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2007年上海市春季高考数学试卷

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2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.)1.计算limn&rarr;&infin;2n2+13n(n+1)=________.2.若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i(i是虚数单位),则q=________.3.若关于x的不等式x-ax+1&gt;0的解集为(-&infin;,&thinsp;-1)&cup;(4,&thinsp;+&infin;),则实数a=________.4.函数y=(sinx+cosx)2的最小正周期是________.5.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=________.6.在平面直角坐标系xoy中,若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标x=________.7.在平面直角坐标系xOy中,若曲线x=4-y2与直线x=m有且只有一个公共点,则实数m=________.8.若向量a&rarr;,b&rarr;满足|a&rarr;|=2,|b&rarr;|=1,a&rarr;&sdot;(a&rarr;+b&rarr;)=1,则向量a&rarr;,b&rarr;的夹角的大小为________.9.若x1、x2为方程2x=(12)-1x+1的两个实数解,则x1+x2=________.10.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目.若选到男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有________人.11.函数y=x2+1,x&ge;02x,x&lt;0&nbsp;&nbsp;的反函数是________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.)12.若集合A={1,&thinsp;m2},B={2,&thinsp;4},则&ldquo;m=2&rdquo;是&ldquo;A&cap;B={4}&rdquo;的________条件.(填&ldquo;充分不必要&rdquo;或&ldquo;必要不充分&rdquo;或&ldquo;充要&rdquo;或&ldquo;既不充分也不必要&rdquo;)13.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、II、III、IV(不包括边界).若OP&rarr;=aOP1&rarr;+bOP2&rarr;,且点P落在第III部分,则实数a、b满足()A.a&gt;0,b&gt;0B.a&gt;0,b&lt;0C.a&lt;0,b&gt;0D.a&lt;0,b&lt;0试卷第7页,总8页, 14.下列四个函数中,图象如图所示的只能是()A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx15.设a、b是正实数,以下不等式:①ab&gt;2aba+b;②a&gt;|a-b|-b;③a2+b2&gt;4ab-3b2;④ab+2ab&gt;2恒成立的序号为()A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.)16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A&#39;B&#39;C&#39;D&#39;中,E,F分别是A&#39;B&#39;和AB的中点,求异面直线A&#39;F与CE所成角的大小&nbsp;(结果用反三角函数值表示).17.求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个&ldquo;逆向&rdquo;问题.例如,原来问题是&ldquo;若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积&rdquo;.求出体积163后,它的一个&ldquo;逆向&rdquo;问题可以是&ldquo;若正四棱锥底面边长为4,体积为163,求侧棱长&rdquo;;也可以是&ldquo;若正四棱锥的体积为163,求所有侧面面积之和的最小值&rdquo;.试给出问题&ldquo;在平面直角坐标系xoy中,求点P(2,&thinsp;1)到直线3x+4y=0的距离.&rdquo;的一个有意义的&ldquo;逆向&rdquo;问题,并解答你所给出的&ldquo;逆向&rdquo;问题.18.在直角坐标系中,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a&gt;b&gt;0)的左、右两个焦点分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(2,&thinsp;1).试卷第7页,总8页, (1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,&thinsp;-b),直线BF2交椭圆C于另一点N,求△F1BN的面积.19.某人定制了一批地砖.每块地砖&nbsp;(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?20.通常用a、b、c表示△ABC的三个内角&ang;A、&ang;B、&ang;C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,&ang;ABC=45∘,求弦AB的长;(2)在△ABC中,若&ang;C是钝角,求证:a2+b2&lt;4R2;(3)给定三个正实数a、b、R,其中b&le;a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.21.我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照&ldquo;任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和&rdquo;的规则填写其它空格.第1列第2列第3列&hellip;第n列第1行111&hellip;1第2行q第3行q2&hellip;&hellip;第n行qn-1(1)设第2行的数依次为B1,B2,&hellip;,Bn,试用n,q表示B1+B2+...+Bn的值;(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,&hellip;,cn,求证:对于任意非零实数q,c1+c3&gt;2c2;试卷第7页,总8页, (3)请在以下两个问题中选择一个进行研究&nbsp;(只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问).①能否找到q的值,使得(2)中的数列c1,c2,c3,&hellip;,cn的前m项c1,c2,&hellip;,cm&nbsp;(m&ge;3)成为等比数列?若能找到,m的值有多少个?若不能找到,说明理由.②能否找到q的值,使得填完表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?并说明理由.试卷第7页,总8页, 参考答案与试题解析2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.1.232.23.44.&pi;5.-36.57.28.3&pi;49.-110.12011.y=x-1,x&ge;12x,x&lt;0.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.12.充分不必要13.B14.B15.D三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.解:(法一)如图建立空间直角坐标系.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&hellip;由题意可知A&#39;(2,&thinsp;0,&thinsp;2),C(0,&thinsp;2,&thinsp;0),E(2,&thinsp;1,&thinsp;2),F(2,&thinsp;1,&thinsp;0).&there4;A&#39;F&rarr;=(0,1,-2),CE&rarr;=(2,-1,2).&hellip;设直线A&#39;F与CE所成角为&theta;,则cos&theta;=|A&#39;F&rarr;|&sdot;|CE&rarr;|˙=55&sdot;3=53.&nbsp;&nbsp;&hellip;&there4;&theta;=arccos53,即异面直线A&#39;F与CE所成角的大小为arccos53.试卷第7页,总8页, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&hellip;(法二):连接EB,&hellip;∵A&#39;E&thinsp;//&thinsp;BF,且A&#39;E=BF,&there4;A&#39;FBE是平行四边形,则A&#39;F&thinsp;//&thinsp;EB,&there4;异面直线A&#39;F与CE所成的角就是CE与EB所成的角.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&hellip;由CB&perp;平面ABB&#39;A&#39;,得CB&perp;BE.在Rt△CEB中,CB=2,BE=5,则tan&ang;CEB=255,&hellip;&there4;&ang;CEB=arctan255.&there4;异面直线A&#39;F与CE所成角的大小为arctan255.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&hellip;17.解:点(2,&thinsp;1)到直线3x+4y=0的距离为|3&sdot;2+4&sdot;1|32+42=2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&ldquo;逆向&rdquo;问题可以是:(1)求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设所求轨迹上任意一点为P(x,&thinsp;y),则|3x+4y|5=2,所求轨迹为3x+4y-10=0或3x+4y+10=0.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)若点P(2,&thinsp;1)到直线l:ax+by=0的距离为2,求直线l的方程.由|2a+b|a2+b2=2,化简得4ab-3b2=0,b=0或4a=3b,所以,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.18.由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a.由题意|MF2|=1,&there4;|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1,a&gt;0,&there4;a=2,又a2-b2=2,得b2=2.&there4;椭圆C的方程为x24+y22=1.直线BF2的方程为y=x-2.由y=x-2x24+y22=1 得点N的纵坐标为23.又|F1F2|=22,&there4;S△F1BN=12&times;(2+23)&times;22=83.试卷第7页,总8页, 19.解:(1)证明:图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90∘,180∘,270∘后得到,&there4;EF=FG=GH=HE.又CE=CF,&there4;△CEF为等腰直角三角形.&there4;四边形EFGH是正方形.(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为W,制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a,2a,a(元),则W=12x2&sdot;3a+12(0.4-x)&times;0.4&times;2a+[0.16-12x2-12&times;0.4&times;0.4-x]&sdot;a=a(x2-0.2x+0.24)=a[(x-0.1)2+0.23](0<x<0.4)由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省.当CE=CF=0.1米时最省.20.解:(1)在△ABC中,BC=2,&ang;ABC=45∘ABsinC=bsinB=asinA=2R&rArr;b=22sinA=12∵A为锐角&there4;A=30∘,B=45∘&there4;C=105∘&there4;AB=2Rsin75∘=4sin105∘=6+2;(2)&ang;C为钝角,&there4;cosC&lt;0,且cosC&ne;1cosC=a2+b2-c22ab&lt;0&there4;a2+b2<c2<(2r)2即a2+b2<4r2(3)a>2R或a=b=2R时,△ABC不存在当a=2Rb<a时,a=90,△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时,∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时,△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时,∠b总是锐角,∠a可以是钝角,可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时,c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a>90∘时,c=a2+b2+ab2R2(4R2-a24R2-b2+ab)试卷第7页,总8页, 21.解:(1)由题意得,B1=q,B2=1+q,B3=1+(1+q)=2+q,&hellip;,Bn=(n-1)+q,&there4;B1+B2+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)2+nq.(2)由题意得,c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,由&nbsp;c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2&gt;0,即&nbsp;c1+c3&gt;2c2.&nbsp;(3)①先设c1,c2,c3成等比数列,由c1c3=c22得,&nbsp;3+2q+q2=(2+q)2,q=-12.此时&nbsp;c1=1,c2=32,c3=94,&there4;c1,c2,c3是一个公比为32的等比数列.&nbsp;如果m&ge;4,c1,c2,&hellip;,cm为等比数列,那么c1,c2,c3一定是等比数列.由上所述,此时q=-12,c1=1,c2=32,c3=94,c4=238,由于c4c3&ne;32,因此,对于任意m&ge;4,c1,c2,&hellip;,cm一定不是等比数列.综上所述,当且仅当m=3且q=-12时,数列c1,c2,&hellip;,cm是等比数列.②设x1,x2,x3和y1,y2,y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项,1&le;k</a时,a=90,△abc存在且只有一个∴c=a2-b2当a<2rb=a时,∠a=∠b且都是锐角sina=sinb=a2r时,△abc存在且只有一个∴c=2rsinc=2rsin2ac=9r4r2-a2当a<2rb<a时,∠b总是锐角,∠a可以是钝角,可是锐角∴△abc存在两个∠a<90∘时,c=a2+b2+ab2r2(4r2-a24r2-b2-ab)∠a></c2<(2r)2即a2+b2<4r2(3)a></x<0.4)由a>

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发布时间:2021-10-23 09:03:55 页数:8
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文章作者: 真水无香

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