2007年上海市春季高考数学试卷
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2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.)1.计算limn→∞2n2+13n(n+1)=________.2.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i(i是虚数单位),则q=________.3.若关于x的不等式x-ax+1>0的解集为(-∞, -1)∪(4, +∞),则实数a=________.4.函数y=(sinx+cosx)2的最小正周期是________.5.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=________.6.在平面直角坐标系xoy中,若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标x=________.7.在平面直角坐标系xOy中,若曲线x=4-y2与直线x=m有且只有一个公共点,则实数m=________.8.若向量a→,b→满足|a→|=2,|b→|=1,a→⋅(a→+b→)=1,则向量a→,b→的夹角的大小为________.9.若x1、x2为方程2x=(12)-1x+1的两个实数解,则x1+x2=________.10.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目.若选到男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有________人.11.函数y=x2+1,x≥02x,x<0 的反函数是________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.)12.若集合A={1, m2},B={2, 4},则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)13.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、II、III、IV(不包括边界).若OP→=aOP1→+bOP2→,且点P落在第III部分,则实数a、b满足()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0试卷第7页,总8页, 14.下列四个函数中,图象如图所示的只能是()A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx15.设a、b是正实数,以下不等式:①ab>2aba+b;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+2ab>2恒成立的序号为()A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.)16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'B'和AB的中点,求异面直线A'F与CE所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).17.求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积163后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为163,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为163,求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xoy中,求点P(2, 1)到直线3x+4y=0的距离.”的一个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.18.在直角坐标系中,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(2, 1).试卷第7页,总8页, (1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的一个顶点为B(0, -b),直线BF2交椭圆C于另一点N,求△F1BN的面积.19.某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?20.通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45∘,求弦AB的长;(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.21.我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q第3行q2……第n行qn-1(1)设第2行的数依次为B1,B2,…,Bn,试用n,q表示B1+B2+...+Bn的值;(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,…,cn,求证:对于任意非零实数q,c1+c3>2c2;试卷第7页,总8页, (3)请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问).①能否找到q的值,使得(2)中的数列c1,c2,c3,…,cn的前m项c1,c2,…,cm (m≥3)成为等比数列?若能找到,m的值有多少个?若不能找到,说明理由.②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?并说明理由.试卷第7页,总8页, 参考答案与试题解析2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.1.232.23.44.π5.-36.57.28.3π49.-110.12011.y=x-1,x≥12x,x<0.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.12.充分不必要13.B14.B15.D三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.解:(法一)如图建立空间直角坐标系. …由题意可知A'(2, 0, 2),C(0, 2, 0),E(2, 1, 2),F(2, 1, 0).∴A'F→=(0,1,-2),CE→=(2,-1,2).…设直线A'F与CE所成角为θ,则cosθ=|A'F→|⋅|CE→|˙=55⋅3=53. …∴θ=arccos53,即异面直线A'F与CE所成角的大小为arccos53.试卷第7页,总8页, …(法二):连接EB,…∵A'E // BF,且A'E=BF,∴A'FBE是平行四边形,则A'F // EB,∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角. …由CB⊥平面ABB'A',得CB⊥BE.在Rt△CEB中,CB=2,BE=5,则tan∠CEB=255,…∴∠CEB=arctan255.∴异面直线A'F与CE所成角的大小为arctan255. …17.解:点(2, 1)到直线3x+4y=0的距离为|3⋅2+4⋅1|32+42=2. “逆向”问题可以是:(1)求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程. 设所求轨迹上任意一点为P(x, y),则|3x+4y|5=2,所求轨迹为3x+4y-10=0或3x+4y+10=0. (2)若点P(2, 1)到直线l:ax+by=0的距离为2,求直线l的方程.由|2a+b|a2+b2=2,化简得4ab-3b2=0,b=0或4a=3b,所以,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.18.由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a.由题意|MF2|=1,∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1,a>0,∴a=2,又a2-b2=2,得b2=2.∴椭圆C的方程为x24+y22=1.直线BF2的方程为y=x-2.由y=x-2x24+y22=1 得点N的纵坐标为23.又|F1F2|=22,∴S△F1BN=12×(2+23)×22=83.试卷第7页,总8页, 19.解:(1)证明:图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90∘,180∘,270∘后得到,∴EF=FG=GH=HE.又CE=CF,∴△CEF为等腰直角三角形.∴四边形EFGH是正方形.(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为W,制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a,2a,a(元),则W=12x2⋅3a+12(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-12x2-12×0.4×0.4-x]⋅a=a(x2-0.2x+0.24)=a[(x-0.1)2+0.23](0<x<0.4)由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省.当CE=CF=0.1米时最省.20.解:(1)在△ABC中,BC=2,∠ABC=45∘ABsinC=bsinB=asinA=2R⇒b=22sinA=12∵A为锐角∴A=30∘,B=45∘∴C=105∘∴AB=2Rsin75∘=4sin105∘=6+2;(2)∠C为钝角,∴cosC<0,且cosC≠1cosC=a2+b2-c22ab<0∴a2+b2<c2<(2r)2即a2+b2<4r2(3)a>2R或a=b=2R时,△ABC不存在当a=2Rb<a时,a=90,△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时,∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时,△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时,∠b总是锐角,∠a可以是钝角,可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时,c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a>90∘时,c=a2+b2+ab2R2(4R2-a24R2-b2+ab)试卷第7页,总8页, 21.解:(1)由题意得,B1=q,B2=1+q,B3=1+(1+q)=2+q,…,Bn=(n-1)+q,∴B1+B2+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)2+nq.(2)由题意得,c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2>0,即 c1+c3>2c2. (3)①先设c1,c2,c3成等比数列,由c1c3=c22得, 3+2q+q2=(2+q)2,q=-12.此时 c1=1,c2=32,c3=94,∴c1,c2,c3是一个公比为32的等比数列. 如果m≥4,c1,c2,…,cm为等比数列,那么c1,c2,c3一定是等比数列.由上所述,此时q=-12,c1=1,c2=32,c3=94,c4=238,由于c4c3≠32,因此,对于任意m≥4,c1,c2,…,cm一定不是等比数列.综上所述,当且仅当m=3且q=-12时,数列c1,c2,…,cm是等比数列.②设x1,x2,x3和y1,y2,y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项,1≤k</a时,a=90,△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时,∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时,△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时,∠b总是锐角,∠a可以是钝角,可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时,c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a></c2<(2r)2即a2+b2<4r2(3)a></x<0.4)由a>
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