2013年上海市春季高考数学试卷

2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．)1.函数＝logݔ的定义域是________．2.方程ݔ＝的解是________．3.抛物线＝ݔ的准线方程是________．4.函数＝sinݔ的最小正周期是________．5.已知向量䁖，ǡ．若，则实数＝________．6.函数＝sinݔncosݔ的最大值是________．7.复数n（是虚数单位）的模是________．8.在䳌䁨中，角，䳌，䁨所对边长分别为，，，若＝，＝，䳌＝，则＝________．9.正方体䳌䁨ܥǡ䁖䳌䁖䁨䁖ܥ䁖中，异面直线䁖䳌与䳌䁖䁨所成角的大小为________．10.从名男同学和名女同学中随机选取n人参加某社团活动，选出的n人中男女同学都有的概率为________（结果用数值表示）．11.若等差数列的前项和为n，前项和为，则数列的前项和＝________．12.n的所有正约数之和可按如下方法得到：因为nn，所以n的所有正约数之和为䁖nnnnnn䁖䁖nn䁖，参照上述方法，可求得的所有正约数之和为________．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．)13.展开式为݀ǡ的行列式是（）݀A.B.C.D.݀݀݀14.设ǡ䁖ݔݔ数函为ݔ的反函数，下列结论正确的是（）A.ǡ䁖＝B.ǡ䁖＝C.ǡ䁖＝D.ǡ䁖＝15.直线ݔǡn䁖＝的一个方向向量是（）A.ǡnB.nC.ǡnD.n䁖ǡ16.函数ݔݔ的大致图象是（）试卷第1页，总8页 A.B.C.D.17.如果൏൏，那么下列不等式成立的是（）䁖䁖䁖䁖A.൏B.൏C.ǡ൏ǡD.ǡ൏ǡ18.若复数䁖，满足䁖，则䁖，在复数平面上对应的点䁖，()A.关于ݔ轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线ݔ对称19.䁖ݔ䁖的二项展开式中的一项是（）A.ݔ.Dnݔ䁖.Cݔ.Bݔ20.既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A.＝sinݔcos＝.Dݔsin＝.Cݔcos＝.Bݔ21.若两个球的表面积之比为䁖为，则这两个球的体积之比为A.䁖为B.䁖为C.䁖为D.䁖为䁖22.设全集，下列集合运算结果为的是（）A.B.C.D.䁙23.已知，，，“ǡ൏”是“函数ݔ在恒象图的ݔݔ＝ݔ轴上方”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.已知，䳌为平面内两定点，过该平面内动点作直线䳌的垂线，垂足为．若䳌，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线试卷第2页，总8页 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)25.如图，在正三棱柱䳌䁨ǡ䁖䳌䁖䁨䁖中，䁖，异面直线䳌䁨䁖与䁖所成角的大小为，求该三棱柱的体积．26.如图，某校有一块形如直角三角形䳌䁨的空地，其中䳌为直角，䳌长米，䳌䁨长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且䳌为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27.已知数列䁙的前项和为ǡ，数列䁙满足，求lim䁖．28.已知椭圆䁨的两个焦点分别为䁖ǡ䁖、䁖，短轴的两个端点分别为䳌䁖，䳌（1）若䁖䳌䁖䳌为等边三角形，求椭圆䁨的方程；（2）若椭圆䁨的短轴长为，过点的直线与椭圆䁨相交于，两点，且䁖䁖，求直线的方程．29.已知抛物线䁨为＝ݔ的焦点为．（1）点，满足ǡ．当点在抛物线䁨上运动时，求动点的轨迹方程；（2）在ݔ＝线直于关点得使，点在存否是上轴ݔ的对称点在抛物线䁨上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．30.在平面直角坐标系ݔ为标坐横其，上轴ݔ在点，上轴半正轴在点，中0ݔ，且ݔ䁙是首项为䁖、公比为的等比数列，记＝，．䁖䁖（1）若narctan，求点的坐标；n（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值．试卷第3页，总8页 31.已知真命题：“函数＝ݔ的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数＝ݔǡ是奇函数”．（1）将函数ݔnǡnݔ＝ݔ的图象向左平移䁖个单位，再向上平移个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数ݔ图象对称中心的坐标；ݔ（2）求函数ݔ图象对称中心的坐标；ǡݔ（3）已知命题：“函数＝ݔ的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数＝ݔǡ是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1.ǡ2.n3.ݔ＝ǡ4.n5.ǡ6.7.䁖n8.9.10.11.ǡ12.n二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13.B14.B15.D16.A17.D18.A19.C20.B21.C22.A23.D24.C试卷第5页，总8页 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25.解：因为䁨䁨䁖䁖．所以䳌䁨䁖䁨为异面直线䳌䁨䁖与䁖所成的角，即䳌䁨䁖䁨．n在䳌䁨䁖䁨中，䳌䁨䁨䁨䁖tan䳌䁨䁖䁨n，nn从而䳌䁨䳌䁨nn，因此该三棱柱的体积为䳌䁨䁖nn䁖n．26.该健身房的最大占地面积为平方米．27.当时，ǡǡǡ䁖ǡǡ䁖ǡ，ǡ䁖且䁖＝䁖＝，所以＝ǡǡ䁖ǡ䁖䁙是首项为䁖、公比为䁖因为，所以数列的无穷等比数列．䁖故lim䁖䁖．䁖ǡnݔ28.设椭圆䁨的方程为䁖．䁖根据题意知，解得，ǡ䁖nnnݔ故椭圆䁨的方程为n䁖．ݔ由＝，得＝䁖，所以＝＝，得椭圆䁨的方程为䁖．当直线的斜率不存在时，其方程为ݔ＝䁖，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝ݔǡ䁖．ݔǡ䁖由，得䁖ݔǡݔǡ䁖＝．ݔ䁖设ݔ，䁖䁖ݔ，则ǡ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔ䁖，䁖ݔ䁖䁖䁖䁖ݔ䁖因为䁖䁖，所以䁖䁖，即ݔ䁖ǡ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔݔ䁖ݔ䁖䁖ݔ䁖䁖ݔǡ䁖䁖ݔ䁖ݔ䁖ǡǡݔ䁖ݔ䁖ǡ䁖䁖ǡǡ䁖䁖䁖䁖试卷第6页，总8页 ǡ䁖䁖，解得，即．䁖故直线的方程为ݔ或䁖ǡݔǡǡ䁖．29.设动点的坐标为ݔǡݔ则，ݔ为标坐的点，ݔǡ，因为的坐标为䁖，所以ݔǡ䁖，由ǡ，得ݔǡ＝ǡݔǡݔǡ䁖．ݔǡݔ䁖ǡݔǡݔǡݔ即，解得ǡǡǡ代入＝ݔǡ＝为程方迹轨的点动到得，ݔ．设点的坐标为．点关于直线＝ݔ为点称对的ݔ，䁖nǡݔǡ则ݔǡ，解得．ݔ䁖若在䁨上，将的坐标代入＝ݔ，得䁖＝，即＝或ǡ．䁖所以存在满足题意的点，其坐标为和ǡ．30.设，根据题意，ݔ＝ǡ䁖．䁖䁖由narctan，知tann，nnݔݔnǡ而tann＝tan0ǡ0nݔݔn，䁖n䁖所以，解得＝或＝．nn故点的坐标为或．ǡ䁖由题意，点的坐标为ǡ䁖，tan0．ǡ䁖ǡ䁖∴tan＝tan0䁖ǡ0ǡ䁖䁖．䁖䁖䁖因为，所以tan，䁖当且仅当，即＝时等号成立．∵൏൏，＝tanݔ在上为增函数，∴当＝时，最大，其最大值为arctan．31.平移后图象对应的函数解析式为＝ݔ＝得理整，䁖ݔnǡn䁖ݔnǡnݔ，由于函数＝ݔ数函，知题命真设题由，数函奇是ݔnǡnݔ图象对称中心的坐标是䁖ǡ．试卷第7页，总8页 ݔ设ݔ的对称中心为，ǡݔ由题设知函数ݔǡ是奇函数．ݔ设ݔ则，ǡݔ＝ݔǡ，ǡݔݔ即ݔǡ．ǡݔǡݔ由不等式的解集关于原点对称，则ǡǡ＝，得＝．ǡݔǡݔ此时ݔ，ǡݔǡ．ǡݔ任取ݔݔǡ由，ǡݔ＝，得＝䁖，ݔ所以函数ݔ图象对称中心的坐标是䁖．ǡݔ此命题是假命题．举反例说明：函数ݔǡ＝线直于关象图的ݔ＝ݔ成轴对称图象，但是对任意实数和，函数＝ݔ＝即，ǡݔǡ总不是偶函数．修改后的真命题：“函数＝ݔ线直于关象图的ݔ＝成轴对称图象”的充要条件是“函数＝ݔ是偶函数”．试卷第8页，总8页