江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五

函数重点难点突破解题技巧传播十五1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．【答案】解：（1）令y=0，则，∵m＜0，∴，解得：，。∴A（，0）、B（3，0）。（2）存在。理由如下：∵设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得，。∴Ｃ1的表达式为：，即。设P（p，），∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=。∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。（3）由C2可知：B（3，0），D（0，），M（1，），∴BD2=，BM2=，DM2=。∵∠MBD<90°,∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM2+DM2=BD2，即＋=，解得：,(舍去)。当∠BDM=90°时，BD2+DM2=BM2，即＋=，解得：，(舍去)。７\n综上所述，或时，△BDM为直角三角形。【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标。（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值。2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【】A．　　B．　　C．　　D．【答案】D。【解析】将A（－2，0）代入，得。∴二次函数。∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a）。当x=－1时，反比例函数。由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x下方，∴，即。故选D。（实际上应用排它法，由，也可得ABC三选项错误）3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是A．①②B．①③C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】试题分析：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，＞0，则b＜0。正确。②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0。错误。７\n③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0。正确。④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b。∵当x=1时，y=a+b+c＜0。∴a+c＜﹣b。∴b＜a+c＜﹣。∴|a+c|＜|b|。∴（a+c）2＜b2。正确。所以正确的结论是①③④。故选C。4、如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为.【答案】。【解析】∵A，B在反比例函数上，∴。又∵正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，∴对于有。∴。5、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，∠BOA=45°，则过A点的双曲线解析式是　　．【答案】【解析】试题分析：∵∠BOA=45°，∴设A（m，m）。∵⊙O的半径为1，∴AO=1。∴m2+m2=12，解得：m=，∴A（，），设反比例函数解析式为（k≠0），∵图象经过A点，∴k=×=。∴反比例函数解析式为。6、如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）７\n（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A　　，k=　　；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．【答案】解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）。∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则（k＞0）。（2）①当a=时，，其顶点坐标为。对于，当x=时，∴点在抛物线上。∴当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，∵AC⊥x轴，∴AC∥EK。∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点。∴EK是△ACB的中位线。∴EK=AC=2，CK=BC=2。∴E（t+2，2）。７\n∵点E在抛物线上，∴，解得t=2。∴当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。（3）如图2，由得，解得，或x=0（不合题意，舍去）。∴点D的横坐标是。当时，|y2﹣y1|=0，由题意得，即。又，∴当时，取得最大值。又当时，取得最小值0，∴当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。由题意，得，将代入得，解得。综上所述，a与t的关系式为，t的取值范围为。【解析】试题分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值：（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数，若该点满足函数解析式，即表示该顶点在函数图象上；反之，该顶点不在函数图象上。７\n②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是，则，由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值，同时由时，取得最小值0，得出当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。从而由题意，得，结合，求出t的取值范围。7、已知：抛物线C1：y＝x2。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。（1）求抛物线C2的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？【答案】解：（1）∵抛物线C2经过点O（0，0），∴设抛物线C2的解析式为。∵抛物线C2经过点A（2，0），∴，解得。∴抛物线C2的解析式为。（2）∵，∴抛物线C2的顶点D的坐标为（1，）。当x=1时，，∴点B的坐标为（1，1）。∴根据勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。∴四边形ODAB是菱形。又∵OA=BD=2，∴四边形ODAB是正方形。（3）∵抛物线C3由抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得到，∴抛物线C3的解析式为。７\n在中令x=0，得，∴M。∵点N是M关于x轴的对称点，∴N。∴MN=。当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：①若MN是平行四边形的一条边，由MN=PQ=和P（）得Q（）。∵点Q在抛物线C3上，∴，解得或（舍去）。②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称性，得Q（）。∵点Q在抛物线C3上，∴，解得或（舍去）。综上所述，当或时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。【解析】试题分析：（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。（2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。（3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。７