2008年上海市春季高考数学试卷

2008年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.已知集合߂ʗ߉灰椆或߉䁪，߂ʗ灰߉䁪，则________．䁪椆2.计算：lim________．䁪椆灰3.函数ሺݔ的定义域是________灰椆4.方程cosሺ灰ݔ间区ሺ间区在椆ݔ内的解是________．䁪5.已知数列߂是公差不为零的等差数列，椆椆、若椆、、成等比数列，则________6.化简：cosሺݔሺnisݔ________．䁪7.已知是双曲线灰椆右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为䁪灰区、设椆、分别为双曲线的左、右焦点、若ʗʗ䁪，则ʗ椆ʗ________．8.已知一个凸多面体共有个面，所有棱长均为椆，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积＝________．椆9.已知无穷数列߂前项和灰椆，则数列߂的各项和为________䁪10.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是________（结果用数值表示）．11.已知椆，，…，；椆，，…，（是正整数），令椆椆ǤǤǤ，䁪ǤǤǤ，…，、某人用右图分析得到恒等式：椆椆ǤǤǤ椆椆䁪䁪ǤǤǤǤǤǤǤǤǤ，则________ሺݔ．12.已知ሺ椆间ݔ䁪间䁪ሺ，ݔ，直线椆区，区和䁪䁪灰椆区、设是ሺ椆间间䁪ݔ上与、两点距离平方和最小的点，则椆䁪的面积是________．试卷第1页，总8页 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.已知向量ሺ间灰䁪ݔ间䁪ሺ，ݔ，若，则等于（）A.B.灰C.灰D.灰䁪䁪14.已知椭圆椆，长轴在轴上，若焦距为䁪，则等于ሺݔ椆区灰灰A.䁪B.C.D.15.ሺݔሺ，ݔሺ”则，ݔሺݔሺݔሺ，数函的上在义定是ݔሺ，ݔ均为偶函数”是“ሺݔ为偶函数”的（）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件16.已知，且ʗ灰灰ʗ＝椆，为虚数单位，则ʗ灰ʗ的最小值是（）A.B.䁪C.䁪D.三、解答题（共6小题，满分86分）)cos17.已知cos灰，ሺ间ݔ，求灰的值．䁪sinsin18.在平面直角坐标系8中，、分别为直线与、轴的交点，为的中点、若抛物线ሺ区ݔ过点，求焦点到直线的距离．19.已知函数ሺݔ椆ሺlogݔ（1）求证：函数ሺݔ在ሺ灰间ݔ内单调递增；（2）记灰椆ሺݔሺݔሺ椆灰程方的于关，数函反的ݔሺ数函为ݔ在椆间上有解，求的取值范围．20.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为䁪区，②三根细钢管相交处的节点8与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面．ሺ椆ݔ若凳面是边长为区的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为䁪，确定节点8分细钢管上下两段的比值（精确到区Ǥ区椆）；ሺݔ若凳面是顶角为椆区的等腰三角形，腰长为䁪，节点8分细钢管上下两段之比为䁪，确定三根细钢管的长度（精确到区Ǥ椆）．试卷第2页，总8页 21.在直角坐标平面8上的一列点椆ሺ椆间椆ݔ间ሺ，…，ݔ间ሺ，ݔ，…，简记为߂、若由椆构成的数列߂满足椆，＝椆，，…，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称߂为点列，椆椆椆（1）判断椆ሺ椆间椆ݔ间ሺ间ݔ间䁪ሺ䁪间ݔ间，ሺ间ݔ间，是否为点列，并说明理由；䁪（2）若߂为点列，且点在点椆的右上方、任取其中连续三点、椆、，判断椆的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若߂为点列，正整数椆߉߉߉满足＝，求证：．22.已知是实系数方程区的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为，ሺ椆ݔ若ሺ间ݔ在直线区上，求证：在圆：ሺ灰椆ݔ椆上；椆ሺݔ区间、ሺݔ灰ሺ：圆定给ݔ，则存在唯一的线段满足：①若在圆上，则ሺ间ݔ在线段上；②若ሺ间ݔ是线段上一点（非端点），则在圆上、写出线段的表达式，并说明理由；ሺ䁪ݔ由ሺݔ知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中椆是ሺ椆ݔ中圆椆的对应线段）．线段与线段椆的关系、的取值或表达式所在直线平行于椆所在直线所在直线平分线段椆试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2008年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.߂ʗ߉䁪椆2.䁪3.灰间椆ݔሺ椆间䁪4.椆5.灰椆6.cos7.8.椆9.灰椆椆10.椆11.灰灰椆䁪12.二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.C14.D15.B16.B三、解答题（共6小题，满分86分）cos椆灰cossin17.解：原式灰sincossinsincoscos又cos灰，ሺ间ݔ，䁪∴sin椆灰，䁪cos椆䁪∴灰灰sinsin18.解：由已知可得ሺ间区ݔ椆间椆ሺ，ݔ间区ሺ，ݔ，解得抛物线方程为椆于是焦点ሺ，区ݔ䁪椆ʗ区灰ʗ䁪∴点到直线的距离为试卷第4页，总8页 19.解：（1）任取߉，则ሺݔ椆ሺlog灰ݔ椆椆ሺlogݔሺ灰ݔ椆椆椆椆log，椆∵߉，∴区߉椆椆߉椆，椆椆椆椆椆∴区߉椆߉椆，log椆߉区，∴ሺ椆ݔሺ߉ݔ，即函数ሺݔ在ሺ灰间ݔ内单调递增（2）∵灰椆ሺݔ区ሺݔ椆灰ሺlogݔ，灰椆灰椆∴ሺݔ椆灰椆ሺlog椆logݔ椆ሺlog灰ݔ椆灰ሺlogݔሺ灰ݔ当椆时，，椆䁪椆䁪∴椆灰䁪椆椆䁪∴的取值范围是logሺݔሺlog，ݔ䁪20.解：ሺ椆ݔ设的重心为，连结8，区䁪由题意可得，，䁪设细钢管上下两段之比为，䁪区已知凳子高度为䁪区，则8，椆∵节点8与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行，∴8就是8与平面所成的角，亦即8䁪，∵8，䁪区区䁪∴，椆䁪䁪解得区Ǥ䁪，灰䁪即节点8分细钢管上下两段的比值约为区Ǥ䁪.ሺݔ设椆区，∴䁪，䁪䁪，设的重心为，则间，由节点8分细钢管上下两段之比为䁪，可知8椆，试卷第5页，总8页 设过点，，的细钢管分别为，，，则88椆区䁪区Ǥ，88椆区椆䁪䁪Ǥ椆，∴对应于，，三点的三根细钢管长度分别为区Ǥ，䁪Ǥ椆和区Ǥ.椆21.由题意可知，椆椆灰椆∴灰，椆ሺ椆ݔ显然有椆，∴߂是点列在椆中，椆ሺ灰椆间灰椆ݔ间椆ሺ椆间灰椆ݔ，椆椆灰椆ሺ灰椆ݔሺ灰椆ݔ∵点在点椆的右上方，∴椆＝灰椆区，∵߂为点列，∴椆区，∴ሺ灰椆ݔሺ灰椆ݔ＝灰椆߉区，则椆椆߉区∴椆为钝角，∴椆为钝角三角形、∵椆߉߉߉，＝，∴灰＝灰区①灰＝灰灰椆灰椆灰灰ǤǤǤ椆灰＝灰椆灰ǤǤǤሺ灰ݔ②同理灰＝灰椆灰ǤǤǤሺ灰ݔ灰椆、③由于߂为点列，于是灰椆，④由①、②、③、④可推得灰灰，∴灰灰，即22.解：ሺ椆ݔ由题意可得区，解方程灰区，得灰灰灰∴点ሺ灰间灰灰ݔ灰灰灰间灰ሺ或ݔ，将点代入圆椆的方程，等号成立，∴在圆：ሺ灰椆ݔ椆上；椆ሺݔ当߉区，即߉时，解得灰灰，∴点ሺ灰间灰ݔ灰灰间灰ሺ或ݔ，由题意可得ሺ灰灰ݔ灰，整理后得灰灰，∵䁪ሺ灰ݔሺ，区߉ݔ灰，∴ሺ灰灰间灰ݔ∴线段为：灰灰，灰灰间灰试卷第6页，总8页 若ሺ间ݔ是线段上一点（非端点），则实系数方程为灰灰区，ሺ灰灰间灰ݔ此时߉区，且点ሺ灰间灰ሺݔݔሺ灰间灰灰ሺݔݔ在圆上；ሺ䁪ݔ所求如下表：、线的段取值与或线表段达椆式的关系所椆在，直线椆平行于椆所在直线灰所ሺ灰在椆ݔ直椆线，平椆分线段椆线ሺ椆段䁪ݔ与线段椆长试卷第7页，总8页 度相等试卷第8页，总8页