江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届中考数学函数重点难点突破解题技巧传播五

函数重点难点突破解题技巧传播五课前集训1已知：且无意义，求的值.【答案】33【解析】试题分析：先根据且无意义可得，然后对代数式去括号整理，最后整体代入求值即可.解:由题意得.代入上式，得考点：代数式求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.2如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数和的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（　　）A．∠POQ不可能等于90°B．C．这两个函数的图象一定关于x轴对称D．△POQ的面积是【答案】D.【解析】试题分析：A．∵P点坐标不知道，当PM=MQ时，并且PM=OM，∠POQ等于90°，故此选项错误；B．根据图形可得：k1＞0，k2＜0，而PM，QM为线段一定为正值，故，故此选项错误；C．根据k1，k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称，故此选项错误；１３\nD．∵|k1|=PM•MO，|k2|=MQ•MO，△POQ的面积=MO•PQ=MO（PM+MQ）=MO•PM+MO•MQ，∴△POQ的面积是，故此选项正确．故选：D．考点：反比例函数综合题．31．已知：，则的值为（）A．B．1C．-1D．-5【答案】B【解析】试题分析：本题根据题意可得：+1=3a，两边同除以a得：a+=3，则a+－2=3－2=1．考点：代数式求值的技巧．42．设，，，…，，，则S4＝，S＝（用含的代数式表示，其中为正整数）．【答案】【解析】试题分析：观察可知；通过计算得到所以S＝1+1-+1+-+…+1+-=考点：二次根式，有理数的运算.5计算：．【答案】－3.【解析】试题分析：sin60°=；任何非零的数的零次幂为1，；=－2.试题解析：原式=－2+－－1=－3.考点：实数的计算.6计算：．【答案】－3.【解析】１３\n试题分析：sin60°=；任何非零的数的零次幂为1，；=－2.试题解析：原式=－2+－－1=－3.考点：实数的计算.7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为，可设则∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1。∴。这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明的最小值为8．【答案】解：（1）由分母为，可设，则。∵对应任意x，上述等式均成立，∴，解得。∴。这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和。（2）由知，对于，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即的最小值为8【解析】试题分析：（1）由分母为，可设１３\n，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。（2）对于，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，于是求出的最小值。题型二函数综合题型大串讲1如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC=AB，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k值为▲.１３\n2如图，抛物线与直线交于点A、B，与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P是直线x=1上一点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】符合条件的点P共有4个，分别为：P1（1，-8），P1′（1，8），P2（1，-4），P2′（1，12）．【解析】试题分析：（1）将两个函数解析式联立，组成一个方程组求得x、y的值即可得到两点的坐标；（2）存在符合条件的点P共有3个．因而分三类情形探求．①以AB为腰且顶角为∠A：△P1AB；②以AB为腰且顶角为∠B：△P2AB；③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P3AB．综上得出符合条件的点．试题解析：解：（1）由题意得：解得：或１３\n∴A（-3，0）B（5，4）（2）存在符合条件的点P共有4个．以下分三类情形探求．由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x轴，BC＝AC，设直线x＝1与x轴交于N，与CB交于M，过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ＝4，AQ＝8，AN＝4，BM＝4，①以AB为腰且顶角为∠A：△P1AB．∴AB2＝AQ2+BQ2＝82+42＝80，在Rt△ANP1中，，∴，②以AB为腰且顶角为∠B：△P2AB．在Rt△BMP2中，，∴P2（1，-4）或P2′（1，12），③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴．∵P3K＝1，∴CK＝2，于是OK＝2，∴P3（1，2），而P3（1，2）在线段AB上，构不成三角形，舍去．综上，符合条件的点P共有4个，分别为：考点：二次函数综合题．3如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．１３\n（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3,（﹣1，4）；（2）证明如下.【解析】试题分析：（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可；（2）根据B、D关于MN对称，C（-1，4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形，再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形．试题解析：（1）∵y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，∴A点坐标（﹣3，0）、B点坐标（0，3）.∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A、B两点，∴，解得.∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3.∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C的坐标为（﹣1，4）.（2）∵B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）.∵B（3，0），A（﹣3，0），∴OA=OB.又∠AOB=90°，∴∠ABO=∠BAO=45°.∵B、D关于MN对称，∴BD⊥MN.又∵MN⊥X轴，∴BD∥X轴.∴∠DBA=∠BAO=45°.∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°.∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°.∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°.∵B，D关于MN对称，∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB.又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.∵∠ABC=90°，１３\n∴四边形ABCD是直角梯形考点：(1)二次函数；（2）直角梯形.4如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.(1)求b，c的值。(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.(3)如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．【答案】(1)；（2）点P坐标为(，)，最大＝；（3）(，).【解析】试题分析：(1)将A、B两点坐标代入即可求出；(2)假设存在一点P（x，），则△PBC的面积可表示为.从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标；(3)根据题意易证，所以，当OE最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上,所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此E(，).试题解析：(1)b=－2，c=3(2)存在。理由如下：设P点１３\n∵当时，∴最大＝当时，∴点P坐标为(，)(3)∵∴,而,,∴,∴∴∴当最小时，面积取得最小值.∵点在线段上,∴当时，最小.此时点E是BC中点∴(，).5已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．【答案】（1），C(0,3)；(2)点P的坐标为：（-1，6），（0，3）；(3)【解析】试题分析：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点应重点掌握．（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，１３\n解得：，∴∴点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°，如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，设D为y轴上的点，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=-1，∴y=-x+3，∴，∴x2-3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P点坐标为（0，3），∴点P、C、D重合，②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，１３\n由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=-1，∴y=-x+5，∴，∴x2-3x-4=0，解得：x1=-1，x2=4（舍），∴y=6，∴P点坐标为（-1，6），∴点P的坐标为：（-1，6），（0，3）；（3）如图3：作EM⊥AO于M，∵直线AB的解析式为：y=x-3，∴tan∠OAC=1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∴AC⊥AF，∵，OE最小时S△FEO最小，∵OE⊥AC时OE最小，∵AC⊥AF∴OE∥AF１３\n∴∠EOM=45°，∴MO=EM，∵E在直线CA上，∴E点坐标为（x，-x+3），∴x=-x+3，解得：x=，∴E点坐标为（，）．考点：1.待定系数法;2.二次函数综合题;3.数形结合.6如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入，得，解得。∴二次函数的解析式为。（2）存在。如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E。∵四边形为菱形，K∴PC=PO，且PE⊥CO。∴OE=EC=，即P点的纵坐标为。１３\n由解得：（不合题意，舍去）。∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）。（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N。设P点坐标为（x，），由=0，得点A坐标为（－1，0）。∴AO=1，OC=3，OB=3，PＭ=，PN＝x。∴S四边形ABPC=++=AO·OC+OB·PM+OC·PN=×1×3+×3×()+×3×x==。∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点坐标为（，），四边形ABPC的最大面积为。【解析】试题分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，－3）代入可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b，c，则从而求得二次函数的解析式。（2）假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，），则点P的纵坐标为，把y=代入可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标。（3）由S四边形ABPC=++求出S四边形ABPC关于P点横坐标的函数表达式，应用二次函数的最值原理求解。１３