1)由题意可知,Δ=[-(2m-2)]2-4(m2-2m)=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵x1+x2=2m-2,x1x2=m2-2m,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=10.∴(2m-2)2-2(m2-2m)=10.∴m2-2m-3=0.∴m=-1或m=3.(山西中考,7分)解方程:2(x-3)2=x2-9.6\n解:2(x-3)2=(x+3)(x-3).1分2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.2分(x-3)(2x-6-x-3)=0.3分(x-3)(x-9)=0.4分∴x-3=0或x-9=0.5分∴x1=3,x2=9.7分重难点2 一元二次方程的应用 某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2022年单价为200元,2022年单价为162元.(1)求2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?【思路点拨】 (1)设2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,根据2022年及2022年该品牌足球的单价,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于1的值即可得出结论;(2)根据两商城的促销方案,分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用,比较后即可得出结论.【自主解答】 解:(1)设2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,根据题意,得200×(1-x)2=162.解得x=0.1=10%或x=1.9(舍去).答:2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.(2)在A商城需要的费用为162×[90+(100-99)]=14742(元),在B商城需要的费用为162×100×=14580(元).14742>14580.答:去B商场购买足球更优惠.【变式训练3】 (2022·兰州)王叔叔从市场上买一块长80cm,宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱,如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱,根据题意列方程为(C)A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000【变式训练4】 某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,为占有市场份额,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.现在要使利润为6120元,每件商品应降价(A)A.3元B.2.5元C.2元D.5元【变式训练56\n】 (2022·通辽)为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为x(x-1)=21.列一元二次方程解应用题的常见关系:(1)平均变化率问题:若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b;(2)利润问题:利润=售价-成本;利润率=×100%;(3)矩形面积问题①镶边矩形:如图,镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S=(a-2x)(b-2x);②内嵌十字架型矩形:如图,图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子,此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S=(a-x)·(b-x).要检验方程的解是否符合实际意义.考点1 一元二次方程及其解法1.(2022·临沂)一元二次方程y2-y-=0配方后可化为(B)A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=2.(2022·宁夏)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是(A)A.1B.3-C.1+D.2+3.(2022·铜仁)一元二次方程x2-4x+3=0的解为(C)A.x1=-1,x2=3B.x1=1,x2=-3C.x1=1,x2=3D.x1=-1,x2=-34.(2022·柳州)一元二次方程x2-9=0的解是x1=3,x2=-3.5.(2022·淮安)一元二次方程x2-x=0的根是x1=0,x2=1.6.(整体思想)(2022·扬州)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为2__018.7.(2022·荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为-3.8.(2022·黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为16.9.选择适当的方法解下列方程:6\n(1)x2-5x+1=0;解:x2-5x=-1.x2-5x+()2=-1+()2.(x-)2=.x-=±.所以x1=,x2=.(2)(x-3)(x-1)=3;解:方程化为x2-4x=0.x(x-4)=0.所以x1=0,x2=4.(3)2x2-2x-5=0;解:Δ=(-2)2-4×2×(-5)=48.x===.所以x1=,x2=.(4)(y+2)2=(3y-1)2.解:(y+2)2-(3y-1)2=0.(y+2+3y-1)(y+2-3y+1)=0.(4y+1)(-2y+3)=0.4y+1=0或-2y+3=0.所以y1=-,y2=.考点2 一元二次方程根的判别式10.(2022·上海)下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断,正确的是(A)A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根11.(2022·山西)下列一元二次方程中,没有实数根的是(C)A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-212.(2022·吉林)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为-1.考点3 一元二次方程根与系数的关系13.(2022·眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则+的值是(C)A.B.-C.-D.14.(2022·长沙)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为2.15.(2022·德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2=-3.考点4 一元二次方程的应用16.(2022·大连)如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm6\n,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(B)A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x2=3217.(2022·绵阳)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为(C)A.9人B.10人C.11人D.12人18.(2022·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.19.(2022·盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为26件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?解:设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,∴x=10.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.20.(2022·咸宁)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2,下列结论正确的是(D)A.x1+x2=1B.x1·x2=-1C.|x1|<|x2|D.x+x1=21.(2022·潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+=4m,则m的值是(A)A.2B.-1C.2或-1D.不存在22.(2022·泰州)已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是(A)A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<023.(2022·包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为(B)6\nA.6B.5C.4D.324.(2022·孝感)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2,满足x+x-x1x2=3p2+1,求p的值.解:(1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.∵Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,∴无论p取何值,此方程总有两个实数根.(2)∵原方程的两根为x1,x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.又∵x+x-x1x2=3p2+1,∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1.∴52-3(6-p2-p)=3p2+1.∴25-18+3p2+3p=3p2+1.∴3p=-6.∴p=-2.25.(2022·嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是(B)A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长6
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:53:55
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文章作者:U-336598
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