遵义专版2022中考数学高分一轮复习第一部分教材同步复习第五章四边形课时21正方形及特殊四边形的综合真题在线

第一部分　第五章　课时21命题点一　正方形的性质及相关计算1．(2022·遵义)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，CD上的点，且∠CFE＝60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是(　C　)A．3－4　　　B．4－5C．4－2D．5－2【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3.由折叠的性质得FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，∴∠DFC′＝60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF.∵DF＋CF＝CD＝3，∴DF＋2DF＝3，解得DF＝1，∴DC′＝DF＝，则C′A＝3－，AG＝(3－)．设EB＝x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝∠DC′F＝30°，∴GE＝2x，则(3－)＋3x＝3，解得x＝2－，∴GE＝2x＝4－2.2．(2022·遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证：OM＝ON;(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°.∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，4\n∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON.(2)解：如答图，过点O作OH⊥AD于点H.答图∵正方形ABCD的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4，∴OM＝＝2，∴MN＝OM＝2.3．(2022·遵义)边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A，C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝BC；(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．(1)证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.在△BAP和△BCQ中，∴△BAP≌△BCQ(SAS),∴CQ＝AP.4\n(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∠BCA＝∠BCD＝45°，∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°.∵DC＝AD＝2，∴AC＝＝4.∵AP＝x，∴PC＝4－x.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°，∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°，∴∠CPQ＝∠ABP.又∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP，∴＝，∴＝.∴y＝x(4－x)＝－x2＋x(0＜x＜4)，若CE＝BC，即－x2＋x＝，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝3或1，∴当x＝3或1时，CE＝BC.答图(3)解：结论：PF＝EQ.证明：如答图1，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°.∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°.在△PGB与△QEB中，∴△PGB≌△QEB(ASA)，∴EQ＝PG.∵∠BAD＝90°，∴F，A，G，P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，4\n∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ.当F在AD的延长线上时，如答图2，同理可得PF＝PG＝EQ.命题点二　特殊四边形与圆的综合4．(2022·遵义)如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为(　D　)A．B．C．　D．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠PCF＝90°，CD∥AB.∵P为CD的中点，CD＝AB＝BC＝2，∴CP＝1.∵PC∥AB，∴△FCP∽△FBA，∴＝，即＝，∴BF＝4，∴CF＝4－2＝2.由勾股定理得BP＝＝.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCP＝∠PCF＝90°，∴PF是⊙O的直径，∴∠E＝90°＝∠BCP.又∵∠PBC＝∠EBF，∴△BCP∽△BEF，∴＝，即＝，∴EF＝.4