初中数学新人教版七年级上册第二章《有理数的运算》教案（2024秋）

第二章有理数的运算2.1有理数的加法与减法2.1.1有理数的加法第1课时：有理数的加法【素养目标】结合数轴理解有理数加法的意义,初步掌握有理数加法法则,并能准确地进行有理数的简单加法运算,提高抽象能力与运算能力.能运用有理数加法法则解决简单问题,增强应用意识.体会用归纳､类比的思想方法探索有理数加法法则.【教学重点】了解有理数加法的意义,会根据有理数加法法则进行有理数的简单加法运算.【教学难点】掌握有理数的加法中异号两数的加法运算.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入](教材P24引言)李明同学经常对家里的生活垃圾分类,并卖出积攒的可回收物.这样既保护了环境,又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况.这里,“结余12.0”和“结余-3.2”是怎么得到的?分别计算18.5+(-6.5),12.0+(-15.2).我们发现里面有负数,这节课我们就来学习有理数的加法.[教学提示]先让学生思考,可以和小组成员适当地交流讨论,指定学生代表到黑板上列出算式,其余学生可在练习本上写出.完成后教师引导学生观察列出算式的特征,学生列出减法算式也给予肯定,进而引入新课.[设计意图]在实际情境中,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速地进入学习状态,同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.活动二:合作交流,探究新知探究点有理数加法法则小学学过的加法运算涉及正数与正数相加､正数与0相加以及0与0相加.引入负数后,在有理数范围内,加法有哪几种情况?教师总结:共三种类型,(1)同号两个数相加;(2)异号两个数相加;(3)一个数与0相加.接下来我们来学习这三种类型的加法.首先看下面的问题:一个物体沿着一条直线做左右方向的运动,我们规定向右为正,向左为负.例如,将向右运动5m记作5m,向左运动5m记作-5m.1.同号两数相加(1)如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向右运动3m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?两次运动后,物体从起点向右运动了8m.写成算式就是5+3=8.①若将物体的运动起点放在原点O,则这个算式可以用数轴表示如下:(2)如果物体沿着一条直线先向左运动5m,再向左运动3m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?两次运动后,物体从起点向左运动了8m.写成算式就是(-5)+(-3)=-8.②这个算式也可以用数轴表示如下,其中假设原点O为物体的运动起点.①说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的?②观察算式①②两边数的符号和绝对值,你能总结出同号两数相加的法则吗?符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.试一试:确定下表中算式的结果符号.30 2.异号两数相加(1)如果物体沿着一条直线先向左运动3m,再向右运动5m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?两次运动后,物体从起点向右运动了2m.写成算式就是(-3)+5=2.③(2)如果物体沿着一条直线先向右运动3m,再向左运动5m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?两次运动后,物体从起点向左运动了2m.写成算式就是3+(-5)=-2.④(3)①你能用数轴表示算式③④吗?(-3)+5=2.③3+(-5)=-2.④②说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的?③观察算式③④两边数的符号和绝对值,你能总结出绝对值不相等的异号两数相加的法则吗?绝对值不相等､符号相反的两个数相加,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.试一试:确定下表中算式的结果符号.(4)如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向左运动5m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?用数轴又如何表示?结合相反数的概念你能得出什么结论?两次运动后,物体仍在起点处.写成算式就是5+(-5)=0.⑤用数轴表示如下:结论:互为相反数的两个数相加,结果为0.3.一个数与0相加(1)如果物体第1s向右运动5m,第2s原地不动,那么2s后运动的最后结果是什么?如何用算式表示?2s后,物体从起点向右运动了5m.写成算式就是5+0=5.⑥(2)如果物体第1s向左运动5m,第2s原地不动,那么2s后运动的最后结果是什么?如何用算式表示?2s后,物体从起点向左运动了5m.写成算式就是(-5)+0=-5.⑦(3)类似地,根据算式⑥⑦能得到什么结论?一个数与0相加,结果仍是这个数.思考从算式①~⑦可知,在有理数的加法运算中,既要考虑符号,又要考虑绝对值.你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗?归纳总结:显然,两个有理数相加,和是一个有理数.例1(教材P27例1)计算:(-3)+(-9);(2)(-8)+0;(3)12+(-8);(4)(-4.7)+3.9;(5)(-12)+(+12).分析提问:以(1)(3)为例,说一说每一步的理由.解:(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12;(2)(-8)+0=-8;(3)12+(-8)=+(12-8)=4;(4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8;(5)(-12)+(+12)=0.教师总结:在运算过程中,“先定和的符号,再算和的绝对值”,是一种有效的方法.30 思考:任何一个数加上一个正数,和与原来的数有怎样的大小关系?加上一个负数呢?请你先借助数轴直观地得出结论,再利用有理数的加法法则进行说明【对应训练】教材P28练习第2,3题.[教学提示]给学生充分的时间交流讨论这个问题,列举出所有可能的情况,教师引导并总结出三种类型.[教学提示]教师在一条直线上的两次运动的实例中要说明以下几点:(1)原点O是第一次运动的起点;(2)第二次运动的起点是第一次运动的终点;(3)由第二次运动的终点与原点的相对位置得出两次运动的结果;(4)如果用正数表示向右运动,用负数表示向左运动,就可以用算式描述相应的运动问题.教学时强调关键词“两次运动”“从起点向右”等,总结结论时提醒学生紧紧围绕“符号”“绝对值”两个因素进行思考,看结果的符号､绝对值与相加的两个数的符号､绝对值的关系.[教学提示]异号两数相加的情况是本节内容的难点之一,但让学生模仿前面的做法,可以独立完成.有困难的话可以提醒学生先画数轴表示,然后把数轴表示的过程翻译成算式表示,就可以得到结果,注意检查学生数轴上的表示与算式的对应性.[教学提示]告诉学生距离相同､方向相反的两次运动可以看成是一种特例,并由此提醒学生:异号两数相加的结果可能是正数,也可能是负数,还可能是0.[教学提示]告诉学生“原地不动”转化到算式中就是“+0”的意思.[教学提示]可以先让学生回顾每种情况的结果,总结得出结论的方法,即:看和的符号､绝对值与两个加数的符号､绝对值的关系,得出相应的结论.在此基础上,教师引导学生总结出完整的加法法则.[教学提示]指定学生代表上台解答例1,并说一说每一步的理由,其他同学在纸上作答.[教学提示]先让学生交流讨论,再指定学生代表回答,教师酌情引导,总结出结论.[教学提示]对应训练的第2题可让全班学生一起口答,第3题指定学生代表上台作答.[设计意图]从小学学过的加法运算出发,提出引入负数后的加法问题,再通过实例明确有理数加法的意义,引入有理数加法法则.[设计意图]让学生经历探索有理数加法法则的全过程,在交流中学习､掌握新知识,提高学生分类和归纳概括的能力.[设计意图]在计算中应用刚习得的加法法则,学以致用,巩固新知,提高学生的运算能力.活动三:知识升华,巩固提升例2一只蜗牛沿着一棵树向上爬行,白天向上爬了1.5m,夜间下滑了0.3m.白天和夜间蜗牛一共向上爬了多少米?怎么用算式表示这个结果?解:规定向上为正,向下为负.1.5+(-0.3)=+(1.5-0.3)=1.2(m).答:蜗牛一共向上爬了1.2m.【对应训练】教材P28练习第1,4题.[教学提示]由例2告诉学生:当题中出现具有相反意义的量时,可以用正数和负数表示它们.可引导学生用不同的规定方法,发现得到的最终结果是相同的.对应训练可指定几个学生代表回答.[设计意图]通过实际情境,加深学生对有理数加法法则的理解与运用.活动四:随堂训练,课堂总结30 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:有理数加法法则是什么?【作业布置】1.教材P34习题2.1第1题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练【教学后记】第2课时：有理数的加法运算律【素养目标】1.进一步熟练掌握有理数加法法则.2.理解有理数的加法运算律,并能运用加法运算律简化运算.3.会用加法运算律解决简单问题,增强抽象能力与应用意识.【教学重点】理解有理数的加法运算律,并能运用加法运算律简化运算.【教学难点】运用加法运算律简化运算及加法运算律在实际中的应用.【教学过程】活动一:引用故事,导入新课【故事导入】古代有个非常喜欢猴子的老人,他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.由于粮食缺乏,老人想限制口粮.一天,他故意先对猴子们说:“猴子们,给你们吃橡子,早晨三颗晚上四颗,好不好?”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早晨四颗晚上三颗吧,够了吗?”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来.这就是著名的“朝三暮四”的故事.这个故事里蕴含着小学学过的加法交换律的知识,以前我们还学过加法结合律,在有理数的加法中,它们还适用吗?[教学提示]通过讲述故事,使学生集中注意力,快速进入学习状态,可指定学生代表回答加法交换律､结合律的内容.[设计意图]引用成语故事,激发学生学习兴趣,无形中培养学生的模型意识与应用意识,感受数学与其他学科的相通之处.活动二:问题引入,探究新知探究点有理数的加法运算律问题1计算:(1)30+(-20)=10,(-20)+30=10;(2)(-8)+(-9)=-17,(-9)+(-8)=-17;(3)(-6)+0=-6,0+(-6)=-6.思考:观察问题1中式子的特点和结果,你能得出什么结论?有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.即加法交换律:a+b=b+a.问题2计算:(1)[8+(-5)]+(-4)=-1,8+[(-5)+(-4)]=-1;(2)[(-15)+(-25)]+34=-6,(-15)+[(-25)+34]=-6.思考:(1)观察问题2中式子的特点和结果,你能得出什么结论?在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.即加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)30 (2)在计算问题2(2)时,两种算法中哪种更快得到结果?为什么会这样呢?第一种更快.因为第一种算法将同号的-15和-25先相加,得到-40这种整十的数,出现这种情况时可以使计算简化.问题3观察(-41)+25+41+(-25),如何简便地计算出结果?教师说明:根据加法交换律和结合律,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个数相加.例1(教材P29例2)计算:(1)8+(-6)+(-8);(2)16+(-25)+24+(-35);(3)16+(-38)+13+(-18);(4)(-357)+1534+(-1827)+514思考:观察例1中式子的特点,以及运用加法运算律简化计算的过程,你得到了什么经验?例2利用有理数的加法解下列问题:一个人站在一条东西向的大街上,位于超市东侧100m处,他先向东走了200m,又向西走了500m,结果他在超市的东侧还是西侧?距离超市多少米?解:规定向东为正,向西为负.100+200+(-500)=-200.答:结果他在超市的西侧,距离超市200m.【对应训练】教材P30练习第1,2,3题.[教学提示]学生口答问题1,2,指定学生代表回答思考中的问题,注意学生对于加法运算律的文字表述,并引导学生用字母表示出加法运算律,这个过程中提醒学生注意:(1)式子中的字母分别表示任意一个有理数,即:它们既可以是整数,又可以是分数;既可以是正数,又可以是负数或0.(2)同一个式子中,同一个字母只表示同一个数.[教学提示]例1中可先让学生观察加数的特点,交流讨论怎样计算更简便,指定几个学生代表回答.教师引导学生,共同总结出几种利用加法运算律简化计算的方法:(1)相反数结合法,即先把互为相反数的两个数结合到一起相加;(2)同号结合法,即把符号相同的数分别相加;(3)同分母结合法,即把同分母(或易通分)的数分别相加.(4)凑整法,即把能凑成整数的几个数(一般是分数或小数)分别相加.对于例1(4)这种加数都是带分数的情况,提醒学生可不把带分数化成假分数,先观察带分数的分数部分,看能否凑成整数,其本质还是运用同分母结合法.最后告诉学生:简化计算的方法还有很多,这里不一一列举,计算时不要局限于一种方法,有时候一个算式中几种方法都有涉及,重点是观察式子特点,灵活运用方法,以及不要算错.[教学提示]提醒学生注意题中具有相反意义的量,可类比数轴上点的运动,用加法算式表示运动过程,用和表示最后的结果,要将和的符号和绝对值转化为现实意义,和的符号代表方向,绝对值代表距离.[设计意图]以问题串的形式,采用从特殊到一般的方法,让学生体会到加法运算律在有理数的加法中仍然适用,以及运用加法运算律可以简化计算.[设计意图]将有理数的加法与实际生活联系起来,让学生体会用数学的眼光观察世界,增强应用意识.活动三:知识升华,巩固提升例3(教材P29例3)10袋小麦称后记录(单位:kg)如图所示.10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?解法1:先计算10袋小麦一共多少千克:30 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.再计算总计超过多少千克:502.5-50×10=2.5.解法2:把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数,不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4.50×10+2.5=502.5.10袋小麦一共502.5kg,总计超过2.5kg.思考:比较两种解法,解法2中使用了哪些运算律?解法2中使用了加法交换律､加法结合律.【对应训练】有一批水果,外包装标注的质量为每筐20kg,现从中抽取8筐水果进行检测,称后记录(单位:kg)如下:19.8,20.7,18.6,19.5,20.2,21.4,19.7,19.3,为了求得这8筐水果的总质量,我们可以选取一个恰当的基准质量简化运算.(1)你认为选取的一个恰当的基准质量为20kg;(2)根据你选取的基准质量,用正数和负数填写上表;(3)这8筐水果的总质量是多少?解:(-0.2)+0.7+(-1.4)+(-0.5)+0.2+1.4+(-0.3)+(-0.7)=[(-0.2)+0.2]+[0.7+(-0.7)]+[(-1.4)+1.4]+[(-0.5)+(-0.3)]=-0.8.20×8+(-0.8)=159.2.答:这8筐水果的总质量是159.2kg.[教学提示]例3的解法1绝大部分学生都能理解,就是计算起来较为复杂,重点在于解法2的讲解,如果学生理解有困难,可以先用少量数据举例解释说明.教师总结:在求多个大小相近的大数的和时,可以先选取一个适当的数为标准,用正数､负数或0表示每个大数,得到一组新数,把这些新数相加,其结果就是总计超过多少或不足多少.用标准量乘数据的个数,再加上总计超过或不足的量,就等于总量.酌情提醒学生:对于加数比较多的情况,简化运算时,可以先用不同方式的划线标记出要先结合的几组数,以免因重复或遗漏而出错.[设计意图]将新知识应用到更复杂的实际情境中,使学生更深刻地体会有理数的加法运算律对于简化计算的意义,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数的加法中有哪些运算律?用字母怎么表示?2.有理数加法的运算律怎么用于简化计算?你知道哪几种方法?3.怎么简便计算一组大小接近的大数的和?【作业布置】1.教材P34习题2.1第2,7,8,9,12,13题.【教学后记】2.1.2有理数的减法第1课时：有理数的减法【素养目标】经历用转化的数学思想探究有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的关系,强化推理能力.30 理解并掌握有理数减法法则,增强运算能力.能利用有理数减法法则解决简单问题,增强应用意识【教学重点】体会有理数减法与加法的关系,理解并掌握有理数减法法则.【教学难点】理解并掌握有理数减法法则.【教学过程】活动一:知识回顾,导入新课【回顾导入】有理数加法法则是什么?我们小学学过正数的加､减法,如2+3=5,5-3=2,5-2=3,现在我们学习了有理数加法法则,引入了负数,知道(-2)+3=1,联想加法与减法之间的关系,1-3=-2,1-(-2)=3.那么3-(-3)又该怎么计算呢?接下来我们就来学习有理数的减法.[教学提示]学生口答,带学生回顾有理数加法法则与小学学过的加､减法,让学生明确减法是加法的逆运算,最后留下疑问.[设计意图]带学生回顾旧知识,为学习有理数的减法做铺垫,并留下疑问,引发学生思考,激发学习兴趣.活动二:问题引入,合作探究探究点有理数减法法则问题北京某一天的气温是-3~3℃,这一天的温差(最高气温减最低气温)是多少?应该怎么列式呢?这一天的温差列式为3-(-3).思考:1.要如何计算3-(-3)呢?减法是加法的逆运算,计算3-(-3),就是要求出一个数,使得它与-3相加得3.因为6与-3相加得3,所以这个数应该是6,即3-(-3)=6.①另一方面,我们知道3+(+3)=6.②由①②,得3-(-3)=3+(+3).③2.从③式能看出减-3相当于加哪个数吗?把3分别换成0,-1,-5,用上面的方法再试试看.从③式能看出减-3相当于加3.(1)因为0-(-3)=3,0+(+3)=3,所以0-(-3)=0+(+3).因为(-1)-(-3)=2,(-1)+(+3)=2,所以(-1)-(-3)=(-1)+(+3).(3)因为(-5)-(-3)=-2,(-5)+(+3)=-2,所以(-5)-(-3)=(-5)+(+3).由此,我们得到:减去一个负数,等于加这个负数的相反数.3.计算下面几对式子看看.(1)因为9-8=1,9+(-8)=1;所以9-8=9+(-8).(2)因为15-7=8,15+(-7)=8,所以15-7=15+(-7).从中有什么发现?减去一个正数,等于加这个正数的相反数.4.再计算下面几对式子看看.(1)因为4-0=4,4+0=4;所以4-0=4+0.(2)因为(-2)-0=-2,(-2)+0=-2,所以(-2)-0=(-2)+0.30 从中又有什么发现?减去0等于加0.由以上探究可以发现,有理数的减法可以转化为加法来进行.归纳总结:有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.也可以表示成a-b=a+(-b)注意:减法在转化为加法运算时有2个要素要发生变化:(1)减号变为加号;(2)减数变为它的相反数.显然,两个有理数相减,差是一个有理数.例1(教材P31例4)计算:(1)(-3)-(-5);(2)0-7;(3)2-5;(4)7.2-(-4.8);(5)(-312)-514.解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2;(2)0-7=0+(-7)=-7;(3)2-5=2+(-5)=-3;(4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12;(5)(-312)-514=(-312)+(-514)=-834.思考:在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(如1-2,(-1)-1)吗?一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得差的符号是什么?结合数轴和一些算式实例可以发现:较小的数减去较大的数,所得差的符号是负号.归纳总结:【对应训练】教材P32练习第1题.[教学提示]结合温度计,通过数格子的方式,可以直观地得到3℃比-3℃高6℃.对于(-5)-(-3),也可以结合温度计,由-5℃在-3℃下方两个格子处,得到(-5)-(-3)=-2.[教学提示]带学生分情况探究有理数的减法,引导学生一步步归纳出不同情况下与加法的关系,最后总结出有理数减法法则.[教学提示]指定学生代表上台解答,其他同学在纸上作答,教师巡堂,酌情指出问题.让学生注意归纳有理数减法的运算规律,不要只简单机械地将减法化成加法,可引导学生总结:(1)0减去一个数,等于这个数的相反数;(2)小数减大数,等于大数减小数的差的相反数.若用竖向的数轴理解减法,就是将减数看作运动起点,被减数看作运动终点,运动的方向和距离就是差的结果,借此可让学生理解小数减大数所得的差是负数,因为在数轴上,大数在小数上方,所以大数必须往下运动才能到达小数,也就是差一定是负数.[设计意图]通过实例(温差的计算)引出有理数的减法,再从减法是加法的逆运算出发,通过一些具体算式,以类比和分类的方式探究两个有理数的差,最后归纳出有理数减法法则,提高学生的推理､概括､运算能力.活动三:知识升华,巩固提升例2全班学生分为五个组进行答题游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下:(1)第一名超出第四名多少分?(2)第五名比第四名少多少分?解:由上表可以看出,第一名得了350分,第四名得了-100分,第五名得了-400分.(1)350-(-100)=450.答:第一名超出第四名450分.(2)(-100)-(-400)=300.答:第五名比第四名少300分.30 【对应训练】1.教材P32练习第2题.2.矿井下A,B,C三处的高度分别是-32.4m,-139.8m,-91.3m,那么A处比B处高多少米?C处比B处高多少米?A处比C处高多少米?解:A处比B处高(-32.4)-(-139.8)=107.4(m);C处比B处高(-91.3)-(-139.8)=48.5(m);A处比C处高(-32.4)-(-91.3)=58.9(m).[教学提示]提醒学生:在实际问题中,要注意“超出”“高､低”“多､少”等关键词,这往往表示需要用到减法.例2中先带学生回顾有理数比较大小的方法,将分数从大到小排序,得到对应的排名与分数,然后利用有理数减法法则进行计算得到结果.[设计意图]将新知识应用到实际问题中,学以致用,加深学生对有理数减法意义的体会,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数减法法则是什么?2.大数减小数得到的差是正数还是负数?小数减大数呢?【作业布置】1.教材P34习题2.1第3,4,6,10,11题.【教学后记】2.1.2第2课时：有理数的加减混合运算【素养目标】1.熟练掌握有理数的加法和减法运算.2.掌握有理数的加减混合运算,能用加法运算律简化运算,提高运算能力.3.能运用有理数的加减混合运算解决简单实际问题,增强应用意识.4.利用减法求数轴上两点之间的距离,体会数形结合的思想.【教学重点】1.将有理数的加减混合运算统一为加法运算.2.在有理数的加减混合运算中运用加法运算律简化运算.【教学难点】1.在加减混合运算中灵活地使用运算律.2.用减法求数轴上两点之间的距离.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入]如图,某地在节日期间进行无人机灯光表演.若表演从空中某一高度开始,下表是其中一架无人机的高度变化情况:高度变化记作上升2.5m+2.5m下降3.2m-3.2m上升1.1m+1.1m下降1.4m-1.4m此时无人机比起始点高还是低,高或者低多少米?如何列式计算?2.5-3.2+1.1-1.4.这个式子中既有加法又有减法,这节课我们就来学习有理数的加减混合运算.[教学提示]30 让学生交流讨论,指定学生代表回答,酌情引导学生列出算式,若学生列出2.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)要予以认可,并让学生尝试计算.[设计意图]借助现实生活中的情境,激发学生学习兴趣,启发学生用有理数的运算解决实际问题,引出有理数加减混合运算的学习.活动二:问题引入,合作探究探究点1有理数的加减混合运算问题(教材P32例5)计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7).(1)联想小学学过的知识,用加减混合运算的方式该怎么计算?从左到右依次计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=(-17)-(-5)-(+7)=(-12)-(+7)=-19.联想有理数减法法则,只用加法该怎么计算?即可以先根据有理数减法法则,把减法转化为加法,再进行有理数的加法运算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]=(-27)+(+8)=-19.(3)以上两种算法结果相同吗?由此你可以得到什么结论?两种算法的结果相同.结论:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算归纳总结:思考:(1)算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,+3,+5,-7这四个数的和,为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,把它写为-20+3+5-7.这个算式可以读作“负20､正3､正5､负7的和”,或读作“负20加3加5减7”.(2)由(1)可知,(-20)+(+3)-(-5)-(+7)的运算过程还可以怎样简写?(-20)+(+3)-(-5)-(+7)=-20+3+5-7=-20-7+3+5=-27+8=-19.例1(教材P33例6)计算14-25+12-17.【对应训练】教材P34练习第1,2题.[教学提示]指定学生代表回答问题,教师酌情引导学生利用加法运算律解答问题(2).通过对两种算法的比较,让学生体会加减混合运算可以统一成加法.[教学提示]提醒学生:(1)在一个式子中,如果第一个数带有负号,通常可以不用括号把这个数括起来;(2)把-20+3+5-7这个式子看成一个和,便于直接运用加法运算律.要和学生强调,在简写后的加法算式中,使用加法交换律简化加减混合运算,交换加数的位置时,要连同该数的符号一起交换,这是个易错点.指定学生代表回答对应训练中的问题,检查运算过程和简写过程有无问题,并提醒其他学生注意.[设计意图]以问题串的形式探究有理数的加减混合运算,引导得出加减混合运算可统一成加法运算的结论,再借助运算律简化运算,并能简化写法,有效提高学生的运算能力.[设计意图]探究点2利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离问题(教材P33探究)在数轴上,点A,B分别表示数a,b.对于下列各组数a,b:a=2,b=6;a=0,b=6;a=2,b=-6;a=-2,b=-6.(1)观察点A,B在数轴上的位置,你能得出它们之间的距离吗?如图.当a=2,b=6时,点A,B之间的距离为4;当a=0,b=6时,点A,B之间的距离为6;当a=2,b=-6时,点A,B之间的距离为8;当a=-2,b=-6时,点A,B之间的距离为4.(2)利用有理数的运算,你能用含有a,b的算式表示上述各组点A,B之间的距离吗?当a=2,b=6时,点A,B之间的距离为4=6-2;30 当a=0,b=6时,点A,B之间的距离为6=6-0;当a=2,b=-6时,点A,B之间的距离为8=2-(-6);当a=-2,b=-6时,点A,B之间的距离为4=(-2)-(-6).思考:一般地,你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗?归纳总结:点A,B之间的距离等于a,b中较大的数减去较小的数的差,总是一个大于或等于0的数,引入绝对值,可总结为点A,B之间的距离为|a-b|.[教学提示]学生口答问题(1),指定学生代表回答问题(2),酌情引导学生关注a-b的正负,结合绝对值的性质,将算式统一成|a-b|的形式.通过具体实例逐步让学生了解如何利用减法求数轴上两点之间的距离,并综合绝对值,将数轴与减法联系起来,体会数形结合的思想.活动三:知识延伸,巩固升华例2某人的账户近期在手机银行上办理了8项业务:转出950元,转入500元,转出800元,转入1200元,转入2500元,转出500元,转出200元,转入400元.这时,该账户上的钱是增加了,还是减少了?增加或减少了多少元?解:记转入为正,转出为负.由题意,得-950+500-800+1200+2500-500-200+400=(500-500)-950-800-200+1200+2500+400=0-1950+4100=2150.答:该账户上的钱增加了,增加了2150元.【对应训练】一家电脑公司仓库原有电脑100台,一个星期内调入､调出的电脑记录是:调入38台,调出42台,调入27台,调出33台,调出38台.这个仓库现有电脑多少台?解:记调入为正,调出为负.由题意,得100+38-42+27-33-38=(38-38)+100+27-42-33=0+127-75=52.答:这个仓库现有电脑52台.[教学提示]先引导学生观察题中有无具有相反意义的量,再规定正负,并列式计算.运算过程中提醒学生先观察算式中有无相反数,有相反数先提出来单独计算,其余部分再借助加法运算律灵活计算.[设计意图]将新知识应用到实际问题中,使学生进一步掌握有理数的加减混合运算,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数加减混合运算的步骤是什么?2.你会求数轴上两点之间的距离吗?【作业布置】1.教材P35习题2.1第5题.【教学后记】2.2有理数的乘法与除法2.2.1有理数的乘法30 2.2.1第1课时：有理数的乘法【素养目标】1.用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则,提高推理能力.2.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算,提高运算能力.3.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.4.能运用有理数的乘法解决简单实际问题,增强应用意识.【教学重点】1.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算.2.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.【教学难点】用类比､归纳的方式总结出有理数乘法法则.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入]如图,有甲､乙两座水库,甲水库的水位每天升高3cm,乙水库的水位每天下降3cm.如果用“+”号表示水位的上升,用“-”号表示水位的下降,请用算式表示,4天后甲､乙水库水位的总变化量分别是多少?你能找到更简洁的表示方法吗?甲水库水位的总变化量:3+3+3+3或3×4;乙水库水位的总变化量:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)或(-3)×4.我们发现(-3)×4这个乘法算式中出现了负数,这节课我们就来学习有理数的乘法.[教学提示]鼓励学生交流讨论,用多种方式表示水位的总变化量,引导学生类比小学学过的乘法表示出(-3)×4.[设计意图]从实际情境出发,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速地进入学习状态,同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.活动二:问题引入,合作探究探究点有理数乘法法则我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似,引入负数后,有理数的乘法运算有哪几种情况呢?教师总结:共三种类型,即:(1)同号两个数相乘;(2)异号两个数相乘;(3)一个数与0相乘.该怎样进行有理数的乘法运算呢?接下来我们先进行下面的探究.问题1观察下面的乘法算式.3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?3×2=6;算式的左边都是3×□的形式.3×1=3;(2)其他两个数有什么变化规律?3×0=0.随着后一乘数逐次递减1,积逐次递减3.(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:3×3=9;(1)四个算式有什么共同点?2×3=6;算式的左边都是□×3的形式.1×3=3;(2)其他两个数有什么变化规律?0×3=0.随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.(3)要使这个规律在引入负数后仍然成立,那么应有:(-1)×3=-3,(-2)×3=-6,(-3)×3=-9.思考:从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式,你能发现什么规律?正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积为负数;负数乘正数,积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.问题3利用上面归纳的结论计算下面的算式.思考:从中可以归纳出什么结论?负数乘负数,积为正数,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.30 问题4总结上面所有的情况,按照活动二开头分的三种类型,你能试着自己总结出有理数乘法法则吗?显然,两个有理数相乘,积是一个有理数.例1(教材P39例1)计算:(1)8×(-1);(2)(-12)×(-2);(3)(-23)×(-57).分析提问:例如(1)8×(-1),异号两数相乘8×(-1)=-(),得负8×1=8,把绝对值相乘所以8×(-1)=-8.(2)(-12)×(-2)同号两数相乘(-12)×(-2)=+()得正12×2=1,把绝对值相乘所以(-12)×(-2)=1解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8;(2)(-12)×(-2)=+(12×2)=1;(3)(-23)×(-57)=+(23×57)=1021.归纳总结同号两数相乘,可以先确定积的符号,再确定积的绝对值补充说明:例1(2)中,(-12)×(-2)=1,我们说-12和互为倒数.一般地,在有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.【对应训练】教材P40练习第1.3题[教学提示]教师引导学生类比有理数的加法,对乘法的各种情况进行分类,然后总结出三种类型,为后续归纳有理数乘法法则做铺垫.[教学提示]教师注意一定要引导学生解决好问题1,为后续的过程打下基础.要让学生知道“观察下面的乘法算式”的含义是:看算式两边,左边两个数相乘,有什么共同点和不同点;右边的积有什么变化规律.[教学提示]鼓励学生类比有理数的加法,从符号和绝对值两个角度观察算式,先看乘数与积的符号,再看积的绝对值和两个乘数绝对值之积的关系,然后总结出规律.[教学提示]指定学生代表上台解答,并说明计算中每一步的理由,其他学生在纸上作答,做完后引导学生总结出计算有理数乘法的一般步骤.[教学提示]提醒学生:如果把整数看成分母是1的分数,那么任何一个有理数(除0以外)的倒数,就是把分子和分母颠倒后所得的数.提醒学生:从倒数的定义出发,因为没有一个数与0相乘等于1,所以0没有倒数.[设计意图]从小学学过的乘法运算出发,提出引入负数后的乘法问题,再通过大量算式类比､归纳,总结出有理数乘法法则,然后借助实例将倒数的概念扩充到有理数的范围.活动三:知识延伸,巩固升华例2(教材P40例2)用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后,气温有什么变化?解:(-6)×3=-18.答:登高3km后,气温下降18℃.例2变式在例2的条件下,若登山队已经到达山顶,现在要下山,当他们下山2km后,气温相对山顶的气温有什么变化?解:(-6)×(-2)=12.答:下山2km后,气温上升12℃.30 【对应训练】教材P40练习第2题.[教学提示]在例2变式中,可将下山2km理解成登高-2km,得(-6)×(-2),也可将“每登高1km气温的变化量为-6℃”理解成“每下山1km气温的变化量为6℃”,得6×2,用两种方式让学生更深刻地理解有理数的乘法.[设计意图]将新知识应用到实际情境中,使学生更深刻地体会有理数乘法的意义,提高运算能力与应用意识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数乘法法则是什么?2.有理数的倒数是什么?【作业布置】1.教材P47习题2.2第1,2,3,14题.【教学后记】2.2.1第2课时：有理数的乘法运算律【素养目标】经历探索有理数的乘法运算律的过程,理解运算律并了解运算律的字母表示,培养抽象能力.体会用实例类比､归纳出多个有理数相乘时积的符号的确定方法的过程,提高推理能力.熟悉有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算,提高运算能力.【教学重点】经历多个有理数相乘时积的符号的确定方法的探究过程,会利用有理数的乘法运算律简化运算.【教学难点】逆向利用分配律简化运算.【教学过程】活动一:知识回顾,导入新课【回顾导入】问题1计算4×17×0.25×1317.4×17×0.25×1317=(4×0.25)×(17×1317)=1×13=13.问题2你是怎样做的?过程中运用了乘法运算律吗?如果运用了,运用了哪些运算律?将4与0.25,17与1317分别相乘,再把它们的积相乘,其中运用了乘法交换律与乘法结合律.问题3小学学习了乘法的哪些运算律?小学学习了乘法交换律､乘法结合律､分配律.引入负数后,这些运算律还成立吗?这节课我们就来学习有理数乘法的运算律.[教学提示]问题1指定两名学生代表上台板书过程,其余学生在练习本上完成.问题2由两名学生口答完成.对于问题3,要求学生能说出乘法交换律､乘法结合律和分配律.设计意图由小学学过的知识入手,回顾学过的乘法运算律,由旧知过渡到新知,引出本节课要学习的有理数乘法运算律.活动二:问题引入,合作探究探究点1有理数的乘法运算律1.乘法交换律问题1计算5×(-6)与(-6)×5.5×(-6)=-30,(-6)×5=-30.问题2任意选择两个有理数,分别对应填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□×○和○×□,你有什么发现?两个运算的结果相同.在有理数乘法中,两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.即乘法交换律:ab=ba.30 补充说明:a×b也可以写为a·b或ab.当字母表示乘数时,“×”可以写为“·”或省略.2.乘法结合律问题1计算[3×(-4)]×(-5)与3×[(-4)×(-5)].[3×(-4)]×(-5)=(-12)×(-5)=60,3×[(-4)×(-5)]=3×20=60.问题2任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:(□×○)×◇和□×(○×◇),你又有什么发现?两个运算的结果相同.在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即乘法结合律:(ab)c=a(bc).3.分配律问题1计算5×[3+(-7)]与5×3+5×(-7).5×[3+(-7)]=5×(-4)=-20,5×3+5×(-7)=15-35=-20.问题2任意选择三个有理数,分别对应填入下列□,○和◇内,并比较两个运算结果:□×(○+◇)和□×○+□×◇,你又有什么发现?两个运算的结果相同.在有理数乘法中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.即分配律:a(b+c)=ab+ac..思考:回顾活动一中提出的问题,引入负数后,小学学过的乘法运算律在有理数乘法中还成立吗?小学学过的乘法交换律､乘法结合律､分配律在有理数乘法中仍然成立.例1(教材P41例3)(1)计算2×3×0.5×(-7);(2)用两种方法计算(14+16-12)×12.解:(1)2×3×0.5×(-7)=(2×0.5)×[3×(-7)]=1×(-21)=-21.(2)解法1:(14+16-12)×12=(312+212-612)×12=-112×12=-1.解法2:(14+16-12)×12=14×12+16×12-12×12×12=3+2-6=-1.思考:比较例1(2)的两种解法,它们在运算顺序上有什么区别?解法2用了什么运算律?哪种解法更简便?答:解法1先做加法运算,再做乘法运算.解法2先做乘法运算,再做加法运算.解法2用了分配律.解法2更简便,因为解法1先要计算三个分数的和.【对应训练】教材P43练习第1题.[教学提示]提醒学生:乘法运算律的字母表示中,字母可以取任意的有理数,可以表示正数,也可以表示负数或0.告诉学生:乘法的运算律与加法运算律类似,可以推广到多个有理数相乘的情况:(1)三个以上有理数相乘,可以任意交换乘数的位置,或者先把其中的几个乘数相乘,例如,abcd=d(ac)b;(2)一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加,例如,a(b+c+d)=ab+ac+ad.[教学提示]提醒学生:在有理数乘法中,分配律既可以正用,也可以逆用,关键是注意观察算式的特点,看怎么用能简化运算,使用分配律时一定要注意数前面的符号,不要出现遗漏或者错误.告诉学生:运算律在运算中有重要作用,它是解决许多数学问题的基础.[设计意图]类比加法运算律的学习过程,让学生通过一些包含负数的简单例子,说明这些运算律在有理数乘法中仍然适用,使学生理解乘法运算律并能利用它们简化运算.[设计意图]探究点2多个有理数相乘的符号法则1.几个不为0的数相乘问题改变例1(1)的乘积式子中某些乘数的符号,得到下列一些式子.观察这些式子,它们的积是正的还是负的?填表:思考:几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系?30 几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数.2.几个数相乘(其中有乘数为0)问题你能看出下列式子的结果吗?如果能,请说明理由.7.8×(-8.1)×0×(-19.6).结果为0.理由:任何数与0相乘,都得0.思考:(1)你能总结出多个有理数相乘时,积的符号情况吗?归纳总结:几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;负的乘数的个数是奇数时,积为负数;几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.(2)总结出结论以后,该怎么计算多个有理数相乘的积?遇到多个不为0的数相乘,可以先用前面的结论确定积的符号,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值;遇到有乘数为0的情况,可直接得积为0.例2(教材P42)计算:(-3)×56×(-95)×(-14);(-5)×6×(-45)×14.解:(1)(-3)×56×(-95)×(-14)=-(3×56×95×14)=-98;(2)(-5)×6×(-45)×14=5×6×45×14=6.【对应训练】教材P43练习第2题.[教学提示]指定学生代表回答问题,检查对有理数乘法法则的掌握情况.[教学提示]告诉学生:多个有理数相乘,不管多复杂,只要其中有乘数0,积都是0,是不必具体计算的.计算之前注意观察其中是否有乘数0,若有可直接得积为0,若没有再按法则计算.通过例子让学生自己归纳出多个有理数相乘的符号法则,提高推理能力与归纳能力.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)(-0.2)×(-316)×(-5)×113=-(0.2×316×5×43)=-[(0.2×5)×(316×43)]=-(1×14)=-14;(2)(-34+156-78)×(-24)=-34×(-24)+116×(-24)-78×(-24)=18-44+21=-5;(3)(-5.25)×(-4.73)-4.73×(-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-5.25-19.75)-25×(-5.27)=(-4.73)×(-25)-25×(-5.27)=(-25)×(-4.73-5.27)=(-25)×(-10)=250.【对应训练】计算:(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125);(2)(134-78-12)×117;(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6).解:(1)(-4)×8×(-2.5)×(-0.125)=-(4×8×2.5×0.125)=-[(4×2.5)×(8×0.125)]=-(10×1)=-10;(2)(134-78-12)×117=74×87-78×87-12×87=2-1-47=37;(3)81.8×2.14+(-3.14)×35.2+3.14×(-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-35.2-46.6)=81.8×2.14+3.14×(-81.8)=81.8×(2.14-3.14)=81.8×(-1)=-81.8[教学提示]告诉学生:告诉学生:在做运算之前一定要先观察算式的特点,尤其是较复杂的运算,一般都需要用运算律来简化,提醒学生重点关注两个方面:(1)是否有积能凑整的乘数,若有,则可以用乘法交换律和乘法结合律优先相乘;(2)是否有相同的乘数,若有,则可以逆向运用分配律简化运算,有时候分配律在一个算式中会用到多次.[设计意图]通过例题和练习让学生更深刻地体会乘法运算律对于简化运算的作用,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数乘法的运算律有哪些?2.多个有理数相乘时怎么确定积的符号?【作业布置】1.教材P48习题2.2第4,5,15题.30 【教学后记】2.2.2有理数的除法第1课时：有理数的除法【素养目标】1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程,体会除法与乘法的关系,强化推理能力.2.理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算,提高运算能力.3.从除法的角度理解分数,会利用有理数除法法则化简分数.【教学重点】理解并掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.【教学难点】会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入]1.如图,王芳从家里到学校,每分钟走50m,共走了20min,则王芳家离学校有多远?放学时,王芳仍然以每分钟50m的速度回家,应该走多少分钟?20×50=1000(m),1000÷50=20(min).因此王芳家离学校1000m,放学时应该走20min.2.从上面这个例子你可以发现,除法与乘法之间满足怎样的关系?除法是乘法的逆运算.引入负数后,在有理数的范围内,该怎么计算除法呢?这节课我们就来学习有理数的除法.[教学提示]在实际情境问题中,引导学生根据“路程=速度×时间”发现除法与乘法的互逆关系,鼓励学生思考有理数的除法.[设计意图]创设情境,激发学生的学习兴趣,引导学生理解有理数除法和有理数乘法之间的互逆关系,从而引出本节课的主题.活动二:问题引入,合作探究探究点1有理数的除法法则问题1怎样计算8÷(-4)呢?结合下面图示说一说.一个数除以-4可以转化为乘-14来进行,即一个数除以-4,等于乘-4的倒数-14.问题2我们换其他数的除法进行类似讨论(如下面例子),是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘1a?可以看出其他数的除法仍有这种关系.思考:根据上面你尝试过的例子,能否类比有理数减法法则,总结出有理数除法法则?有理数除法法则(说法1):除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.这个法则也可以表示成:a÷b=a·1b(b≠0).例如:两个有理数相除(除数不为0),商是一个有理数.问题3计算:6÷3=2,6÷(-3)=-2,(-6)÷3=-2,(-6)÷(-3)=2,0÷3=0,0÷(-3)=0.思考:两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法,因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式,你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则?有理数除法法则(说法2):两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.30 0除以任何一个不等于0的数,都得0.例1(教材P44例4)计算:(1)(-36)÷9;(2)(-1225)÷(-35).解:(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4;(2)(-1225)÷(-35)=(-1225)×(-53)=45.思考:对于例1中的两个算式,用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便?例1(1)用说法2比较简便,例1(2)用说法1比较简便.【对应训练】教材P45练习第1题.[教学提示]提醒学生:除法与乘法的互逆关系在有理数中也是成立的,这属于除法的意义,即已知两个乘数的积与其中一个乘数,求另一个乘数的运算,这是数学上的一种规定.[教学提示]为了有利于学生接受,可让学生自己举例,并模仿教科书的方法进行说明,然后引导学生总结出除法法则.若有困难可让学生类比有理数减法法则来思考如何表述.规定0不能作除数的理由可简单地用0没有倒数来说明,更具体的理由不必在课堂上讲授.[教学提示]提醒学生:这是有理数除法法则的另一种说法.指定学生代表上台板演计算过程,并用除法法则的两种说法分别计算,再引导学生思考对于不同形式的算式,怎么判断用哪种说法计算更简便.引导学生总结:一般来说,能整除的情况下,往往采用法则的说法2,在确定符号后,再确定商的绝对值.在不能整除的情况下,则往往采用法则的说法1,即将除数换成倒数,除法转化成乘法.[设计意图]类比有理数减法法则的探究过程,根据除法与乘法的互逆关系,让学生通过算式实例探究有理数除法法则的两种说法,增强推理能力.在例题与练习中让学生掌握有理数的除法,并感受除法法则两种说法的适用情况,提升运算能力.[设计意图]探究点2分数的化简问题化简84,观察8-4,引入负数后,沿用小学时分数的意义,那么8-4化简的结果是什么?84=2,8-4=8÷(-4)=-2.例2(教材P44例5)化简:(1)-23;(2)-45-12.解:(1)-23=(-2)÷3=-(2÷3)=-23;(2)-45-12=(-45)÷(-12)=45÷12=154.思考:-23是有理数吗?-23可以写成两个整数相除的形式吗?-23=-23,这表明-23是负分数,因而是有理数;反过来看,-23=-23,又表明-23可以写成A-23这样两个整数相除的形式.【对应训练】教材P45练习第2题.[教学提示]提醒学生:(1)化简时,若分母是负数,改为除数后要加括号.(2)可以用除法化简,也可以确定符号后直接约分,要根据数的特点灵活选用.(3)一般地,根据有理数的除法,形如pq(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).这样,有理数就是形如pq(p,q是整数,q≠0)的数.引导学生从除法的角度理解并化简分数,并认识到有理数都可以表示为分数形式,为以后的学习打好基础.活动三:知识延伸,巩固升华解:(1)1÷(-1.2)=1÷(-65)=1×(-56)=-56;(2)(-2311)÷(-522)=(-2511)×(-225)=10;(3)(-0.125)÷83=-18×38=-364;(4)|-427|÷(-313)=307×(-310)=-97.【对应训练】计算:(1)1÷(-0.8);(2)(-212)÷(-57);(3)(-0.25)÷112;(4)|-223|÷(-179).解:(1)1÷(-0.8)=1÷(-45)=1×(-54)=-54;30 (2)(-212)÷(-57)=(-52)×(-75)=72;(3)(-0.25)÷112=(-14)×23=-16;(4)|-223|÷(-179)=83×(-916)=-32.[教学提示]提醒学生:应用法则“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”时,如果有小数或带分数,应先化小数为分数,化带分数为假分数,另外有绝对值符号的先去绝对值符号.引导学生观察发现:1除以一个不等于0的数,等于这个数的倒数.[设计意图]通过具体的算式让学生从除法的角度理解有理数的倒数,并进一步掌握用除法法则计算各种形式的数的除法,提高运算能力.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.有理数除法法则有哪几种说法?2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法?3.怎么利用有理数的除法法则化简分数?【作业布置】1.教材P48习题2.2第6,7,8,12,16题.【教学后记】第2课时：有理数的加减乘除混合运算【素养目标】能运用运算律简化有理数的除法运算,能进行乘除混合运算.掌握有理数的加减乘除混合运算的法则和运算顺序,能够熟练进行混合运算,提高运算能力.能运用有理数的运算解决简单的实际问题.熟悉计算器的操作方法,知道如何用计算器进行一些复杂运算,逐步培养使用信息技术的能力和意识.【教学重点】能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算.【教学难点】巧用运算律简化有理数加减乘除混合运算.【教学过程】活动一:知识回顾,导入新课【回顾导入】1.我们学过的有理数的运算有哪些?其运算法则分别是什么?2.我们学过的有理数运算中哪些有运算律?分别是哪些?这节课我们就来学习有理数的加减乘除混合运算.[教学提示]指定学生代表分别回答,查漏补缺,补充提问倒数的概念.[设计意图]带学生整体回顾有理数的加减乘除的运算法则与运算律,为接下来的学习做铺垫.活动二:问题引入,合作探究探究点1除法运算的简化与有理数的乘除混合运算例1(教材P45例6)计算:(-12557)÷(-5);(2)-2.5÷58×(-14).分析提问:①例1(1)用除法法则的哪一种说法来计算比较好?②联想分配律,将例1(1)转化为乘法后怎样计算更简便?③沿用小学的乘除混合运算顺序,例1(2)可以从左到右依次计算,或者将除法统一成乘法后再计算,你觉得哪种算法更简便?30 【对应训练】教材P47练习第1题.[教学提示]指定学生代表回答分析中的提问,上台板演例1的计算过程,并说明每一步的理由.提醒学生:(1)注意有理数的乘除混合运算中,一般先将除法转化为乘法,再根据负的乘数的个数确定积的符号;(2)同时将小数化为分数､带分数化为假分数,方便约分;(3)还可应用乘法运算律简化运算.[设计意图]通过例题和对应训练,让学生理解可将除法化成乘法后再运用运算律简化运算,并发现总结出有理数乘除混合运算的基本步骤,提升运算能力.[设计意图]探究点2有理数的加减乘除混合运算问题1小学学过的四则混合运算的顺序是怎样的?先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.问题2依照运算顺序计算613×(12-13)+6÷3,说一说每一步是怎样的?613×(12-13)+6÷3=613×16+6÷3……先进行小括号中的减法运算=113+2……进行乘除运算=2113.……进行加法运算后得到结果问题3引入负数后,若沿用小学学过的加减乘除四则运算顺序,则有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?有理数的加､减､乘､除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.【对应训练】教材P47练习第2题.[教学提示]指定学生代表回答问题1,2,3,上台板演例2的计算过程,并说明每一步的理由,其他同学在纸上作答.从小学学过的加减乘除混合运算的算式出发,引导学生总结出有理数加减乘除混合运算的顺序,再通过例题与练习增强运算能力.活动三:知识延伸,巩固升华例3(教材P46例8)某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何?分析:总的盈亏=1月-12月盈亏情况之和.1月-3月――→亏损(-1.5)×34月-6月――→盈利(+32)×37月-10月――→盈利(+21.7)×411月-12月――→亏损(-2.3)×2解:记盈利额为正数,亏损额为负数.由(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2=-4.5+96+86.8-4.6=173.7可知,这个公司去年全年盈利173.7万元.工具引入:计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.例如,可以用计算器计算上面例3中列出的算式:(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2.试试看结果和你笔算的是否相同.【对应训练】1.教材P47练习第3题.2.刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖,下表是一周送出的20筐新鲜蔬菜的质量记录(每筐均以25kg为标准,超过的质量记为正,不足的质量记为负,单位:kg):求这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量.解:20×25+2×(-0.8)+5×0.6+3×(-0.5)+4×0.4+2×0.5+4×(-0.3)=500-1.6+3-1.5+1.6+1-1.2=501.3(kg).答:这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量是501.3kg.[教学提示]对于例3,提醒学生注意题中具有相反意义的量,可先帮助学生理解1月-3月平均每月亏损1.5万元与1月-3月的亏损额之间的关系,再类比得出一年总的盈亏额.30 让学生阅读教材P46有关计算器的内容,按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.提醒学生注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明.[教学提示]对应训练第2题中可带学生回顾教材P29例3的解法,并引导学生理解表格的具体含义,笔算出结果以后可让学生再用计算器验算一遍,进一步熟悉操作.[设计意图]借助实例运用有理数的加减乘除混合运算,将课本知识与实际生活联系起来,增强应用意识.引入计算器的操作学习,计算较复杂的算式,初步培养学生使用计算工具的能力和意识.活动四:随堂训练,课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.怎么做有理数的乘除混合运算?2.有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的?3.你学会使用计算器进行有理数加减乘除运算了吗?【作业布置】1.教材P48习题2.2第9,10,11,13题.【教学后记】.2.3有理数的乘方2.3.1乘方第1课时：有理数的乘方【素养目标】1.理解有理数乘方的意义,知道幂､底数､指数的概念.2.已知一个数,会求它的乘方,提高运算能力.3.知道有理数乘方的符号规律.4.会利用计算器进行乘方运算,进一步提高运用计算工具的能力.【教学重点】幂､底数､指数的概念及其表示,理解有理数乘法运算与乘方间的联系,处理好负数的乘方运算.【教学难点】准确理解底数､指数和幂三个概念,并能求负数的正整数次幂.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课[情境导入]某种细胞每30min便由一个分裂成两个,经过3`h这种细胞由1个能分裂成多少个?分裂方式如下所示.以后会遇到很多类似的问题,这涉及数学中的乘方运算,今天我们就来学习这方面的内容.[教学提示]鼓励学生交流讨论,列式计算,引出本节课要学习的内容.[设计意图]巧妙地借助科学情境,引发学生的好奇心和求知欲,调动学生的学习积极性,让学生知道数学无处不在,激发学生解决问题的强烈欲望.活动二:问题引入,合作探究探究点乘方的意义及算法问题1(1)完成下列填空,并说一说这两个式子有什么相同点?(2)这两个过程有什么简单的写法吗?(类比单位的写法)[教学提示]30 让学生观察算式特点,使学生明确乘方是乘法的特殊情况.[设计意图]以问题串的形式,采用从具体到抽象的方法,引导学生理解有理数乘方的意义,并通过例题和练习使学生熟练乘方运算,提高运算能力.【教学过程】问题2类比以上研究,填写下面的表格:(-2)×(-2)×(-2)×(-2)(-2)4-2的4次方(-25)×(-25)×(-25)×(-25)×(-25)(-25)5-25的5次方[教学提示]教师酌情解释中“…”再加上“n个”的标示,整体表示“n个a相乘”.[教学提示]提醒学生:乘方是一种运算,幂是乘方的结果.[教学提示]对于一个数的情况,可给学生提供一种角度:指数就是指相同乘数的个数,指数是1,就是指只有一个乘数.这种规定可为以后整式次数的讲解做铺垫.[教学提示]引导学生用多个有理数相乘的符号法则来发现负数的幂的符号规律,用有理数的乘法法则得出正数和0的幂的符号规律,最后总结出有理数乘方的符号规律.问题3(-2)4与-24一样吗?为什么?不一样,(-2)4表示-2的4次方,-(2×2×2×2)记作-24,-24表示2的4次方的相反数.一般地,n个相同的乘数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”.概念引入:求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.试一试:填一填下面图示中的空.注意:一个数可以看作这个数本身的1次方.例如,5就是51.指数1通常省略不写.例1(教材P51例1)计算:(1)(-4)3;(2)(-2)4;(3)(-23)3.解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64;(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16;(3)(-23)3=(-23)×(-23)×(-23)=-827.例1变式计算:(1)(-1)5;(2)(-0.5)2;(3)(-13)4.解:(1)(-1)5=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=-1;(2)(-0.5)2=(-0.5)×(-0.5)=0.25;(3)(-13)4=(-13)×(-13)×(-13)×(-13)=181.思考:(1)结合例1和例1变式,你发现负数的幂的正负与指数有什么关系?当指数是奇数时,负数的幂是负数;当指数是偶数时,负数的幂是正数.【教学过程】[设计意图](2)如果幂的底数是正数,那么这个幂有可能是负数吗?不可能,正数的任何次幂都是正数.归纳总结:根据有理数的乘法法则可以得出:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.例2(教材P52例2)用计算器计算(-8)5和(-3)6.解:用带符号键的计算器,有显示结果为-32768;30 显示结果为729.因此,(-8)5=-32`768,(-3)6=729.【对应训练】教材P52练习.,让学生了解如何用计算器进行乘方运算,进一步培养学生使用计算工具的意识与能力.活动三:知识延伸,巩固升华例3计算:(1)-(-32)2;(2)-(-3)3;(3)-(-1A14)3;(4)(-4)2×(-2)3.解:(1)-(-32)2=-[(-32)×(-32)]=-94;(2)-(-3)3=-[(-3)×(-3)×(-3)]=-(-27)=27;(3)-(-114)3=-[(-54)×(-54)×(-54)]=-(-12564)=12564;(4)(-4)2×(-2)3=16×(-8)=-128.【对应训练】计算:(1)-(-27)2;(2)-(-6)3;(3)-(-113)4;(4)(-22)×(-3)3.解:(1)-(-27)2=-[(-27)×(-27)]=-449;(2)-(-6)3=-[(-6)×(-6)×(-6)]=-(-216)=216;(3)-(-1A13)4=-[(-43)×(-43)×(-43)×(-43)]=-25681;(4)(-22)×(-3)3=(-4)×(-27)=108.[教学提示]选取学生代表上台板演,其他学生在纸上作答,提醒学生:(1)底数是带分数时可先将带分数化成假分数再计算;(2)对于例3(4)和对应训练的第(4)问,可将幂看作单独的一个数,先算出幂后再来计算乘法.[设计意图]通过例题和练习帮助学生进一步掌握乘方运算,熟悉负数的幂的符号规律,并为后续的混合运算做铺垫.活动四:【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.什么是乘方?在乘方中,幂､底数､指数分别指的是什么?2.怎样计算一个有理数的乘方?3.有理数的乘方的符号规律是怎样的?【作业布置】1.教材P56习题2.3第1,2,7,11,12题.【教学后记】第2课时：有理数的混合运算【素养目标】1.理解并熟练掌握有理数的混合运算顺序,并会进行简单有理数的混合运算,提升运算能力.2.利用从特殊到一般的思想,体会从一系列简单有理数中观察总结出规律,增强推理能力.【教学重点】理解并熟练掌握有理数的混合运算顺序,并会进行简单有理数的混合运算.【教学难点】1.从一系列简单有理数中观察总结出规律.2.熟练并且正确地运用有理数混合运算法则进行运算.【教学过程】活动一:创设情境,导入新课知识回顾还记得我们前面学习过哪些有理数的运算吗?它们相应的法则或规律是怎样的?符号计算绝对值30 加法同号取相同的符号绝对值相加异号取绝对值较大的加数的符号绝对值相减减法减去一个数,等于加上这个数的相反数乘法同号取正绝对值相乘异号取负除法同号取正绝对值相除异号取负除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数乘方正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,偶次幂是正数[情境导入]学校圆形花坛里的花快枯萎了,请根据下列几位同学的对话列式:该怎样列式计算呢?(π×32-12)×9.列出的算式中包含多种运算,该怎样计算出最好的结果呢?今天我们就来学习有理数的混合运算.[教学提示]指定学生代表回答,教师酌情补充.[教学提示]引导学生交流讨论,列出式子.[设计意图]简要回顾之前的知识,为本课的学习做铺垫.[设计意图]借助生活情境,激发学生学习兴趣,引出有理数混合运算的学习活动二:问题引入,合作探究探究点有理数的混合运算顺序问题观察活动一中列出的算式,其中含有哪几种运算?先算什么?后算什么?有理数的运算级别:级别名称第一级运算加､减第二级运算乘､除第三级运算乘方(还有今后学的开方)①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;③如有括号,先做括号内的运算,按小括号､中括号､大括号依次进行.例1(教材P53例3)计算:(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;(2)(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).解:(1)原式=2×(-27)-(-12)+15=-54+12+15=-27;(2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)=-8+42+4.5=38.5.【对应训练】教材P54练习.[教学提示]引导学生交流讨论问题,指定学生代表回答.教师引导学生总结出有理数混合运算的顺序.[教学提示]指定学生代表上台解答例1和对应训练,教学时注意学生解题过程中出现的问题,及时纠正学生在运算顺序等各方面出现的错误,并提醒学生观察算式能否利用运算律进行简化.[设计意图]借助活动一中列出的算式,引导学生总结出有理数的混合运算顺序,再通过例题和对应训练让学生掌握有理数的混合运算.活动三:知识延伸,巩固升华例2(教材P53例4)观察下面三行数:-2,4,-8,16,-32,64,…;①0,6,-6,18,-30,66,