江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届中考数学函数重点难点突破解题技巧传播九

函数重点难点突破解题技巧传播九课前集训1．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发，绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）A.B.C.D.3【答案】C.【解析】试题分析：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=，∴n=120°，即扇形的圆心角是120°，∴弧所对的弦长是2×3sin60°=.考点：1、圆锥的计算；2、最短路径问题.2．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：折扇的扇面面积===，故选C．考点：扇形面积的计算．3．如图，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为_______.１８\n【答案】9-3π．【解析】试题分析：阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积．试题解析：连接OA，OB，OP．根据切线长定理得∠APO=30°，∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3，∠AOP=60°．∴四边形的面积=2S△AOP=2××3×3=9；扇形的面积是，∴阴影部分的面积是9-3π．考点：1.扇形面积的计算；2.切线长定理．4．如图，、是⊙的切线，切点分别为、，若，则_____°.【答案】【解析】试题分析：分别联结、，则，而、是圆的切线，故，又根据四边形内角和为，所以.考点：1.同弧所对圆心角和圆周角的大小关系；2.圆的切线的定义；3.四边形的内角和.5．（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？初步思考：设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为⊙．（1）当、在线段的同侧时，１８\n如图①，若点在⊙上，此时有，理由是；如图②，若点在⊙内，此时有；如图③，若点在⊙外，此时有．（填“”、“”或“”）；由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：．类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当、在线段的异侧时的情形．图④图⑤图⑥如图④，此时有，如图⑤，此时有，如图⑥，此时有．由上面的探究，请用文字语言直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：．拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？已知：如图，是⊙的直径，点在⊙上，求作：．作法：①连接，；②在上任取异于、的一点，连接，；③与相交于点，延长、，交于点；④连接、并延长，交直径于；⑤连接、并延长，交⊙于N．连接．则．请按上述作法在图④中作图，并说明的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，，，答案不唯一，如：；１８\n（2），，，若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一圆上；（3）如图即为所作，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据题中所给的图，是非常熟悉的同弧所对的两个圆周角，故相等，后面两空可取特殊情况作判断，第四空可根据图①写出条件，但答案不唯一；（2）仿照（1）中对点与圆的三种位置关系展开讨论，可以结合圆内接四边形对角互补得到图④的结论，后面两空同样可以取特殊情况判断；（3）按部就班作图不难，而在证明垂直过程中，根据提示要用到（2）的结论，即对角互补时四点共圆，故可结合圆的性质、圆内接四边形的性质、三角形中位线逆定理、平行线性质等予以证明.试题解析：（1）同弧所对的圆周角相等，，，答案不唯一，如：；（2）如图即为所作.此时，此时，此时；（3）如图即为所作.１８\n是⊙的直径，、在⊙上，点是三条高的交点，点、、、在同一个圆上又点、、、在⊙上，考点：1.分类讨论；几何作图；3.圆的性质、圆内接四边形的性质、三角形中位线逆定理、平行线性质的综合应用.6．如图，定长弦在以为直径的⊙上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是．【答案】【解析】试题分析：方法一：延长，交⊙于点，联结，由垂径定理和中位线定理可知，，故当为直径时，；方法二：联结、，1取中点，联结、，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，故当点、、在同一直线上时，.考点：1.圆的性质；2.垂径定理；3.辅助线的添加.7．如图，⊙M的圆心M在x轴上，⊙M分别交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴的正半轴于点C，弦CD∥x轴交⊙M于点D，已知A、B两点的横坐标分别是方程x2=4（x+3）的两个根，１８\n（1）求点C的坐标；（2）求直线AD的解析式；（3）点N是直线AD上的一个动点，求△MNB周长的最小值，并在图中画出△MNB周长最小时点N的位置．【答案】（1）点C的坐标是（0，2）；（2）直线AD的解析式是；（3）.【解析】试题分析：（1）解方程求出两个根，从而得到点A、B的坐标，然后求出点M的坐标与圆的半径，连接CM，在Rt△CMO中，利用勾股定理列式求出OC的长度，即可写出点C的坐标；（2）过点M作ME⊥CD，根据垂径定理可得CD=2CE=2OM，然后得到点D的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AD的解析式；（3）找出点M关于直线AD的对称点，对称点与点B连接交AD于点N，连接MN，根据轴对称的性质，△MNB就是所要求作的周长最小的三角形，设直线AD与y轴相交于点F，连接FM，先利用直线AD的解析式求出点F的坐标，再根据勾股定理求出FM的长度，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到点M的对称点就是点C，再根据勾股定理求出BC的长度，也就是BN+MN，从而三角形的周长不难求出．试题解析：（1）方程x2=4（x+3）整理得，x2-4x-12=0，即（x+2）（x-6）=0，∴x+2=0，x-6=0，解得x=-2，或x=6，∴点A、B的坐标分别为：A（-2，0），B（6，0），（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，∴点M的坐标是（2，0），⊙M的半径是4，连接CM，则OC==，∴点C的坐标是（0，2）；（2）如图1，过点M作ME⊥CD，１８\n则CE=ED=CD，∵CD∥x轴，∴ME⊥x轴，∴四边形OMEC是矩形，∴CE=OM=2，∴CD=4，点D的坐标是（4，2），设直线AD的解析式是y=kx+b，∴解得，∴直线AD的解析式是；（3）如图2，设直线AD与y轴的交点是F，当x=0时，１８\n∴点F的坐标是（0，），在Rt△OMF中，FM=，，∴点M关于直线AD的对称点是点C，连接BC交直线AD于点N，连接MN，则△MNB就是所要求作的周长最小的三角形，此时，在△OBC中，BC=，△MNB周长=BN+CN+BM=BC+BM=点N的位置如图2所示．考点：一次函数综合题．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD（1）求证：∠ACH=∠CBD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）若⊙O的半径为5，BH=8，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8．【解析】试题分析：（1）根据垂径定理得出AB垂直平分CE，推出H为CE中点，弧AC=弧AE，根据圆周角定理推出即可．（2）根据圆周角定理求出∠ACH=∠CAD，推出AP=CP，求出∠PCQ=∠CQP，推出PC=PQ，即可得出答案．（3）连接OC，根据勾股定理求出CH，根据垂径定理求出即可．试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴AB垂直平分CE，即H为CE中点，弧AC=弧AE又∵C是的中点，∴弧AC=弧CD∴弧AC=弧CD=弧AE∴∠ACH=∠CBD；（2）由（1）知，∠ACH=∠CBD，又∵∠CAD=∠CBD１８\n∴∠ACH=∠CAD，∴AP=CP又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠PCQ=90°﹣∠ACH，∠PQC=∠BQD=90°﹣∠CBD，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P是线段AQ的中点；（3）解：连接OC，∵BH=8，OB=OC=5，∴OH=3∴由勾股定理得：CH==4由（1）知：CH=EH=4，∴CE=8．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．勾股定理；垂径定理；3．圆心角、弧、弦的关系．9．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．【答案】（1）详见解析；（2）5cm.【解析】试题分析：（1）可证明DE是⊙O的切线，只要证得∠ODE=90°即可．（2）先利用勾股定理求出OE的长，再利用中位线定理，可求出AB的长．试题解析：证明：（1）连结OD．由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB．∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD．∴∠2=∠3．而OD=OC，OE=OE∴△OCE≌△ODE．∴∠OCE=∠ODE．又∠C=90°，故∠ODE=90°．∴DE是⊙O的切线．（2）在Rt△ODE中，由OD=1.5，DE=2，得OE=2.5，１８\n又∵O、E分别是CB、CA的中点，∴AB=2×OE=2×2.5=5，∴所求AB的长是5cm．考点：1、三角形全等的判定和性质；2、切线的判定；3、三角形的中位线定理.10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，AD∥BC，连结OD，AC．（1）求证：∠B=∠DCA；（2）若tanB=，OD=，求⊙O的半径长．【答案】（1）见解析；（2）r=3.【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质可得∠2+∠3=90°，根据直径所对的圆周角为直角可得∠1+∠B=90°，根据OA=OC可得∠1=∠2，从而得出∠3=∠B；（2）根据角度的关系得出△ABC和△DCA相似，根据∠B的正切值，设AC=k，可以得到BC，AB与k的关系，根据Rt△OCD的勾股定理求出k的值.试题解析：（1）证明：连结OC．∵CD与⊙O相切，OC为半径，∴∠2+∠3=90°∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠B=90°，又∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠B．（2）∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，∴∠DAC=∠ACB=90°，∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∴∠B=∠3，∴△ABC∽△DCA∴∴∠B的正切值为设AC=k，BC=2k则AB=3k１８\n∴∴DC=在△ODC中，OD=3OC=k∴∴解得：k=2∴⊙O的半径长为3考点：切线的性质、三角形相似的应用、勾股定理.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OC，证明∠OCE+∠PCB=90°即可；（2）由平行四边形的性质得到BC=2，根据垂径定理得到BE=1，再根据勾股定理得到AE=3，在Rt△OCE中，根据勾股定理得到半径，最后根据△OCE∽△CPE，得到PC的长．试题解析：（1）连接OC．∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC，∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF，∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF，∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°，∴OC⊥PC，∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴AE==3，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3－r，，在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴，∴，解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°，∴△OCE∽△CPE，∴，∴，∴．１８\n考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．垂径定理．12．如图，PB切于点B，联结PO并延长交于点E，过点B作BA⊥PE交于点A，联结AP，AE．（1）求证：PA是的切线；（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝，求的半径．【答案】（1）证明见试题解析；（2）5．【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，根据垂径定理得出AB⊥OP，推出AP=BP，∠APO=∠BPO，证△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）在Rt△ADE中，由tan∠AEP＝＝，设AD＝x，DE＝2x，则OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解出x，则可以求出⊙O的半径的长．试题解析：（1）证明：如图，联结OA，OB．∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，∴∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴PA⊥OA．∴直线PA为⊙O的切线；（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴设AD＝x，DE＝2x，∴OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解得，，（不合题意，舍去）．∴AD＝4，OA＝OE＝2x－3＝5．即⊙O的半径的长5．考点：切线的判定与性质．13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．１８\n（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．试题解析：（1）连接OD．∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，又∵∠BDE=∠A，∴∠ODA=∠BDE，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，即∠ODA+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中，∵tanA=，∴BC=AB·tanA=10×=，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴，∴．考点：1．切线的判定；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．14．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点，．设∠ABP=α．（1）当α=10°时，°；１８\n（2）当点落在上时，求出的度数．【答案】（1）20；（2）30°．【解析】试题分析：（1）由翻折的性质可知：∠A’BP=∠ABP=10°，由此可得的度数；（2）若点落在上，连接OO′，则△BOO′是等边三角形，由此可得到α的度数．试题解析：（1）当α=10°时，20°；（2）若点落在上，连接OO′，则OO′=OB，又∵点关于直线对称，∴，∴△BOO′是等边三角形．∴∠OBO′=60°．∴α=∠OBO′=30°．考点：翻折变换．15．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，点在⊙上．（1）求出两点的坐标；（2）试确定经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；（3）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在使线段与互相平分【解析】试题分析：（1）作轴，为垂足，连接CB，根据C点的坐标及圆的半径可求得HB=，从而根据坐标的特点求出A、B的坐标；（2）根据圆的对称性（垂径定理）和抛物线的对称性可求得P点的坐标（1,3）（1，-1），分别设出顶点式，然后代入A、B点的坐标即可求得解析式；（3）根据题意假设存在D点，则由题意知四边形１８\n是平行四边形，根据平行四边形的性质得PC=OD，且PC∥OD，又由图形可知PC∥y轴，判断出D在y轴上，因此可由PC=2可求得OD=2，因此可得D点的坐标，代入二次函数的解析式可判断存在这样的点D（0,2）.试题解析：解：（1）作轴，为垂足，连接CB.，半径，故，（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为或（1，），设抛物线表达式，把点代入上式，解得．设抛物线解析式,把点代入上式，解得a=,．（3）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形且．１８\n轴，点在轴上．又，，即或（0，-2）．（0，2）满足，（0，-2）不满足,点（0，2）在抛物线上．所以存在使线段与互相平分．考点：待定系数法，二次函数的图像与性质，平行四边形的性质16．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.（1）求证：CE=CF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积的大小是．【答案】（2）（3）【解析】试题分析：（1）如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，根据点的对称可得EG=DG，且ED⊥AC，再根据DF⊥DE以及AB为半圆直径可证得四边形DGCH为矩形，因此可得CH=DG=EG，CH∥ED，再根据ASA证得△EGC≌△CHF，进而得证；（2）如图2，连接CD，则CD=CE，由（1）知EF=2CD，因此可判断当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，根据直径对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，再由AB=8，∠CBA=30°，可求得AC=4，BC=，而当CD⊥AD时，CD=BC=2，再根据EF=2CD=;（3）当点D从点A运动到点B时，如图3，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，结合（2）可知S△ABC=AC.BC=，因此可求阴影部分的面积.试题解析：１８\n解：（1）证明：如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，∵点E与点D关于AC对称∴EG=DG，且ED⊥AC，∵DF⊥DE，∴∠EGC=∠DGC=∠EDF=90°，∵AB为半圆直径，∴∠ACB=90°.∴四边形DGCH为矩形.∴CH=DG=EG，CH∥ED.∴ÐE=ÐFCH，ÐEGC=ÐCHF.∴△EGC≌△CHF.∴EC=FC；解：如图2，连接CD，则CD=CE.由（1）知，EF=2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴AC=4，BC=，当CD⊥AD时，CD=BC=，此时EF=2CD=，１８\n即EF的最小值为；解：当点D从点A运动到点B时，如图3，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，由（2）知，AC=4，BC=，∴∴线段EF扫过的面积是.考点：圆周角的性质，等腰三角形，三角形全等，垂线段的性质１８