分数问题—专题03《分数的最大公约数和最小公倍数》提高集训（解析版）

2020年通用版小升初数学冲A提高集训分数问题—专题03《分数的最大公约数和最小公倍数》一．选择题1．（2018•长沙）一个班不足50人，现大扫除，其中扫地，摆桌椅，擦玻璃，这个班没有参加大扫除的人数有　　人．A．1B．2C．3D．1或2【分析】、、都是最简形式，所以这个班的人数是2、4和5的最小公倍数的倍数，2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是，再根据分数乘法的意义即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是，当总人数是20时：没参加大扫除的有：（人），当总人数是40时：没参加大扫除的有：（人），答：没参加大扫除的有1或2人．故选：．2．（2013•黔西县）六（1）班的学生数在人之间，其中的喜爱跳绳，的同学喜爱跳皮筋，六（1）班有　　人．A．35B．42C．60D．48【分析】因为六（1）班的学生数在人之间，且其中的喜爱跳绳，的同学喜爱跳皮筋，说明这个班的人数必须是3和8的公倍数，3和8是互质数，最小公倍数是，24的倍数也是3和8 的公倍数，，就不符合要求了．【解答】解：3和8的最小公倍数是：，在人之间且是3和8的倍数的只能是，所以这个班的人数是48人．故选：．3．如果六（2）班有的人参加书法兴趣小组，的人参加武术兴趣小组（每人只参加一个小组），那么下列说法中不正确的是　　A．参加书法组的不可能是5人B．六（2）班的总人数可能是45人C．六（2）班的总人数可能是54人D．参加书法、武术组的总人数可能是10人【分析】由于有的人参加书法兴趣小组，的人参加武术兴趣小组，所以总人数能同时被6和9整除．即总人数应是6和9的公倍数．据此对各选项的内容进行分析即能得出正确选项．【解答】解：由题意可知，总人数能同时被6和9整除，即总人数应是6和9的公倍数；选项，如果参加书法小组的人数是5人，则总人数有人，45不能被6整除，所以参加书法组的不可能是5人的说法正确；选项，由于45不能被6整除，所以总人数可能是45人说法错误；选项，由于54能被6和9整除，所以总人数可能是54人说法正确；选项，6和9的公倍数是18，如果总人数是18人，则参加书法小组的有2人，武术小组的有3人，共5人；如果总人数有36人，则参加书法小组的有4人，武术小组的6人，人，所以参加书法、武术组的总人数可能是10人说法正确． 故选：．二．填空题4．（2019•长沙）有些分数分别除以、、所得的三个商都是整数，那么所有这样的分数中最小的一个是　　．【分析】根据题意：这些分数中最小的分数的分母应该是28、56、20的最大公约数，分子是5、15、21的最小公倍数．【解答】解：，，，所以20、56、28的最大的公约数是；，，所以5、15、21的最小公倍数是；所以这样的分数中最小的是即；故答案为：．5．（2018春•山东月考）青蛙与小兔进行跳跃比赛，每秒都跳一次，青蛙每次跳分米，小兔每次跳分米．从起点开始，每隔分米在地面上画一个白色标记，哪只动物先踩上白色标记就赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了　25　分米．【分析】青蛙踩到白色标记时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了次踩到白色标记，小兔踩到气球时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了 次踩到白色标记．经过比较可知，青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是分米．【解答】解：青蛙：与的“最小公倍数”60，即跳了次踩到白色标记，小兔：和的“最小公倍数”75，即跳了次白色标记．因为，所以青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是（分米）答：青蛙先踩上白色标记赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了25分米．故答案为：25．6．（2018秋•宿豫区校级期中）小明的书架上放着一些书，书的本书在100到150本之间，其中是故事书，是科技书，书架上放着　108或144　本书．【分析】由于书本的本数是整数，所以总本数就是和两个分率的分母的公倍数，由此找出9和4在之间的公倍数即可求解．【解答】解：总本数应是9和4的公倍数；（页）（页）所以总页数可能是108页，也可能是144页．故答案为：108或144．7．（2015•内江模拟）小兰的全家都很支持她收集各国的纪念币，目前她收集的纪念币有是英国发行的，是美国发行的，是中国发行的，此外还有多于20枚且少于25枚是其他国家发行的．那么小兰现在共有　304　枚纪念币．【分析】根据题意，她收集的纪念币有是英国发行的，说明总数能被19整除，是美国发行的，是中国发行的，说明总数能被8整除；则总数是19和8的公倍数，因为19和8互质，所以最小公倍数是 ，另外余下占比率是，具体数量多于20枚且少于25枚，若总数是152则余下的其他国家发行数量是11枚，不符合题意，若总数是枚，则余下的数是枚，在20和25之间，符合题意；据此得解．【解答】解：19、8和4的最小公倍数是另外余下占比率是（枚），符合题意；（枚答：小兰现在共有304枚纪念币．故答案为：304．8．（2014秋•黄山月考）一个分数的分子比分母小16，约分后是，原分数是　　．【分析】根据题意一个分数的分子比分母小16，可设分子是，那么分母为，即可得到一个等式，求出未知数后再代入即可得到答案．【解答】解：设这个是分数的分子是，那么分母为，那么分母为，答：这个分数为． 故答案为：．9．（2012秋•雁江区期末）有甲、乙两个小组去青年林参加义务植树活动，甲组植树棵数的恰好是乙组植树棵数的，那么，甲、乙两组至少共植树　50　棵．【分析】要求甲、乙两组至少共植树多少棵，就要使每组的棵数最少，因此甲组植树棵数最少是8棵，那么乙组植树棵数为（棵），进一步解决问题．【解答】解：因为甲组植树棵数最少是8棵，则乙组植树棵数为：，，（棵）；甲、乙两组至少共植树：（棵），答：甲、乙两组至少共植树50棵．故答案为：50．10．（2012•四川模拟）甲乙两数是非零的自然数，如果甲数的恰好是乙数的，那么甲乙两数之积的最小值是　10　．【分析】甲乙两数是非零的自然数，甲数和乙数的关系式是：甲数乙数，即：甲数乙数，当甲数是2时，乙数是5，两数最小，乘积为：．【解答】解：由题意可知：甲数乙数，即：甲数乙数，当甲数为2时， ，，故答案为：10．11．（2011•西城区校级自主招生）在甲、乙、丙三种溶液，分别为千克，千克，千克，现在将它们分别放入小瓶中，使得每个小瓶的溶液重量相等，至少可以装　115　瓶．【分析】，，，然后求出315、140和120的最大公约数，进而得出每个小瓶最多装多少千克，然后进行解答即可；【解答】解：，，，，，，最大公约数是5，所以1小瓶的溶液重量，至少可以装：（瓶）；故答案为：115． 12．（2011•长春模拟）用、和分别去除某分数，所得的商是整数，这个分数最小是　　．【分析】用、和分别去除某分数，也就是用某分数除以这三个分数，所得的商是整数，这个分数最小，也就是要求5、7、21的最小公倍数做分子，求14、8、20的最大公因数做分母．【解答】解：，5、7、21的最小公倍数，，，，14、8、20的最大公因数是2，故答案为：．三．应用题13．小红收集了一些画片，不到30张，她2张2张地数多1张，3张3张地数也多1张，4张4张地数还是多1张．小红收集了多少张画片？【分析】求小红收集了多少张画片，就相当于求2、3、4的公倍数加上1；据此解答即可．【解答】解：4是2的倍数，所以，（张（张，符合要求，（张，符合要求；答：小红收集了12张或25张画片．四．解答题14．（2018•厦门模拟）用、、分别去除某一个分数，所得的商都是整数．这个分数最小是几？ 【分析】依题意，设所求最小分数为，则，，，即，，，其中，，为整数．因为是最小值，且，，是整数，所以是5，15，21的最小公倍数，是28，56，20的最大公约数，因此，符合条件的最小分数：【解答】解：设最小分数为，则，，即，，因为是最小值，且，，是整数．所以是5，15，21的最小公倍数，是28，56，20的最大公约数．5，15，21的最小公倍数是105，28、56、20的最大公约数是4．最小分数：答：这个分数最小是．15．（2014•台湾模拟）把100个人分成四组，第一组人数是第二组人数的倍，第一组人数是第三组的倍，那么第四组有多少人？【分析】题中两个分数的单位“1”不同，但它们都与“一队人数”有关系，所以我们把“第一队的人数”看作单位“1”，分别求出二队、三队及三个队占“第一队人数”的几分之几，进而推断出第四队有多少人．【解答】解：第二队人数占第一队人数的；第三队人数占第一队人数的；三个队的总人数占第一队人数的； 由于四个队的人数和为100人，第一队的人数就只能是20，否则总人数就超过了100人；所以第四队的人数：（人）；答：那么第四组有49人．16．（2012•长清区校级模拟）某工地上有两根铁丝，一根长2.5米，另一根长米，现在要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米？【分析】先把一根长2.5米化成假分数是，另一根长米化成假分数是，再分别求出分母的最小公倍数是，分子的最大公因数是5，即可知道每段最长米数是米，据此解答．【解答】解：2.5米米，米米，分母2、3的最小公倍数是，分子5、10的最大公因数是5，即可知道每段最长米数是米，答：每段最长米．17．新华小学五年级一班的人数不超过60人，在社团活动中，有的同学参加美术社团，有的同学参加英语社团，还有的人参加信息技术社团，请问五年级一班共有多少名同学？【分析】根据题意，可得五年级一班的学生人数是3、7、14的公倍数，然后求出3、7、14的最小公倍数，再根据新华小学五年级一班的人数不超过60人，求出五年级一班共有多少名同学即可．【解答】解：根据题意，可得五年级一班的学生人数是3、7、14的公倍数，因为3、7、14的最小公倍数是：， 所以五年级一班的学生人数是42人、84人、126人，又因为五年级一班的人数不超过60人，所以五年级一班共有42名同学．答：五年级一班共有42名同学．18．爱华中学六（1）班学生总人数不超过60人，班级的每位同学都报名参加了一个兴趣活动班．已知班级同学有的学生参加了美术兴趣班、的学生参加了棋类兴趣班、的学生参加了体育兴趣班，那么六（1）班共有学生多少人？报名参加美术兴趣班的学生有几人？【分析】班级人数为整数，因此考虑参加各个兴趣班的学生占比的分母的最小公倍数，7、3、2的最小公倍数是，如果是42的2倍就是84了，而题目提示“总人数不超过60人”，因此42人即是班级人数，其他据此解答即可．【解答】解：，缺少的报了其他兴趣班．因为班级人数只能是整数，这个班级的人数不超过60人，所以这个班级的人数就是7、3、2的最小公倍数42人．所以报名参加美术兴趣班的学生有：（人．答：六（1）班共有学生42人，报名参加美术兴趣班的学生有6人．19．一个分数分别除以，，，所得的商都是整数．这个分数最小是几？【分析】根据题意：这个最小的分数的分母应该是3、9、15的最大公约数，分子是2、5、7的最小公倍数．【解答】解：， ，，所以3、9、15的最大公约数是3；2、5、7三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是：那么这个分数最小是．20．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱．当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了　7　米．【分析】狐狸的速度是：，黄鼠狼的速度是，陷阱的距离是；再分别找出15，28以及10和28的最小公倍数，进而求解．【解答】解：狐狸的速度是：米，黄鼠狼的速度是米，陷阱的距离是米；分子15，28的最小公倍数是420；10和28的最小公倍数是140；当黄鼠狼跳时，掉入陷井，此时各跳了14次，狐狸这时跳了7米．（米）；答：当黄鼠狼掉入陷阱时，狐狸跳了7米．故答案为：7．21．袋鼠和兔子进行跳跃比赛，袋鼠每次跳跃米，兔子每次跳跃 米，他们每秒都只跳一次．比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个气球，当他们之中的一个先踩到气球，则比赛就算结束，先踩到者为胜．这时，另一个跳跃了多少米？【分析】兔子踩到气球时已跳的行程应该是与12的“最小公倍数”，即跳了次踩到气球，袋鼠踩到气球时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了次踩到气球．经过比较可知，兔子先踩到气球，这时袋鼠已跳的行程是米．【解答】解：兔子：与12的“最小公倍数”，即跳了次踩到气球，袋鼠：和的“最小公倍数”，即跳了次踩到气球．因为，所以兔子先踩到气球，这时袋鼠已跳的行程是米．22．六（1）班有50名学生，一次数学竞赛中，获奖的男生是参赛男生的，获奖的女生是参赛女生的，问六（1）班获奖的男女生共几人？【分析】参赛男生、女生人数必须是5的倍数，男生5人参赛，女生就有45人参赛，男生10人参赛，女生就有40人参赛，男生15人参赛，女生就有35人参赛，男生有20人参赛，女生就有30人参赛，男生25人参赛，女生也有25人参赛，男生30人参赛，女生就有20人参赛，男生有35人参赛，女生就有15人参赛，男生有40人参赛，女生就有10人参赛，男生有45人参赛，女生就有5人参赛．不管哪种情况，所求出的男女生获奖总人数都是人．【解答】解：（人）；答：六（1）班获奖的男女生共10人．23．语文老师统计学生读世界名著的情况．全班学生中有读了一本，读了两本，读了三本，读了四本，这个班学生不超过50人，全班学生中一本名著也没有读的有多少人？【分析】由题意得，在本班不超过50人的情况下，要满足，，，的学生是整数，则这个数就是2，5，8，10的公倍数，且小于50，这个数是，因此学生有40人． （人）（读了一本），（人）（读了两本），（人）（读了三本），（人）（读了四本），所以共有：人读了名著，一本名著也没读的有：人．【解答】解：2，5，8，10的最小公倍数是40，即学生数．（人），（人），（人），（人）；（人）．答：一本名著也没读的有3人．24．从前有一个财主，他有三个儿子．他晚年写好了遗嘱：“我死后，11匹千里马留给三个儿子：老大负担重，分得；老二家里比较穷，分得；老三还小，就分．”他死后，三个儿子为分马的事犯难了．你能帮他们分马吗？【分析】由于按11匹马进行计算的话，结果不是整数，而马的匹数只能是整数，又2，4，6的最小公倍数是12，，所以我们可按12匹马进行计算．【解答】解：2，4，6的最小公倍数是12，我们可以按12匹马进行计算：老大分得了（匹）；老二分得了（匹）；老三分得了（匹）；（匹）； 所以这样正好将马分完．答：可以分给老大6匹，老二3匹，老三2匹．