2012年上海市春季高考数学试卷

2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。)1.已知集合A={1, 2, k}，B={2, 5}．若A∪B={1, 2, 3, 5}，则k=________．2.函数y=x+2的定义域是________．3.抛物线y2=8x的焦点坐标是________．4.若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=________．5.函数f(x)=sin(2x+π4)的最小正周期为________．6.方程4x-2x+1=0的解为________．7.若(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=________．8.若f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，则实数m＝________．9.函数y=log2x+4log2x(x∈[2,4])的最大值为________．10.若复数z满足|z-i|≤2（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为________．11.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为________．（结果用数值表示）12.若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1, 2)恒成立，则实数k的取值范围是________．13.已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令bn=an+a2012-n(n∈N*,n<2012)．当bk是数列{bn}的最大项时，k=________．14.若矩阵a11a12a21a22满足a11，a12，a21，a22∈{-1, 1}，且a11a12a21a22=0，则这样的互不相等的矩阵共有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。)15.已知椭圆C1:x212+y24=1，C2:x216+y28=1，则（）A.C1与C2顶点相同B.C1与C2长轴长相同C.C1与C2短轴长相同D.C1与C2焦距相等16.记函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)．如果函数y=f(x)的图象过点(1, 0)，那么函数y=f-1(x)+1的图象过点（）A.(0, 0)B.(0, 2)C.(1, 1)D.(2, 0)17.已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能试卷第7页，总7页 18.设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足xOA→+yOB→+zOC→=0→，(x2+y2+z2≠0)，则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。)19.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．求：（1）三棱锥C1-MBC的体积；（2）异面直线CD与MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？21.已知双曲线C1:x2-y24=1．(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点．当OA→⋅OB→=3时，求实数m的值．22.已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设cn=n3，an=n2-8n．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）设cn=2n+n，an=1+(-1)n2．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．23.定义向量OM→=(a, b)的“相伴函数”为f(x)＝asinx+bcosx，函数f(x)＝asinx+bcosx的“相伴向量”为OM→=(a, b)（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．试卷第7页，总7页 （1）设g(x)＝3sin(x+π2)+4sinx，求证：g(x)∈S；（2）已知h(x)＝cos(x+α)+2cosx，且h(x)∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M(a, b)(b≠0)为圆C：(x-2)2+y2＝1上一点，向量OM→的“相伴函数”f(x)在x＝x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。1.32.[-2, +∞)3.(2, 0)4.1-i5.π6.x=17.18.-29.510.2π11.141512.(-∞, 2]13.100614.8二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。15.D16.B17.D18.C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19.解：（1）连接CM，∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1，∴△BCM的面积为S=14S正方形ABCD=14．又∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1是三棱锥C1-MBC的高，∴三棱锥C1-MBC的体积为：VC1-MBC=13×14×2=16；试卷第7页，总7页 （2）连接BC1∵CD // AB，∴∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角．∵AB⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB，∴AB⊥BC1．Rt△MC1B中，BC1=BC2+CC12=5，MB=12AB=12∴tan∠C1MB=BC1BM=25所以异面直线CD与MC1所成角为arctan25．20.解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得309v×60≤10∴v≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18-x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则t1=3025x×60=72x，t2=3030(18-x)×60=6018-x∴|t1-t2|=|72x-6018-x|≤1∴x2-150x+1296≤0x2+114x-1296≤0∴150-173162≤x≤-114+181802∵x∈N+，∴x=10∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟．21.解：(1)∵双曲线C1:x2-y24=1，∴焦点坐标为(5, 0)，(-5, 0).设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)，∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3),∴a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a=2,b=1.∴双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=-2x,由y=2x,y=x+m,可得x=m，y=2m，∴A(m, 2m).由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m，y=23m，∴试卷第7页，总7页 B(-13m, 23m),∴OA→⋅OB→=-13m2+43m2=m2.∵OA→⋅OB→=3,∴m2=3.∴m=±3.22.解：（1）∵an+1-an=3，∴bn+1-bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵an=n2-8n．∴an+1-an=2n-7，∴bn+1-bn=n32n-7，由bn+1-bn>0，解得n≥4，即b4<b5<b6…；由bn+1-bn<0，解得n≤3，即b1>b2>b3>b4．∴k=4．（3）∵an+1-an=(-1)n+1，∴bn+1-bn=(-1)n+1(2n+n)．∴bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)(n≥2)．故b2-b1=21+1；b3-b2=(-1)(22+2)，…bn-1-bn-2=(-1)n-1(2n-2+n-2)．bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)．当n=2k时，以上各式相加得bn-b1=(2-22+...-2n-2+2n-1)+[1-2+...-(n-2)+(n-1)]=2-2n-1(-2)1-(-2)+n2=2+2n3+n2．∴bn=2+2n3+n2+1=2n3+n2+53．当n=2k-1时，bn=bn+1-(-1)n+1(2n+n)=2n+13+n+12+53-(2n+n)=-2n3-n2+136∴bn=-2n3-n2+136n=2k-12n3+n2+53n=2kk∈N+．23.g(x)＝3sin(x+π2)+4sinx＝4sinx+3cosx，其‘相伴向量’OM→=(4, 3)，g(x)∈S．试卷第7页，总7页 h(x)＝cos(x+α)+2cosx＝(cosxcosα-sinxsinα)+2cosx＝-sinαsinx+(cosα+2)cosx∴函数h(x)的‘相伴向量’OM→=(-sinα, cosα+2)．则|OM→|=(-sinα)2+(cosα+2)2=5+4cosα．OM→的‘相伴函数’f(x)＝asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，其中cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2．当x+φ＝2kπ+π2，k∈Z时，f(x)取到最大值，故x0＝2kπ+π2-φ，k∈Z．∴tanx0＝tan(2kπ+π2-φ)＝cotφ=ab，tan2x0=2tanx01-tan2x0=2×ab1-(ab)2=2ba-ab．ba为直线OM的斜率，由几何意义知：ba∈[-33, 0)∪(0, 33]．令m=ba，则tan2x0=2m-1m，m∈[-33, 0)∪(0，33}．当-33≤m<0时，函数tan2x0=2m-1m单调递减，∴0<tan2x0≤3；当0<m≤33时，函数tan2x0=2m-1m单调递减，∴-3≤tan2x0<0．综上所述，tan2x0∈[-3, 0)∪(0, 3]．试卷第7页，总7页