2011年上海市春季高考数学试卷

2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．)1.函数f(x)＝lg(x-2)的定义域是________．2.若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=________．3.在△ABC中，tanA=23，则sinA=________．4.若行列式2x412=0，则x=________．5.若sinx=13，x∈[-π2,π2]，则x＝________（结果用反三角函数表示）6.(x+1x)6的二项展开式的常数项为________．7.两条直线l1:x-3y+2=0与l2:x-y+2=0的夹角的大小是________．8.若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2+a5=0，则S6S3=________．9.若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线x25-y24=1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．10.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为________．11.根据如图所示的程序框图，输出结果i=________．12.2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为________．13.有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是________．试卷第5页，总6页 14.为求方程x5-1=0的虚根，可以把原方程变形为(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0，由此可得原方程的一个虚根为________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．)15.若向量a→=(2,0),b→=(1,1)，则下列结论正确的是（）A.a→⋅b→=1B.|a|=|b→|C.(a→-b→)⊥b→D.a→∥b→16.f(x)=4x-12x的图象关于（）A.原点对称B.直线y=x对称C.直线y=-x对称D.y轴对称17.直线l:y=k(x+12)与圆C:x2+y2=1的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交18.若a1→，a2→，a3→均为单位向量，则a1→=(33, 63)是a1→+a2→+a3→=(3, 6)的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．)19.已知向量a→=(sin2x-1, cosx)，b→=(1, 2cosx)，设函数f(x)=a→⋅b→，求函数f(x)的最小正周期及x∈[0, π2]时的最大值．20.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．21.已知抛物线F:y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB，kBC，kCA，若A的坐标在原点，求kAB-kBC+kCA的值；试卷第5页，总6页 （2）请你给出一个以P(2, 1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．22.定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2的所有函数f(x)组成的集合记为M，例如，函数f(x)=kx+b∈M．（1）已知函数f(x)=x,x≥012x，x<0，证明：f(x)∈M；（2）写出一个函数f(x)，使得f(x0)∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f(x)∈M，使得数列极限limn→∞f(n)n2=1，limn→∞f(-n)-n=1．23.对于给定首项x0>3a(a>0)，由递推公式xn+1=12(xn+axn)(n∈N)得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn>3a，用数列{xn}可以计算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：xn-xn+1<12(xn-1-xn)；（3）当x0∈[5, 10]时，用数列{xn}计算3100的近似值，要求|xn-xn+1|<10-4，请你估计n，并说明理由．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1.(2, +∞)2.{x|1≤x≤2}3.22114.15.arcsin136.207.π128.-79.x29+y24=110.211.812.16813.π314.-1-5+10-25i4二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.C16.A17.D18.B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19.解：∵向量a→=(sin2x-1, cosx)，b→=(1, 2cosx)，函数f(x)=a→⋅b→=(sin2x-1)+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，故函数的周期为2π2=π．∵x∈[0, π2]，∴π4≤2x+π4≤5π4，故当2x+π4=π2时，函数取得最大值为 2．试卷第5页，总6页 20.解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为2πr=25π⋅10，所以r=2．则h=102-22=46．则圆锥的表面积S=π⋅1025+2π⋅22=28π≈87.96(cm2)．体积V=13π⋅22×46+23π⋅23=163(6+1)π≈57.80(cm2)．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．21.解：（1）设B(x1, y1)，C(x2, y2)，∵x12=4y1，x22=4y2，∴kAB-kBC+kCA=y1x1-y2-y1x2-x1+y2x2=14x1-14(x1+x2)+14x2=0；（2）①研究△PBC，kPB-kBC+kCP=yB-yPxB-xP-yC-yBxC-xB+yP-yCxP-xC=xP+xB4-xB+xC4+xC+xP4=xP2=1；②研究四边形PBCD，kPB-kBC+kCD-kDP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xP4=0；③研究五边形PBCDE，kPB-kBC+kCD-kDE+kEP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xE4+xE+xP4=xP2=1；④研究n=2k边形P1P2...P2k(k∈N, k≥2)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-1kP2kP1=0，证明：左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-114(xP2k+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1]=1+(-1)2k-12=0=右边；⑤研究n=2k-1边形P1P2...P2k-1(k∈N, k≥2)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-2kP2k-1P1=1，证明：左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-114(xP2k-1+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1-1]=1+(-1)2k-1-12=1=右边；⑥研究n边形P1P2...Pn(k∈N, k≥3)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)n-1kPnP1=1+(-1)n-12，证明：左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)n-114(xPn+xP1)=xP14[1+(-1)n-1]=1+(-1)n-12=右边．22.解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立设x1≤0≤x2，且x1+x22<0，∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12⋅x1+x22=x24≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立试卷第5页，总6页 设x1≤0≤x2，且x1+x22≥0，∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12⋅x1+x22=-x14≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立∴综上所述，f(x)∈M；（2）如函数f(x)=-x2，f(x)∉M取x1=-1，x2=1，则f(x1)+f(x2)2=-1，f(x1+x22)=0此时f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2不成立；（3）f(x)=x2，x≥1x,x<1满足f(x)∈M，且limn→∞f(n)n2=limn→∞n2n2=1，limn→∞f(-n)-n=limn→∞-n-n=1．23.（1）解：∵x0=5，a=100，xn+1=12(xn+axn)∴x1=12(5+1005)≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65猜想xn>xn+1；（2）证明：xn-xn+1-12(xn-1-xn)=xn-12axn-12xn-1=a2⋅xn-xn-1xn-1xn∵xn>3a；∴xn-xn+1=12(xn-axn)=12⋅xn3-axn>0∴xn>xn+1∴xn-xn+1<12(xn-1-xn)；（3）解：由（2）知0<xn-xn+1<12(xn-1-xn)<...<12n(x0-x1)由题意，只要12n(x0-x1)<10-4，即2n>104(x0-x1)∵x0-x1=12(x0-10x0)∴n>log2(104⋅10-102)=15.1∴n=16．试卷第5页，总6页