2016年上海市春季高考数学试卷

2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）)1.复数ㄠ㘲㈮（㈮为虚数单位）的实部是________．2.若logݔ则，ͳ൅ㄠݔͳ________．3.直线ͳݔݔ൅与直线ͳ的夹角为________．4.函数ͳݔݔ的定义域为________．൅ݔ5.三阶行列式㘲中，元素的代数余子式的值为________．ݔ൅൅൅6.函数ݔͳㄠ的反函数的图象经过点܍൅，则实数ͳ________．ݔ7.在䳌䁨中，若ͳ，䳌ͳ㘲，䳌䁨ͳ，则䁨ͳ________．8.㘲个人排成一排照相，不同排列方式的种数为________（结果用数值表示）．൅9.无穷等比数列的首项为，公比为，则的各项的和为________．10.关于ݔㄠݔ程方数系实的ݔㄠͳ的一个虚根为ㄠ㈮，则实数的值为________．11.函数ͳݔݔݔㄠ൅在区间܍上的最小值为，最大值为൅，则实数的取值范围是________．12.在平面直角坐标系ݔݔㄠݔ圆是䳌，点，中2ݔㄠͳ上的两个动点，且满足䳌ͳ，则2ㄠ2䳌的最小值为________．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）)13.若sin，且tan，则角的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.半径为൅的球的表面积为（）㘲A.B.C.D.㘲15.在൅ㄠݔ，中式开展项二的ݔ项的系数为（）A.B.C.൅D.16.幂函数ͳݔݔ的大致图象是（）试卷第1页，总9页 A.B.C.D.17.已知向量ͳ൅܍，ͳ൅܍，则向量在向量方向上的投影为（）A.൅B.C.൅܍D.܍18.设直线与平面平行，直线在平面上，那么（）A.直线平行于直线B.直线与直线异面C.直线与直线没有公共点D.直线与直线不垂直19.在用数学归纳法证明等式൅ㄠㄠㄠㄠͳㄠ的第二步中，假设ͳ㐠时原等式成立，那么在ͳ㐠ㄠ൅时需要证明的等式为()A.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅B.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅C.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅D.൅ㄠㄠㄠㄠ㐠ㄠ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ͳ㐠ㄠ൅ㄠ㐠ㄠ൅ݔݔ20.关于双曲线ݔ与൅ͳݔͳ൅的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）൅㘲൅㘲A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不相同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同21.设函数ͳݔ数函”是”ͳ”则，为域义定的ݔ为奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22.下列关于实数，的不等式中，不等式恒成立的是（）A.ㄠB.ㄠݔㄠㄠC.D.ݔ试卷第2页，总9页 23.设单位向量൅与既不平行也不垂直，对非零向量ͳݔͳ，൅ㄠ൅൅ݔ൅ㄠ有结论：①若ݔݔ൅ݔ൅ͳ，则；②若ݔ൅ݔㄠ൅ͳ，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立ݔݔ24.对于椭圆䁨܍：ㄠͳ൅܍܍．若点ݔ܍满足ㄠ൅．则称该点在椭圆䁨内，在平面直角坐标系中，若点在过点܍൅的任意椭圆䁨内或（܍）（܍）椭圆䁨上，则满足条件的点构成的图形为（）（܍）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）)25.如图，已知正三棱柱䳌䁨ݔ൅䳌൅䁨൅的体积为，底面边长为，求异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角的大小．26.已知函数ݔ出指并，值大最及期周正小最的ݔ求，ݔsocㄠݔnisͳݔ取得最大值时ݔ的值．27.如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是㘲܍，灯深൅܍，求灯泡与反射镜的顶点2的距离．试卷第3页，总9页 28.已知数列是公差为的等差数列．൅൅，，㘲成等比数列，求൅的值；൅设൅ͳݔ൅ㄠ，൅ͳ൅足满列数．为和项前的列数，൅ݔͳ，记܍ͳㄠݔ൅，求数列܍的最小项܍（即܍܍对任意成立）．29.对于函数ݔݔݔͳ合集记，ݔ，ݔ．൅设ݔͳݔ，ݔͳݔㄠ，求；൅ݔݔ设൅ݔ，൅ㄠㄠͳݔ，൅ݔݔͳݔͳ，如果൅ͳ．求实数的取值范围．二卷一.选择题：（9分）)30.若函数ݔsinͳݔㄠ是偶函数，则的一个值是()A.B.C.D.31.在复平面上，满足ݖ数复的㘲ͳ൅ݔݖ的所对应的轨迹是（）A.两个点B.一条线段C.两条直线D.一个圆32.已知函数ͳݔ的图象是折线䳌䁨，如图，其中൅܍，䳌܍൅，䁨܍，㘲܍൅，܍，若直线ͳ㐠ݔͳ与ㄠݔ的图象恰有四个不同的公共点，则㐠的取值范围是()൅൅൅A.ݔ.B൅܍܍൅ݔ，C.܍൅D.二.填空题：（9分）)ݔ33.椭圆ㄠͳ൅的长半轴的长为________．34.已知圆锥的母线长为൅，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为________．35.小明用数列记录某地区൅年൅月份൅天中每天是否下过雨，方法为：当第㐠天下过雨时，记㐠ͳ൅，当第㐠天没下过雨时，记㐠ͳݔ൅൅㐠൅，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第㐠天有雨时，记ͳ൅，当预报第㐠天没有雨时，记ͳݔ൅记录完毕后，小明计算出൅൅ㄠㄠㄠㄠ൅൅ͳ，那么该月气象台预报准确的总天数为________．三.解答题：（12分）)36.对于数列与，若对数列܍的每一项܍，均有܍㐠ͳ㐠或܍㐠ͳ㐠，则称数列܍是与的一个“并数列”．试卷第4页，总9页 ൅设数列与的前三项分别为൅ͳ൅，ͳ，ͳ，൅ͳ൅，ͳ，ͳ，若܍是与一个“并数列”求所有可能的有序数组܍൅܍܍܍܍；已知数列，܍均为等差数列，的公差为൅，首项为正整数；܍的前൅项和为ݔ，前项的和为ݔ，若存在唯一的数列，使得܍是与的一个“并数列”，求的值所构成的集合．试卷第5页，总9页 参考答案与试题解析2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.2.3.㘲4.܍ㄠ5.6.൅7.8.㘲9.10.ݔ㘲11.൅܍12.㘲二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13.B14.D15.C16.C17.A18.C19.D20.B21.B22.D23.A24.B三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25.解：∵正三棱柱䳌䁨ݔ൅䳌൅䁨൅的体积为，底面边长为，∴ͳͳͳ，解得ͳ㘲，㘲∵൅䁨൅与䁨平行，∴䳌䁨൅൅是异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角，在൅䳌䁨൅中，൅䁨൅ͳ，䳌䁨൅ͳ䳌൅ͳ，䳌䁨ㄠ൅䁨൅ݔ䳌൅൅∴cos䳌䁨൅൅ͳͳ．䳌䁨൅൅䁨൅൅试卷第6页，总9页 ∴䳌䁨൅൅ͳarccos．൅∴异面直线䳌䁨൅与䁨所成的角的大小为arccos．൅26.解：∵ݔsinͳݔsocㄠݔsinͳݔㄠ，∴函数的周期为ͳ，函数的最大值为，且函数取得最大值时，ݔㄠͳ㐠ㄠ，即ݔͳ㐠ㄠ，㐠．27.解：建立平面直角坐标系，以2为坐标原点，水平方向为ݔ轴，竖直方向为轴，如图所示：则：设抛物线方程为ͳݔͳ线物抛在൅܍൅点，ݔ上，∴൅㘲㘲ͳ൅．∴ͳ．∴灯泡与反射镜的顶点2的距离܍．28.解：൅∵数列是公差为的等差数列．൅，，㘲成等比数列，∴ㄠ䁕ͳㄠ䁕．൅൅൅解得䁕ͳ，൅ͳݔ.ͳ൅ㄠݔݔㄠㄠݔㄠ൅ݔ൅൅൅൅ͳ൅ㄠㄠㄠㄠݔ൅൅൅ݔͳ൅൅ݔ൅ݔ൅ͳݔ．ݔ൅ͳݔͳㄠ൅ݔ，܍ͳㄠݔㄠݔͳ൅ݔ൅ݔ൅ݔㄠݔͳ൅ݔ൅，܍ݔㄠݔݔ൅ݔ൅ㄠㄠ൅ㄠݔ൅ㄠͳ܍ݔ൅ㄠ൅ͳݔ൅ㄠ由题意，上式大于零，即܍܍൅܍，进一步，ㄠ是关于的增函数，试卷第7页，总9页 ∵㘲ㄠ㘲ͳ㘲൅，ㄠͳ൅㘲൅，∴܍൅܍܍܍㘲܍܍܍൅܍，∴܍maxͳ܍ͳ܍㘲ͳݔ㘲．29.解：൅由ݔ或൅ݔݔݔͳ得，ㄠݔݔ；ͳݔݔͳ൅ݔݔݔ൅，൅൅ݔݔͳݔㄠㄠ൅，由൅ͳ得ͳ或ͳݔ܍，其中൅，൅ݔݔ若ͳ，则ㄠㄠ൅在上恒成立，൅ݔ令ͳ܍ㄠ，整理上式则有ݔݔ，൅൅൅ͳݔͳݔݔㄠㄠ，㘲∴时成立．对于ͳݔ܍，其中൅以下只讨论的情况൅ݔݔ对于ㄠㄠ൅，൅ݔͳ，ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲ݔ൅ݔ൅ݔ㘲∴ㄠㄠ，解得或，ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲又，所以，൅ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲ݔ൅ㄠ൅ݔݔ㘲即ݔlog൅，ݔ൅ㄠ൅ݔ㘲൅㘲∴ͳlog൅൅ͳlog൅ݔ，㘲综上所述：ݔ.二卷一.选择题：（9分）30.B31.D32.B二.填空题：（9分）33.34.35.三.解答题：（12分）36.解：൅൅܍܍，൅܍܍，൅܍܍，൅܍܍；试卷第8页，总9页 由题意可知ͳㄠݔ൅，设܍的公差为䁕，∵܍的前൅项和为，൅ͳݔ，ͳݔ，∴䁕ͳݔ，܍൅ͳ，所以܍ͳݔ.∵܍㐠ͳ㐠或܍㐠ͳ㐠，当܍㐠ͳ㐠时，ݔͳ，൅ݔ㐠ㄠͳ㐠ݔ㐠，㐠，∴㐠ͳ൅，ͳ；或㐠ͳ，ͳ，所以㐠．㐠时，܍ͳ，㐠㐠∵数列唯一，所以只要൅，唯一确定即可．显然，ͳ，或ͳ时，൅，不唯一，∴且，，即的值构成的集合为：且，.试卷第9页，总9页