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2005年上海市春季高考数学试卷
2005年上海市春季高考数学试卷
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2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.)1.方程lgx2-lg(x+2)=0的解集是________.2.limn→∞n+21+2+…+n=________.3.若cosα=35,且α∈(0, π2),则tanα2=________.4.函数f(x)=-x2(x∈(-∞, -2])的反函数f-1(x)=________5.在△ABC中,若∠C=90∘,AC=BC=4,则BA→⋅BC→=________.6.某班共有40名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.(结果用最简分数表示)7.双曲线9x2-16y2=1的焦距是________8.若(x+2)n=xn+...+ax3+bx2+cx+2n(n∈N,且n≥3),且a:b=3:2,则n=________.9.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列三个命题①若{an}既是等差数列又是等比数列,则an=an+1(n∈N*);②若Sn=an2+bn(a, b∈R),则{an}是等差数列;③若Sn=1-(-1)n,则{an}是等比数列;这些命题中,真命题的序号是________.10.若集合A={x|3cos2πx=3x, x∈R},B={y|y2=1, y∈R},则A∩B=________.11.函数y=sinx+arcsinx的值域是________.12.已知函数f(x)=2x+log2x,数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N),当|f(an)-2005|取得最小值时,n=________.二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.)13.知直线l、m、n及平面α,下列命题中的假命题是()A.若l // m,m // n,则l // nB.若l⊥α,n // α,则l⊥nC.若l⊥m,m // n,则l⊥nD.若l // α,n // α,则l // n14.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形15.若a、b、c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题:①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值;②若存在x0∈R,使得对任意x∈R试卷第5页,总6页 ,且x≠x0,有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是函数f(x)的最大值.这些命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.)17.已知z是复数,z+2i,z2-i(i为虚数单位)均为实数,且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.18.已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根,求α的值.19.已知正三棱锥P-ABC的体积为723,侧面与底面所成的二面角的大小为60∘.(1)证明:PA⊥BC;(2)求底面中心O到侧面的距离.20.某市2004年底有住房面积1200万平方米,计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2005年底和2006年底的住房面积;(2)求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)21.已知函数f(x)=x+ax的定义域为(0, +∞),且f(2)=2+22.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.(1)求a的值.(2)问:|PM|⋅|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.22.(1)求右焦点坐标是(2, 0),且经过点(-2, -2)的椭圆的标准方程.试卷第5页,总6页 (2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0).设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M.证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.1.{-1, 2}2.03.124.--x(x≤-4)5.166.12607.568.119.①②③10.{1}11.[-sin1-π2, sin1+π2]12.110二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.13.D14.B15.A16.C三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解:设z=x+yi(x,y∈R),所以z+2i=x+(y+2)i,由题意,得y=-2.因为z2-i=x-2i2-i=15(x-2i)(2+i)=15(2x+2)+15(x-4)i,由题意,得x=4,所以z=4-2i.因为(z+ai)2=12+4a-a2+8(a-2)i,根据条件,可知12+4a-a2>08(a-2)>0,解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).18.解:∵tanα是方程x2+2xsecα+1=0的较小根,∴方程的较大根是cotα.∵tanα+cotα=-2secα,即试卷第5页,总6页 1sinαcosα=-2cosα∴sinα=-12.解得α=2kπ+7π6,或α=2kπ-π6,k∈Z.当α=2kπ+7π6(k∈Z)时,tanα=33,cotα=3;当α=2kπ-π6(k∈Z)时,tanα=-33,cotα=-3,不合题意.∴α=2kπ+7π6,k∈Z.19.(1)证明:取BC边的中点D,连接AD、PD,则AD⊥BC,PD⊥BC,故BC⊥平面APD.∴PA⊥BC.(2)解:如图,由(1)可知平面PBC⊥平面APD,则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作OE⊥PD,E为垂足,则OE就是点O到侧面的距离.设OE为h,由题意可知点O在AD上,∴∠PDO=60∘,OP=2h.∵OD=2h3,∴BC=4h,∴S△ABC=34(4h)2=43h2,∵723=13⋅43h2⋅2h=833h3,∴h=3.即底面中心O到侧面的距离为3.20.解:(1)2005年底的住房面积为:1200(1+5%)-20=1240(万平方米),2006年底的住房面积为:1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),∴2005年底的住房面积为1240万平方米,2006年底的住房面积为1282万平方米.(2)2024年底的住房面积为:1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-...-20(1+5%)-20=1200(1+5%)20-20×1.0520-10.05≈2522.64(万平方米),∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.21.解:(1)∵f(2)=2+a2=2+22,∴a=2.试卷第5页,总6页 (2)设点P的坐标为(x0, y0),则有y0=x0+2x0,x0>0,由点到直线的距离公式可知,|PM|=|x0-y0|2=1x0,|PN|=x0,∴有|PM|⋅|PN|=1,即|PM|⋅|PN|为定值,这个值为1.(3)由题意可设M(t, t),可知N(0, y0).∵PM与直线y=x垂直,∴kPM⋅1=-1,即y0-tx0-t=-1.解得t=12(x0+y0).又y0=x0+2x0,∴t=x0+22x0.∴S△OPM=12x02+22,S△OPN=12x02+22.∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=12(x02+1x02)+2≥1+2.当且仅当x0=1时,等号成立.此时四边形OMPN的面积有最小值:1+2.22.解:(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1,a>b>0,∴a2=b2+4,即椭圆的方程为x2b2+4+y2b2=1.∵点(-2, -2)在椭圆上,∴4b2+4+2b2=1.解得b2=4或b2=-2(舍).由此得a2=8,即椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A(x1, y1)、B(x2, y2),y=kx+m,则有x2a2+y2b2=1.解得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.∵△>0,∴m2<b2+a2k2,即-b2+a2k2<m<b2+a2k2.则x1+x2=-2a2kmb2+a2k2,y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2,∴AB中点M的坐标为(-a2kmb2+a2k2, b2mb2+a2k2).∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.(3)解:如图,作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D,并分别取AB、CD的中点M、N,连接直线MN;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于A1、B1和C1、D1,并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1,连接直线M1N1,那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.试卷第5页,总6页
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高考 - 历年真题
发布时间:2021-10-23 09:03:52
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文章作者: 真水无香
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