2015年上海市春季高考数学试卷

2015年上海市春季高考数学试卷一、填空题（每小题3分，满分36分）)1.设全集ᶸmaa，ᶸma，则ᶸ________．m算：2.计算：ᶸ________（其中：为虚数单位）．：3.函数ᶸsinn算的最小正周期是________．4.计算：limᶸ________．算5.以a为圆心，m为半径的圆的标准方程为________．6.已知向量ᶸma，ᶸam，若，则ᶸ________．7.函数ᶸnn算，n晦a的值域为________．晦nᶸa8.若线性方程组的增广矩阵为，解为则算ᶸ________．晦mᶸma9.方程lgn算m算lgnᶸm的解集为________．m10.n算的二项展开式中常数项是________（用数字作答）．n11.用数字m，，，，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．（结果用数值表示）12.已知点ma晦，直线nᶸm，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为m，，若动点满足ᶸm算，则的轨迹方程为________．二、选择题（每小题3分，满分36分）)13.若൏晦൏，则下列不等式恒成立的是（）mmA.B.C.D.൏14.函数ᶸnnm的反函数为()A.ᶸnnmB.ᶸnnmC.ᶸnn晦D.ᶸnn晦n15.不等式晦的解集为（）nmA.aB.aC.ama算D.am16.下列函数中，是奇函数且在晦a算上单调递增的为（）mmmA.ᶸnB.ᶸnC.ᶸnD.ᶸn17.直线nᶸ晦的倾斜角为()试卷第1页，总9页 A.arctanB.arctanC.arctanD.arctan18.底面半径为m，母线长为的圆锥的体积为（）A.B.C.D.19.以a晦和a晦为焦点，长轴长为的椭圆方程为（）nnA.算ᶸmB.算ᶸmmmnnC.算ᶸmD.算ᶸmmm20.在复平面上，满足ݖ数复的）位单数虚为：（：算ݖᶸmݖ对应的点的轨迹为()A.椭圆B.圆C.线段D.直线21.若无穷等差数列，晦൏差公，晦m项首的的前项和为，则（）A.单调递减B.单调递增C.有最大值D.有最小值22.已知晦，晦，若算ᶸ，则()A.算有最小值B.有最小值mmmC.算有最大值D.有最大值算23.组合数算m算aa恒等于()A.B.算mC.D.算m算算算m算m24.设集合ᶸnn算n算m晦，ᶸnn算n算晦，ᶸnn算n算mm晦，ᶸnn算n算晦，其中，，下列说法正确的是（）A.对任意，m是的子集，对任意，m不是的子集B.对任意，m是的子集，存在，使得m是的子集C.存在，m不是的子集，对任意，m不是的子集D.存在，m不是的子集，存在，使得m是的子集三、解答题（共5大题，满分48分）)25.如图，在正四棱柱中ܤܥmܤmmܥm，ܤᶸm，ܥmܤ和平面ܤܥ所成的角的大小为arctan，求该四棱柱的表面积．n算n算26.已知是实数，函数nᶸ是奇函数，求n在晦a算上的最小值及取n到最小值时n的值．试卷第2页，总9页 27.某船在海平面处测得灯塔ܤ在北偏东晦方向，与相距ᦙ晦海里．船由向正北方向航行ᦙm海里达到处，这时灯塔ܤ与船相距多少海里（精确到晦ᦙm海里）？ܤ在船的什么方向（精确到m）？n28.已知点m、依次为双曲线ᶸma晦的左右焦点，mᶸ，ܤm晦a，ܤ晦a．m若ᶸ，以ᶸa为方向向量的直线经过ܤm，求到的距离；若双曲线上存在点，使得ܤmܤᶸ，求实数的取值范围．29.已知函数nᶸnn．m解不等式n൏；数列满足ᶸ，为的前项和，对任意的，不等式m算恒成立，求实数的取值范围．一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分．)30.对于集合，ܤ，“ܤ”是“ܤܤ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件31.对于任意实数，，均成立，则实数的取值范围是（）A.a晦B.a晦C.a晦D.a晦a算32.已知数列满足算ᶸ算，那么必有()算算m算A..B列数差等是m是等差数列C..D列数差等是是等差数列二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．)33.关于n的实系数一元二次方程n算݌n算ᶸ晦的两个虚数根为ݖ，ݖ若，ݖ，ݖ在mm复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为________．34.已知圆心为，半径为m的圆上有三点，ܤ，，若算ܤ算ᶸ晦，则ܤᶸ________．35.函数n与n的图象拼成如图所示的“”字形折线段ܤܥ，不含晦am，ܤmam，晦a晦，mam，ܥ晦am五个点，若n的图象关于原点对称的图形试卷第3页，总9页 即为n的图象，则其中一个函数的解析式可以为_______.三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．)36.对于函数n，n，存在函数n，使得nᶸnn，则称n是n的“n关联函数”．m已知nᶸsinn，nᶸcosn，是否存在定义域为的函数n，使得n是n的“n关联函数”？若存在，写出n的解析式；若不存在，请说明理由；mn已知函数n、n的定义域为ma算，当na算m时，nᶸsinm，若存在函数mn及n，使得n是n的“mn关联函数”，且n是n的“n关联函数”，求方程nᶸ晦的解．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2015年上海市春季高考数学试卷一、填空题（每小题3分，满分36分）1.2.m：3.4.晦ᦙ5.n算ᶸm6.7.a8.9.10.11.12.ᶸnm二、选择题（每小题3分，满分36分）13.D14.A15.D16.B17.A18.D19.B20.D21.C22.A23.A24.B试卷第5页，总9页 三、解答题（共5大题，满分48分）25.解：∵正四棱柱ܤܥmܤmmܥm的侧棱ܥmܥ底面ܤܥ，连结ܤܥ，∴ܥmܤܥ为直线ܤܥm与底面ܤܥ所成的角，ܥmܤ和平面ܤܥ所成的角的大小为arctan，ܥܥm∴tanܥmܤܥᶸ，ܥܥmᶸᶸ，∴正四棱柱ܤܥmܤmmܥm的侧面积ᶸmᶸ，底面积为m算mᶸ．棱柱的表面积为：．n算n算26.解：∵函数nᶸ是奇函数，nnn算n算n算∴ᶸ，nn∴ᶸ晦，∴nᶸn算，n∵n晦，∴nᶸn算nᶸ，nn当且仅当nᶸ时，n在晦a算上的最小值为．27.解：由余弦定理可得ܤᶸ算ᦙmᦙmcos晦晦ᦙ海里，ᦙ由正弦定理可得ᶸm，sinܤ结合图形，可得ܤ，∴ܤ在船的南偏东方向．试卷第6页，总9页 28.解：m由题意可知：ᶸ，a晦，ᶸ算，ᶸ，∴ᶸ，设直线的方程为ᶸn算，ᶸa为方向向量的直线，∴ᶸ，点ܤm晦a在直线上，ᶸ，∴直线方程为n算算ᶸ晦，算晦算m到的距离ᶸᶸ.算由题意可知：ᶸ，设n晦a晦，ᶸ算，得ᶸᶸ，①ܤmᶸn晦a晦算，ܤᶸn晦a晦，ܤܤᶸ，整理得：n算ᶸ，m晦晦则：nᶸ，②晦晦n晦晦由点在双曲线上：∴ᶸm，③晦晦将①②代入③整理得：ᶸm，∴ᶸ，晦晦整理得：mmᶸ，晦∵晦，晦∴mm晦，解得：，∵൏，实数的取值范围a．29.解：mnᶸn൏，即൏n൏，即晦൏n൏，故n൏.ᶸ，时，ᶸm算算ᦙᦙᦙ算ᶸm算晦算m算算ᦙᦙᦙ算mᶸ算mᶸ算mmm算ᶸ算；m∵算，m算∴，试卷第7页，总9页 m算算ᶸᶸᶸᶸ算，算m可得：算mᶸmmᶸmmm算ᶸ，m故当，算m晦，即൏൏൏ᦙᦙᦙ൏，；mm又∵ᶸᶸᶸ，m∴minᶸᶸ，m故．m综上所述：实数的取值范围是，.m一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分．30.C31.B32.D二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．33.34.nam൏n൏晦a35.nᶸma晦൏n൏mᦙ三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．36.解：m假设存在定义域为的函数n，使得n是n的“n关联函数”．即有sinnᶸcosnn，解得nᶸtann，由tann的定义域为nn算a，故不存在定义域为的函数n.试卷第8页，总9页 由题意可得nᶸnmn，nᶸnn，相乘可得，mnnᶸm，即有nᶸ晦，即为nᶸ晦，mnnm即sinmᶸ晦，即sinᶸ，mnm由na算m，可得mam算，nm可得sinsinmam，sinm，ᶸm，nᶸ时取得最大值m，m晦am，仅在ᶸm取得m，mm当时，晦a，n与sin的值域无交集，只有ᶸm，nᶸ有解．试卷第9页，总9页