初中数学新人教版七年级上册第一章《有理数》教案（2024秋）

第一章有理数1.1正数和负数【素养目标】理解具有相反意义的量及正数､负数的意义.会用正数､负数表示具体情境中具有相反意义的量,体会数学知识与生活的密切联系,进一步增强符号意识,培养应用意识.理解0的意义,体会0在解决实际问题中的“基准”作用,初步培养抽象能力.【教学重点】能理解正数､负数的概念,会判断一个数是正数还是负数.会用正数､负数表示具体情境中具有相反意义的量.【教学难点】用正数､负数表示具有相反意义的量时描述向指定方向变化的情况.理解0的意义,体会0在解决实际问题中的“基准”作用.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入]观察下面三幅图,这些自然数､分数以及小学时学过的小数是由生活实际的需要产生的,那么它们能否完全满足我们目前生产､生活的需要呢?思考教材P1引言中的三个问题.在这三个问题中,“零下3摄氏度”“亏损10万元”“减少0.7%”能够用上面的数表示吗?这说明了什么?[教学提示]引导学生通过观察三幅图,体会小学学过的几个数都是基于现实需要产生的,然后引导学生思考三个问题,提出疑问,使学生产生探索欲望.[设计意图]先通过图片形式让学生体会已学过的数的产生具有必然性与局限性,然后通过列举的三个问题为引入新知做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点1具有相反意义的量及正数､负数的认识Ⅰ.具有相反意义的量问题1结合下面图示,对于引言中的问题(1),我们如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”呢?观察图①,零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量.观察图②中的天气预报可以看出,零上3摄氏度用3℃表示,零下3摄氏度用-3℃表示.问题2类似地,对于引言中的问题(2)(3),应如何用数分别表示“盈利50万元”“亏损10万元”以及“增长7.8%”“减少0.7%”呢?如果用“50万元”表示盈利50万元,就可以用“-10万元”表示亏损10万元.如果用“7.8%”表示增长7.8%,就可以用“-0.7%”表示减少0.7%.问题3通过问题1,2,你认为具有相反意义的量有哪些特点?成对出现､属性相同(同类量)､意义相反.Ⅱ.正数､负数的认识问题1通过上面对“具有相反意义的量”的介绍,我们已经知道有-3,-10,-0.7%这样的数,对于这种类型的数,我们该如何进行定义?概念引入:问题2正数前面的“+”号和负数前面的“-”号是否都可以去掉?为什么?正数前面的“+”号可以去掉也可以不去掉,负数前面的“-”号不能去掉.因为正数就是大于0的,加不加“+”号都没有影响;但对负数而言,只有在正数前面加上“-”号才是负数,所以“-”号不能去掉.如果一个问题中出现具有相反意义的量,就可以用正数和负数分别表示它们.我们一起来看下面的例题.例1(教材P3例1)某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重､封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准的质量,那么14 (1)比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示?(2)50g,-27g各表示什么意思?填空分析:(1)前面我们讲到“零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量”,那么本题中的分界点是标准质量2.5kg.(2)题目中比标准质量多××g和比标准质量少××g是具有相反意义的量.解:(1)比标准质量多65g用+65g表示,比标准质量少30g用-30g表示.(2)50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g,-27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g.【对应训练】教材P3练习[教学提示]这里要结合教材引言中的问题进行分析,其中第一个问题与生活实际密切相关,学生通过平时看天气预报已经对此有一定的了解,教师要结合实际情境进行说明.可在最后指出具有相反意义的量的一些特点.“属性相同”,也就是同类量,比如“盈利”与“亏损”是同类量,但“盈利”与“减少”就不是同类量;“意义相反”指变化的方向相反,不要与意义相近混淆(比如增长与增加就不构成具有相反意义的量).另外需注意:具有相反意义的量要求意义相反,但不要求数量相等.如盈利3`000元与亏损400元是具有相反意义的量.[教学提示]这里注意引导学生正确理解正数､负数的概念.注意前面有“-”号的数不一定是负数,比如-(-3)就不是负数,这涉及后面的知识,教师知道即可,如学生有疑问可适当解释,本课时不作要求.[教学提示]例1可让学生回答下什么是“分界点”,什么是具有相反意义的量,便于加深理解.[设计意图]借助生活实例,引导学生理解具有相反意义的量,通过相应出现的数,进一步引入正数､负数的概念,并借此体会正数､负数的意义.[设计意图]探究点20的意义正数和负数在实践中有着广泛的应用.如图,在表示某地的高度时,通常以海平面为基准,用0m表示海平面的海拔.用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔,如图中用正数､负数分别表示世界最高峰的海拔和我国陆地最低处的海拔.问题1结合上面这个实际应用和上面所学知识,你认为0还只仅仅表示“没有”吗?0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度,海拔0m是一个确定的海拔.0已不只是表示“没有”.问题2(教材P4思考)如图①是地理中的分层设色地形图,图②是手机中的部分收支款账单,其中的正数和负数的意义分别是什么?你能再举一些用正数､负数表示具有相反意义的量的例子吗?图①中的正数表示A地高于海平面4600m,负数表示B地低于海平面100m.图②中的正数表示收入15元,负数分别表示支出10元､支出30元.其他例子:比如叶宇同学向南走20m记为+20m,那么他向北走30m可记为-30m.例2(教材P4例2)(1)一个月内,李明体重增加1.2kg,张华体重减少0.5kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值.(2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下:A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减少3%.写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.填空分析:第(1)小题要求写出“增长值”,所以,用正数表示体重增加量,用负数表示体重减少量.这样,直接翻译“体重减少1kg”就是体重增长-1kg.第(2)小题可以此类推.解:(1)这个月李明体重增长1.2kg,张华体重增长-0.5kg,刘伟体重增长0kg.(2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%.追问增长-2%是什么意思?什么情况下增长率是0?14 增长-2%就是减少2%.第二季度的手机销售量与第一季度相同时,增长率是0.【对应训练】教材P5练习.[教学提示]教师提醒学生注意,生活中有些具有相反意义的量没有明确的分界,一般把某一个量规定为“0”,即基准,习惯上,超过基准的部分用正数表示,低于基准的部分用负数表示.[教学提示]这个问题2继续说明0作为正数､负数的“分界”,在解决实际问题中的“基准”作用.注意例子中地形图上的海拔一般不标单位,实际采用米作单位W.手机收付款的收支平衡可以用0表示.[教学提示]用正数､负数表示具有相反意义的量时,难点是描述向指定方向变化的情况,即:向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示.这与学生的日常经验有一定的矛盾,需要一个“心理转换”:把“体重减少0.5kg”,转换为“体重增加-0.5kg”,需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解.实际上,只要问题中包含具有相反意义的量,就可以用正数和负数分别表示,而哪个量用负数表示,可以视实际需要而定,教学时要注意引导.在用正数､负数表示具有相反意义的量的基础上,以海拔说明0的“基准”作用,丰富0的意义.活动三:知识升华,巩固提升例3(教材P5习题1.1第6题)某班七组同学分别测量同一座楼的高度,测得的数据(单位:m)分别是:79.4,80.6,80.8,79.1,80,79.6,80.5.这些数据的平均值是多少?以平均值为标准,用正数表示超出的部分,用负数表示不足的部分,它们对应的数分别是什么?解:平均值是(79.4+80.6+80.8+79.1+80+79.6+80.5)÷7=560÷7=80.即这些数据的平均值是80m.它们对应的数分别是-0.6m,0.6m,0.8m,-0.9m,0m,-0.4m,0.5m.【对应训练】1.体育锻炼标准规定:13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标,超过标准的个数用正数表示,不足标准的个数用负数表示.八位同学的成绩分别记录为:+3,-1,+1,0,-2,+2,+4,-3.这八位同学中达标的有(B)A.4人B.5人C.6人D.8人2.某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动.李龙制作了一盒精美点心(共计6枚),现在他把6枚点心称重(单位:g)后统计列表如下:第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚68.4g71.3g70.7g68.6g69.1g72g为了简化运算,李龙依据比赛的标准质量,把超出部分记为正,不足部分记为负,列出下表(数据不完整),请你把表格补充完整:第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚-1.6g+1.3g+0.7g-1.4g-0.9g+2g解:补充表格如上所示.[教学提示]对于例题中求平均值,小学时已经学过,只要将各个数据相加求和再除以7即可,这个可由学生自主完成.难点主要在于以平均值为标准,用负数表示不足的部分.这里没学有理数的加减运算,可让学生用较大数减去较小数,然后根据具有相反意义的量的知识来表示.[设计意图]安排此例题和对应训练是想让学生体会以平均值为标准,用正数表示超出的部分,用负数表示不足的部分的方法.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是正数,什么是负数,0是什么数?2.怎么表示具有相反意义的量?3.0的意义是什么?【作业布置】1.教材P5习题1.1第1,2,3,4,5题.14 【教学后记】1.2有理数及其大小比较1.2.1有理数的概念【素养目标】1.理解有理数的意义和概念,能够把给出的有理数分类,了解0在有理数分类中的作用.2.通过对有理数分类的教学活动,让学生了解分类的思想方法的作用.【教学重点】掌握有理数的概念及分类.【教学难点】能将所给数进行正确的分类.【教学过程】活动一:问题导入,引出新课【问题引入】问题请观察下列一组数:1,5.7,457,-76,-10,0,13,-312,-15.2.你能模仿小学学过的数的分类方法对上面的数进行分类吗?请简单说明你分类的理由.学习完今天这节课后,你就能轻松解决上面的问题了![教学提示]教师应给学生充足的时间思考,然后与同伴交流答案,并鼓励学生踊跃发言,表达自我.[设计意图]通过唤醒旧知识,为进一步学习新知识做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点有理数的概念及分类问题1想一想,我们已经学过的数有哪些?问题20.1,5.32,0.3,-0.5,-150.5等数为什么被列为分数?因为这里的小数可以化为分数,所以我们也把它们看成分数.0.1=110,5.32=13325,0.3=310,-0.5=-12,-150.5=-3012.问题3比较13和0.3(·)的大小,你有什么发现?13和0.3(·)相等.发现无限循环小数也可以化为分数,因此无限循环小数也可以看成分数.问题4整数也能写成分数的形式吗?请举例说明.正整数可以写成正分数的形式,例如2=21;负整数可以写成负分数的形式,例如-3=-31;0也可以写成分数的形式01.这样,整数可以写成分数的形式.概念引入:即有理数正有理数0负有理数这样,引入负数后,我们对数的认识就扩大到了有理数范围.问题5有没有一些数不是有理数呢?有限小数和无限循环小数都是分数,所以也是有理数.无限不循环小数(如π)不是分数,就不是有理数.例(教材P7例1)指出下列各数中的正有理数､负有理数,并分别指出其中的正整数､负整数:13,4.3,-38,8.5%,-30,-12%,19,-7.5,20,-60,1.2(·).解:正有理数:13,4.3,8.5%,19,20,1.2·;其中正整数有13,20.负有理数:-38,-30,-12%,-7.5,-60;其中负整数有-30,-60.【对应训练】教材P8练习.[教学提示]教师需让全体学生都参与到活动中来,并通过引导让学生归纳,并将新旧知识融合.[教学提示]14 教学时,教师可引导学生回顾无限循环小数的相关知识,借助简单实例让学生认识到无限循环小数可转化为分数,具体方法会在后面的课时中学到,学生了解即可,本课时不做要求.[教学提示]学习了有理数的概念后,教师可适当总结,说明从小学开始,在我们不断认识新数的过程中,数的范围也不断扩大,让学生体会数系扩充的原则.[设计意图]通过简单的问题引入,促使学生回忆所学知识,启发学生获取新知识,同时在解答问题的过程中让学生体会､感悟有理数的相关概念.活动三:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是有理数?2.如何对有理数进行分类?【作业布置】1.教材P16习题1.2第1题.【教学后记】1.2.2数轴【素养目标】1.了解数轴的概念及其三个要素,会画数轴.2.能用数轴上的点表示有理数,并能说出数轴上的已知点所表示的数,初步感受数形结合的思想方法.【教学重点】数轴的概念,在数轴上表示数.【教学难点】正确地画出数轴,理解有理数和数轴上的点的对应关系.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课【情境引入】在小学,我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数,并借助这种图形来直观理解和分析问题.让我们来看看下面这个问题:在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3m和7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,你能画图表示这一情境吗?[教学提示]让学生结合所给的条件分组讨论,动手画图.(教师可以进行适当的提示)[设计意图]从实际情境入手,激发学生兴趣,借助画图初步感知数轴.活动二:实践探究,获取新知探究点1数轴的相关概念和画法问题1(1)活动一中的马路可以用什么几何图形代表?(直线)(2)你认为汽车站牌起什么作用?(基准点)(3)你是怎么确定问题中各物体的位置的?(方向,与汽车站牌的距离)(4)到汽车站牌的方向与距离可以抽象成什么?(点的相对位置)学生回答后,按教材P8最后一段所示方法可画出下面的图示.问题2(教材P9上面的“思考”)怎样用数简明地表示柳树､交通标志杆､槐树､电线杆与汽车站牌的相对位置关系?(从方向､距离两方面回答)上面的问题中,“东”与“西”､“左”与“右”都具有相反意义14 .所以我们可以考虑用正数和负数表示具有相反意义的量,即用正数表示柳树和交通标志杆在汽车站牌的东边,用负数表示槐树､电线杆在汽车站牌的西边.教师总结:在一条直线上任取一点O为基准点,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长,再用0表示点O､用负数表示点O左边的点,用正数表示点O右边的点.这样,我们就用负数､0､正数表示出了这条直线上的点.如图①:用上述方法,我们就可以把柳树､交通标志杆､槐树､电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.问题3(教材P9下面的“思考”)图②中的温度计可以看作表示正数､0和负数的直线.它和图①有什么共同点?共同点:都规定了单位长度､原点位置,都是用一条直线上的点表示正数､0､负数.一般地,在数学中人们用画图的方式把数“直观化”,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件:概念引入:像这样,规定了原点､正方向和单位长度的直线叫作数轴.问题4(1)你认为画数轴的步骤是什么?①画(直线);②取(原点);③定(正方向);④标(单位长度).(2)“原点”起什么作用?“原点”是数轴的基准点,表示0,是为了在数轴上区分正数和负数.原点将数轴(原点除外)分成两部分,其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴;另一侧的部分叫作数轴的负半轴.(3)怎么理解“选取适当长度”?与问题的需要相关,表示较大的数,单位长度取小一些.【对应训练】下图中所画的数轴哪个是正确的?ABCD解:A.没有正方向,故错误;B.没有原点,故错误;C.单位长度不统一,故错误;D.正确.[教学提示]这里用直线､点､方向､距离等几何符号表示实际问题,这是实际问题的第一次抽象,因此设计了四个关键问题,需要教师引导学生逐一回答.这些是抽象过程中的关键点,教师应关注学生是否掌握.[教学提示]这里问题2在问题1的基础上,进一步抽象,为总结数轴的概念提供直观基础.注意这里可让学生明白:在表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系时,由于站牌起“基准点”作用,站牌“左”“右”具有相反意义,是不同方向,所以既要考虑距离,又要考虑方向,这样可用正数､负数描述.[教学提示]教师提醒学生注意:数轴的三个要素缺一不可.这三个要素都是规定的,也就是说,可以根据情况,灵活选定原点的位置､正方向的朝向､单位长度的大小(但要注意,一经选定,就不能再随意改变了).另外为了读､画方便,通常把直线画成水平或竖直的.[教学提示]教师提醒:根据实际情况需要,画数轴时,1小格并不一定要表示1,如:在画数轴时常出现以下错误:(1)没有正方向;(2)没有原点;(3)单位长度不统一;(4)负半轴上所标的负数的顺序不对.[设计意图]14 数轴是一个重要的概念,后续的平面直角坐标系也是以它为基础的.这是学生第一次学习数形结合思想,先借助生活情境让学生画图描述位置,逐步过渡到“用数表示直线上的点”,然后再让学生把这一例子与温度计作比较,概括它们的共同点,从而引入数轴的概念,并具体讲述数轴的画法.[设计意图]探究点2数轴上的点与有理数的对应关系分数或小数也可以用数轴上的点表示吗?任意一个有理数,都可以在数轴上找到一个点来表示吗?请结合下面的问题进行探究.(1)你能在图中的数轴上表示出-32和6.5吗?(2)你能说出图中点A,B,C分别表示什么数吗?(1)如图,在数轴的正半轴上,距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5;在数轴的负半轴上,距离原点32个单位长度的点表示数-32.(2)由图可知,数轴上点A表示的数为-3.5,点B表示的数为1,点C表示的数为4.5.有理数都可以用数轴上的点表示.归纳:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点,简称为数轴上与原点的距离是a的点.用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用,以它作基础,可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题.例1(教材P10例2)画出数轴,并在数轴上表示下列各数:3,-4,4,0.5,0,-52,-1.解:如图所示.【对应训练】教材P11练习第1,2,4题.[教学提示]教师可补充说明:任意一个有理数,都可以在数轴上找到一个点来表示;但数轴上的一个点,却并不一定能用一个有理数来表示.这里不必对此作深入追究,只要求学生知道“所有的有理数,都可以用数轴上的点表示”就可以了.以后学了实数,自然就可以把这个问题说清楚了.[教学提示]“归纳”栏目是一个小结,教学时应让学生在回顾本小节内容的基础上,自己给出回答.通过具体例子讲述数轴上的点与有理数的对应关系,并总结用数轴上的点表示数的方法,明确数轴的方向与数的正负的对应性.活动三:典例精析,升华提高例2(教材P11练习第3题)在数轴上,表示-2与4的点之间(包括这两个点)有7个点表示的数是整数,它们表示的数分别是-2,-1,0,1,2,3,4,其中负整数有2个.解析:先画出数轴,并找到数轴上表示-2和4的点,如图:由图可知,这两个点之间(包括这两个点)表示整数的点有7个,它们表示的数分别是-2,-1,0,1,2,3,4,其中负整数有-2,-1.【对应训练】点A,B在数轴上分别表示6.5,-2.7,点A,B之间(含A,B两点)有9个点表示的数是整数.[教学提示]教师提示学生解此类题需先画出数轴,再根据题意数点,特别要注意是否含边界点.[设计意图]借助数轴辅助观察,培养学生几何直观,进一步渗透数形结合思想.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是数轴?2.如何画数轴?数轴的三要素是什么?什么是数轴的正半轴和负半轴?3.有理数和数轴有什么关系?4.数轴有哪些应用?【作业布置】14 1.教材P17习题1.2第2,6题.【教学后记】1.2.3相反数【素养目标】1.借助数轴理解相反数的意义,掌握相反数的概念及求有理数的相反数的方法,进一步体会数形结合思想.2.理解相反数的性质,会进行多重符号的化简,感受数学知识的严谨性.【教学重点】1.理解相反数的概念.2.求一个数的相反数.【教学难点】根据相反数的意义进行多重符号的化简.【教学过程】活动一:问题导入,引出新课【问题导入】让甲､乙两名学生在讲台前背靠背站好(分左右),然后乙向右走3步,甲向左走3步(两人的步子大小相同).规定两个同学最开始站立的点为原点,向右为正,用上一节课学习的数轴将甲､乙两人所走的步数表示出来(如图所示).从数轴上观察,这两个数具有什么特点?带着这个问题,我们一起进入本课时的学习![教学提示]教学时可让学生上台示范下,进而引导学生观察数轴上相反意义的数对,观察每组数所对应的两个点的位置关系,引发对相反数的思考.[设计意图]提出问题,为引出相反数的概念做铺垫.活动二:实践探究,获取新知探究点1相反数的概念问题1(教材P11探究)结合活动一的内容,想一想:在数轴上,与原点的距离是3的点有几个?这些点分别表示什么数?这些数之间有什么关系?与原点的距离是12的点呢?如图,均有两个,这些点表示的数分别是3,-3;12,-12.两组数之间的关系分别如下:问题2设a是一个正数,数轴上与原点的距离等于a的点有几个?这些点表示的数之间有什么关系?如图,也有两个,表示a,-a,这两个数也只有符号不同.归纳:一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在正､负半轴上,表示a和-a(如上图),这两个数只有符号不同.概念引入:【对应训练】教材P12练习第1题.[教学提示](1)引导学生多举几个具体数字,充分感受“互为相反数”的两个数之间的关系以及它们在数轴上的位置关系.(2)要确定一个有理数(还有以后要学的实数),一是符号,二是绝对值.3和-3,符号不同,绝对值相同.当然,绝对值的相关内容下一节才介绍,所以这里说“只有符号不同”,避开了绝对值.(3)提醒学生:①相反数一定成对出现,不能单独存在.②只有符号不同说明其他都完全相同.③“0的相反数是0”也是概念的组成部分,0是唯一一个相反数等于它本身的数.(4)此外,这里可结合数轴向学生介绍相反数的几何意义:互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外),且到原点的距离相等.[设计意图]14 问题引入,借助数轴这个“工具”,采取从具体到抽象的方法,引导学生观察数轴上与原点的距离相等的点,发现这样的点有两个,而且这两个点表示的数只有符号不同,通过归纳引导学生得出“与原点的距离是a的点”的个数及其表示的数之间的关系,由此引出相反数的概念.[设计意图]探究点2相反数的性质及双重符号的化简问题1结合探究点1中的相关知识,若设a表示一个数,则a的相反数如何表示?你能在数轴上把a和a的相反数表示出来吗?a的相反数是-a.追问从上面的表示可以看出,a可以是什么数?a表示任意一个数,可以是正数､负数或0.问题2设a表示一个数,-a一定是负数吗?不一定.比如当a是负数或0时,-a相应地就是正数或0.(如a是-1,-a就是1)通过以上探究,我们还可以知道相反数有一些这样的性质:一般地,a和-a互为相反数.这里,a表示任意一个数,可以是正数､负数,也可以是0.正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.问题3想一想,如何求一个数的相反数?在正数前面添上“-”号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数.问题4(1)根据上面的求法试一试:(2)你能借助数轴说明-(-5)=+5吗?-(-5)表示-5的相反数,如图,-5的相反数是+5.例1(教材P12例3)(1)分别写出-7和43的相反数;(2)a的相反数是2.4,写出a的值.解:(1)-7的相反数是7,43的相反数是-A43.(2)因为2.4与-2.4互为相反数,所以a的值是-2.4.例2化简下列各数:(1)-(+2025);(2)-(-14);(3)-(+125);(4)-(-2.7).解:(1)-(+2025)=-2025;(2)-(-14)=14;(3)-(+125)=-125;(4)-(-2.7)=2.7.方法总结:化简双重符号时,只需看数字前面的正负号,若符号相同则结果为正;若符号不同,则结果为负.(同号得正,异号得负)【对应训练】教材P12练习第2,3,4题.[教学提示]教师要特别注意,教学时应让学生通过对a赋值,熟悉正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,进而说明,由于a既可以是正数,也可以是负数,因此-a不一定是负数.这是培养学生抽象思维的机会.由相反数的概念引出相反数的性质和求相反数的方法,从而得出多重符号的化简方法,巩固所学知识,提高学生全面分析问题的能力.活动三:典例精讲,巩固提升例3如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示-2的相反数的点是哪个?分析:此题是数轴与相反数的综合题,需要先确定数轴上表示-2的点在哪,再在图上找到表示其相反数(即2)的点即可.解:点D.【对应训练】如图,数轴上表示数3的相反数的点是点M.[教学提示]教师点拨:在数轴上找相反数的点,可以先求其相反数,再在数轴上找到相应的点,也可以直接在图上根据“互为相反数的点到原点的距离相等”找点.[设计意图]对于数轴和相反数结合的常考题进行补充.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么样的数互为相反数?如何表示?14 2.0的相反数是什么?3.如何进行双重符号的化简?【作业布置】1.教材P17习题1.2第3,8,9题.【教学后记】1.2.4绝对值【素养目标】1.借助数轴,通过数､形两个方面理解绝对值的意义,体会数形结合的思想方法.2.掌握求一个数的绝对值的方法.知道一个数的绝对值,会求这个数.3.通过应用绝对值解决实际问题,培养学生的应用意识.【教学重点】1.绝对值的几何意义.2.求一个数的绝对值.【教学难点】绝对值的几何意义.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课【情境引入】两辆汽车从同一处O出发,分别向东､西方向行驶10km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相等吗?我们发现这两辆车行驶路线不同,但行驶路程相等.刻画汽车的运动状态,不仅要考虑距离,还要考虑方向,这与生活经验一致.确认行驶路程的远近只需要看路程,不必考虑方向.路程的抽象就是距离.这就与我们今天要研究的绝对值有着共同之处,就让我们一起进入今天这节课的学习吧![教学提示]先给一定的时间让学生自主思考,然后教师引导学生分析相反数在数轴上的表示,为进一步学习积累数学活动经验.[设计意图]通过创设情境,调动学生的学习兴趣,为引入绝对值的概念做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点绝对值问题1我们知道,互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么?以上图为例:我们可以看到10和-10互为相反数,在数轴上分别利用点A,B表示这两个数,可以发现,点A,B与原点的距离都是10.即这两个数的相同部分在数轴上表示对应的点到原点的距离.概念引入:问题2以10,-10,0的绝对值为例,结合下面的数轴说一说你是如何理解绝对值的?问题3通过上面的举例,大家思考一下:一个数的绝对值与这个数有什么关系?不妨多取几个数试一试,看看能不能发现规律.教师可以让学生与同桌之间互相交流举例和结果,然后师生共同归纳:归纳:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即(1)如果a>0,那么|a|=a;(2)如果a=0,那么|a|=0;(3)如果a<0,那么|a|=-a.问题4根据问题2,我们还能发现什么?问题514 结合下面数轴实例,说一说:在数轴上,表示一个数的点离原点越近,这个数的绝对值是越大还是越小?表示这个数的点离原点越远呢?观察上图:|-2|=2,|3|=3,表示数-2的点离原点更近,表示数3的点离原点较远,2<3,因此我们发现:数轴上的点离原点越近,它所表示的数的绝对值越小;数轴上的点离原点越远,它所表示的数的绝对值越大.教师补充:反过来也是成立的,即一个数的绝对值越小,数轴上表示它的点离原点越近;一个数的绝对值越大,数轴上表示它的点离原点越远.例1(教材P13例4)(1)写出1,-0.5,-A74的绝对值;(2)如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,这四个数中,绝对值最小的是哪个数?解:(1)|1|=1,|-0.5|=0.5,|-74|=74;(2)因为在点A,B,C,D中,点C离原点最近,所以在有理数a,b,c,d中,c的绝对值最小.【对应训练】教材P14练习第1,2,3题.[教学提示]绝对值概念是教学难点,教学时要加强练习.还要注意联系已有知识,引导学生在绝对值学习中复习巩固前面的内容.如利用绝对值说明正数､负数的意义.以-4为例,这里的“-”号表示这是一个负数,“4”就表示这个数的绝对值;从数轴上看,这里的“-”号表明它在原点的左边,“4”表明它离原点的距离是4个单位长度.又如,互为相反数的两个数(0除外)符号相反,绝对值相等.[教学提示]这里使用了分类讨论思想,探究了正数､负数和0与其绝对值之间的关系,这个性质在后面的练习中经常会用到,其中分类讨论思想对今后学习有重要意义,当然在这里只要提醒学生注意就可以了,不要提出过高要求.[教学提示]在实际操作时,求一个具体的数的绝对值,直接去掉这个数的符号部分,剩下的数字部分就是这个数的绝对值.[设计意图]通过数轴上表示互为相反数的点说明绝对值的意义,借助数轴引出绝对值,并由此得出一个正数､负数和0的绝对值分别是什么的结论,同时渗透数形结合思想.活动三:典例讲解,巩固提升例2化简下列各数:+|-35|,-|+113|,-|-1.5|,|-(-2)|,|+(-8)|,|-(+12)|.分析:绝对值部分直接按照活动二例1右侧教学建议的方法求出,再结合绝对值外的符号进一步化简得出结果.解:+|-A35|=A35;-|+113|=-113;-|-1.5|=-1.5;|-(-2)|=|2|=2;|+(-8)|=|-8|=8;|-(+12)|=|-12|=12.【对应训练】教材P14练习第4题.[教学提示]教师引导学生根据一个数的绝对值与这个数的关系作答.另外,教师提醒学生注意区分绝对值符号与括号的不同含义.[设计意图]通过例题让学生了解如何化简绝对值.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是绝对值?2.绝对值的性质有哪些?【作业布置】1.教材P17习题1.2第4题.【教学后记】1.2.5有理数的大小比较【素养目标】理解并能运用数轴比较有理数的大小.14 能运用有理数大小的比较法则比较有理数的大小.在用数轴比较有理数大小的过程中,体会数形结合的思想方法.【教学重点】运用法则､借助数轴比较两个有理数的大小.【教学难点】利用绝对值比较两个负数的大小.【教学过程】活动一:回顾旧知,导入新课【回顾引入】在小学里,我们已学会比较两个正数的大小,以及比较正数和0的大小的方法,请你试一试,完成下面练习!比较大小:0<1,1<2,2<3.大家思考一下,引进负数以后,怎样比较任意两个有理数的大小呢?让我们一起进入今天这节课的学习![教学提示]教师可请同学口述答案.[设计意图]通过唤醒旧知识,为引出新课做铺垫.活动二:实践探究,获取新知探究点1利用数轴比较有理数的大小【情境引入】如图,给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温.问题1观察图示,这七天中,其中最低气温是多少?最高气温又是多少?这七天中,最低气温是-4℃,最高气温是9℃.问题2请你把这七天中每天的最低气温填在下面的表格中,你能将它们按从低到高的顺序排列吗?试一试.每天的最低气温按从低到高的顺序排列如下:-4,-3,-2,-1,0,1,2.问题3按照这个顺序排列的温度,在竖直放置的温度计上所对应的点有什么特点?依次把这些数表示在水平的数轴上.表示它们的各点的顺序又是怎样的?温度计上所对应的点是从下到上的.依次把这些数表示在水平的数轴上时,如图,表示它们的各点的顺序是从左到右的.归纳:用数轴比较有理数大小的方法:在水平的数轴上表示有理数,数学中规定:它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.试一试:根据这个规定,请你填一填.-6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1.例1在数轴上表示下列各数,并将这些数按从小到大的顺序排列,再用“<”连接起来:5,0,-4,-1解:5,0,-4,-1在数轴上表示如图所示.将它们按从小到大的顺序排列为-4<-1<0<5.用数轴比较有理数大小的步骤:(1)画出数轴,把要比较的数在数轴上表示出来;(2)根据这些数在数轴上的位置,按自左向右或自右向左的顺序排列;(3)用“<”或“>”将这些数连接起来.【对应训练】在数轴上表示下列各数,并将这些数按从大到小的顺序排列,再用“>”连接起来:3,0,-2.5,-2解:3,0,-2.5,-2在数轴上表示如图所示.将它们按从大到小的顺序排列为3>0>-2>-2.5.[教学提示]先让学生观察一星期天气预报,并把这7天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列出来.这是一个常识问题,学生可以完成.在此基础上,把这些数表示在数轴上,可以看到,表示它们的各点是从左到右的,这就为利用数轴比较有理数大小的规定奠定了直观基础.教学时,可以让学生再举一些例子,以建立更好的直观基础.14 [设计意图]从气温高低比较引入用数轴比较有理数大小的规定,渗透数形结合思想,并由这个规定得出比较有理数大小的一些结论,用例题强化学生对数轴法比较有理数大小的理解和运用.[设计意图]探究点2利用法则比较有理数的大小问题1结合探究点1中数轴上数的特点,你认为对于正数､0､负数这三类数,它们之间有什么大小关系?前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗?它们之间的大小关系是正数大于0,0大于负数,正数大于负数.是一致的.问题2(1)如图,数轴上表示出了两个负数:-5与-3.它们的大小关系是怎样的?从数轴上看,-5<-3.(2)再试一试比较这两个数的绝对值.|-5|>|-3|.(3)结合(1)(2)得到的结果,这说明了什么?两个负数,绝对值大的反而小.归纳:有理数大小比较的一般法则:一般地,(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.例2(教材P15例5)比较下列各组数的大小:(1)5和-2;(2)-3和-7;-(-1)和-(+2);-(-0.5)和|-1.5|解:(1)因为正数大于负数,所以5>-2.(2)先求绝对值,|-3|=3,|-7|=7.因为3<7,即|-3|<|-7|,所以-3>-7.(3)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2.因为正数大于负数,所以1>-2,即-(-1)>-(+2).(4)先化简,-(-0.5)=0.5,|-1.5|=1.5.因为0.5<1.5,所以-(-0.5)<|-1.5|.归纳:从上面的比较,我们可以看出:(1)不同符号的数比较大小,只看符号;(2)相同符号的数比较大小,看符号的同时,还要判断绝对值的大小.同是正数的时候绝对值越大相应的数就越大,同是负数的时候绝对值越大相应的数反而越小.【对应训练】教材P16练习.[教学提示]学习有理数的大小比较的关键是会比较两个负数的大小.这里在一些具体例子的基础上,通过“问题1,2”引导学生概括,得出比较有理数大小的一些结论.教学时要让学生结合数轴理解这些结论,而不是死记硬背.例如,两个负数在数轴上,绝对值大的在左边,这就容易记住绝对值大的负数反而小的结论.[教学提示]教师可拓展一下,如果是两个负分数比较大小,那么既要用到新学的两个负数比较大小的结论,又要联系两个正分数比较大小的方法.要让学生清楚地了解根据有关结论进行比较的过程:(1)先求出两个负分数的绝对值(如果是异分母分数,还要通分,化成同分母分数);(2)比较两个绝对值的大小;(3)根据有关结论判断原来两个负分数的大小.由观察数轴比较两个负数的大小归纳出有理数大小比较的一般法则,用例题和对应训练巩固此法则的应用.活动三:典例精析,巩固提升例3有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,将a,b,c按从小到大的顺序排列.分析:数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大,据此可得答案.解:a,b,c按从小到大的顺序排列为c<b<a.【对应训练】已知有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a,b,-a,-b按从大到小的顺序排列为14 b>-a>a>-b.(用“>”连接)解析:在数轴上表示-a,-b如图所示:所以b>-a>a>-b.[教学提示]教师总结解此类题的方法:根据数轴观察,由数轴右边的数总比左边的数大进行比较.[设计意图]补充借助数轴比较字母类有理数的大小的内容,强化学生对数形结合思想的认识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.如何利用数轴比较有理数的大小?2.有理数大小比较的一般法则是什么?【作业布置】1.教材P17习题1.2第5,7题.【教学后记】14