2007年上海市春季高考数学试卷
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2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．)1.计算limn→∞2n2+13n(n+1)=________．2.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=________．3.若关于x的不等式x-ax+1>0的解集为(-∞, -1)∪(4, +∞)，则实数a＝________．4.函数y＝(sinx+cosx)2的最小正周期是________．5.设函数y=f(x)是奇函数．若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=________．6.在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=________．7.在平面直角坐标系xOy中，若曲线x=4-y2与直线x=m有且只有一个公共点，则实数m=________．8.若向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，a→⋅(a→+b→)=1，则向量a→，b→的夹角的大小为________．9.若x1、x2为方程2x=(12)-1x+1的两个实数解，则x1+x2＝________．10.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．11.函数y=x2+1，x≥02x，x<0 的反函数是________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．)12.若集合A={1, m2}，B={2, 4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)13.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、II、III、IV（不包括边界）．若OP→=aOP1→+bOP2→，且点P落在第III部分，则实数a、b满足（）A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0试卷第7页，总8页, 14.下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx15.设a、b是正实数，以下不等式：①ab>2aba+b；②a>|a-b|-b；③a2+b2>4ab-3b2；④ab+2ab>2恒成立的序号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）．17.求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积163后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P(2, 1)到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．18.在直角坐标系中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(2, 1)．试卷第7页，总8页, （1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B(0, -b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．19.某人定制了一批地砖．每块地砖 （如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？20.通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45∘，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2<4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q第3行q2……第n行qn-1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+...+Bn的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3>2c2；试卷第7页，总8页, （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm (m≥3)成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．试卷第7页，总8页, 参考答案与试题解析2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1.232.23.44.π5.-36.57.28.3π49.-110.12011.y=x-1，x≥12x，x<0.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12.充分不必要13.B14.B15.D三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.解：（法一）如图建立空间直角坐标系． …由题意可知A'(2, 0, 2)，C(0, 2, 0)，E(2, 1, 2)，F(2, 1, 0)．∴A'F→=(0,1,-2)，CE→=(2,-1,2)．…设直线A'F与CE所成角为θ，则cosθ=|A'F→|⋅|CE→|˙=55⋅3=53． …∴θ=arccos53，即异面直线A'F与CE所成角的大小为arccos53．试卷第7页，总8页, …（法二）：连接EB，…∵A'E // BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F // EB，∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角． …由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．在Rt△CEB中，CB=2,BE=5，则tan∠CEB=255，…∴∠CEB=arctan255．∴异面直线A'F与CE所成角的大小为arctan255． …17.解：点(2, 1)到直线3x+4y=0的距离为|3⋅2+4⋅1|32+42=2． “逆向”问题可以是：(1)求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程． 设所求轨迹上任意一点为P(x, y)，则|3x+4y|5=2，所求轨迹为3x+4y-10=0或3x+4y+10=0． (2)若点P(2, 1)到直线l:ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．由|2a+b|a2+b2=2，化简得4ab-3b2=0，b=0或4a=3b，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y=0．18.由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|＝2a．由题意|MF2|＝1，∴|MF1|＝2a-1．又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a＝2，又a2-b2＝2，得b2＝2．∴椭圆C的方程为x24+y22=1．直线BF2的方程为y=x-2．由y=x-2x24+y22=1 得点N的纵坐标为23．又|F1F2|=22，∴S△F1BN=12×(2+23)×22=83．试卷第7页，总8页, 19.解：（1）证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90∘，180∘，270∘后得到，∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，∴△CEF为等腰直角三角形．∴四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a（元），则W=12x2⋅3a+12(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-12x2-12×0.4×0.4-x]⋅a=a(x2-0.2x+0.24)=a[(x-0.1)2+0.23](0<x<0.4)由a>0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省．当CE=CF=0.1米时最省．20.解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45∘ABsinC=bsinB=asinA=2R⇒b=22sinA=12∵A为锐角∴A=30∘，B=45∘∴C=105∘∴AB=2Rsin75∘=4sin105∘=6+2；（2）∠C为钝角，∴cosC<0，且cosC≠1cosC=a2+b2-c22ab<0∴a2+b2<c2<(2r)2即a2+b2<4r2（3）a>2R或a=b=2R时，△ABC不存在当a=2Rb<a时，a=90，△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时，∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时，△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时，∠b总是锐角，∠a可以是钝角，可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时，c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a>90∘时，c=a2+b2+ab2R2(4R2-a24R2-b2+ab)试卷第7页，总8页, 21.解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，B3=1+(1+q)=2+q，…，Bn=(n-1)+q，∴B1+B2+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)2+nq．（2）由题意得，c1=1，c2=1+(1+q)=2+q，c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2，由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2>0，即 c1+c3>2c2． （3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由c1c3=c22得， 3+2q+q2=(2+q)2，q=-12．此时 c1=1，c2=32，c3=94，∴c1，c2，c3是一个公比为32的等比数列． 如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．由上所述，此时q=-12，c1=1，c2=32，c3=94，c4=238，由于c4c3≠32，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．综上所述，当且仅当m=3且q=-12时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k</a时，a=90，△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时，∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时，△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时，∠b总是锐角，∠a可以是钝角，可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时，c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a></c2<(2r)2即a2+b2<4r2（3）a></x<0.4)由a>
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