安徽省阜阳市太和县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（人教版）

安徽省2023～2024学年度九年级阶段质量检测数学上册21．1～24．1说明：共8大题，计23个小题，满分150分，答题时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.B.C.D.2.若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（　　）A.2B.4C.﹣4D.﹣23.下列图案中，属于中心对称图形的是（）A.B.C.D.4.下列说法正确是（）A.弧是半圆B.半圆是圆中最长弧C.直径是弦D.弦是直径5.用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是（）A.(a+2)2-1B.(a+2)2-5C.(a+2)2+4D.(a+2)2-96.若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A.B.C.D.7.如图，A，B，C是上的三点，连接，若，则的半径为（）A.2B.4C.8D.228.如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，则不等式 解集是（）A.B.C.D.或9.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值10.如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11.点关于原点对称点的坐标为______．12.如图，四边形内接于，若，则____________．13.在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是______cm2．14.已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，点C坐标是．（1）______．（2）若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程：．16.如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，的三个顶点的坐标分别为．（1）将向右平移5个单位长度，得到，请画出该图形．（2）将绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到，画出图形，并直接写出点的坐标．18.我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．（1）如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由．（2）如图3，当点在外部时，______．（填“>”、“=”或“<”） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．（1）求的度数．（2）若，求的长．20.如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．（1）线段，，之间的数量关系是______．（2）如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．六、（本题满分12分）21.宁波某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：（1）求与的关系式；（2）当销售单价取何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元/千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？七、（本题满分12分）22.是直径，弦，垂足为，连接，，． （1）如图1，连接，，若是的中点，求证：四边形是菱形．（2）如图2，作的平分线，交⊙O于点E，求证：为的中点（3）如图3，若的半径是1，，求点到弦的距离．八、（本题满分14分）23.如图1，抛物线经过点，C是抛物线上A，B两点之间的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，过点C作轴，垂足为D，求线段长度的最大值．（3）如图3，连接，设四边形的面积为S，求S的最大值． 安徽省2023～2024学年度九年级阶段质量检测数学上册21．1～24．1说明：共8大题，计23个小题，满分150分，答题时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即含有一个未知数，未知数最高次数为二次的整式方程，据此逐一判断即可解答．【详解】解：A．是二元二次方程，故A不符合题意；B．整理得为一元一次方程，故B不符合题意；C．整理之后为，是一元二次方程，故C符合题意；D．是分式方程，故D不符合题意，故选：C．2.若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（　　）A.2B.4C.﹣4D.﹣2【答案】B【解析】【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，掌握理解一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．3.下列图案中，属于中心对称图形的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．即可判断．【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．4.下列说法正确的是（）A.弧是半圆B.半圆是圆中最长的弧C.直径是弦D.弦是直径【答案】C【解析】【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可．【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；C、直径是弦，选项正确；D、弦不一定是直径，选项错误；故选C．5.用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是（）A.(a+2)2-1B.(a+2)2-5C.(a+2)2+4D.(a+2)2-9【答案】D 【解析】【详解】a2+4a-5=a2+4a+4-4-5=（a+2）2-9，故选D．6.若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点故，再结合二次此项系数不为0，进而得出答案．【详解】∵若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，∴，解得：．故选C．7.如图，A，B，C是上的三点，连接，若，则的半径为（）A.2B.4C.8D.22【答案】B【解析】【分析】连接并延长交于点，连接，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，求解即可．本题考查圆周角定理，含30度的直角三角形，掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．【详解】解：连接并延长交于点，连接，则：，， ∵，∴，∴的半径为；故选B．8.如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，则不等式的解集是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用二次函数的图像解不等式；根据二次函数图像的对称性可得其与轴的另一个交点为，再配合图像即可得出结果；【详解】解：因为抛物线的对称轴为直线；与x轴交于点，所以抛物线与x轴的另一个交点为；根据图像可知，当或时，故选：D．9.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值【答案】B【解析】【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0， ∴函数有最大值，∴最大值为，故选B．10.如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查求圆外一点到圆上一点最值，根据，得到点在以为直径的上，利用一箭穿心模型，得到三点共线时，的值最小，为，进行求解即可．【详解】解：∵∴，∵是中点，∴，∵，∴点在以为直径的上，连接，则：，，当三点共线时，的值最小，连接，则：， ∴，∵，∴，∴的最小值为；故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11.点关于原点的对称点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都是互为相反数，即可解答．【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为．【点睛】本题考查了关于原点的对称点坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．12.如图，四边形内接于，若，则____________．【答案】##130度【解析】【分析】由圆内接四边形性质，求出即可．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．13.在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是______cm2．【答案】50【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积=两条对角线长乘积的一半得到面积关于对角线的函数解析式，进而求出二次函数的最值即可．【详解】解：如图所示：∵菱形中，对角线，的和是，∴菱形的面积当菱形的两条对角线长都为10时，面积；故答案为：50．14.已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，点C坐标是．（1）______．（2）若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是______．【答案】①.②.且、．【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，（1）将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．（2）由点B为在抛物线上，根据点C与抛物线的位置，通过数形结合分类讨论求解．【详解】解：（1），抛物线的对称轴为直线；故答案为：；（2）抛物线与y轴交于点，，若线段与抛物线只有一个公共点，点，，都在直线上．①当时，如图， 当线段与抛物线只有一个公共点．所以点C在图像上方，时，．，，又，，②当时，如图，当线段与抛物线只有一个公共点．所以点C在图像下方，时，．，， 又，，③当时，如图，线段与抛物线只有一个公共点．点C始终在图像上方，此时公共点为B，④当时，点C与点B重合，综上所述，的取值范围为且、．故答案为且、．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元二次方程．利用配方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴．16.如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数．【答案】【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：由旋转的性质可知：，，∵，∴，∴，∴．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向右平移5个单位长度，得到，请画出该图形．（2）将绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到，画出图形，并直接写出点的坐标．【答案】（1）图见解析（2）图见解析，【解析】【分析】（1）根据平移的性质，画出即可；（2）根据旋转的性质，画出，根据图形，写出点的坐标即可．本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，并准确找出对应点的位置是解题的关键．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求，由图可知：．18.我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则． （1）如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由．（2）如图3，当点在外部时，______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】（1）（2）>【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（1）延长交于，连接，如图，根据三角形外角性质得，根据圆周角定理得，于是．（2）连接，如图，根据三角形外角性质得，根据圆周角定理得，于是．【小问1详解】．理由如下：延长交于E，连接，如图，∵，∴，∵，∴【小问2详解】连接，如图，∵， ∴，∵，∴，故答案为：五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．（1）求的度数．（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了圆的基本知识，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；（1）根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质得出答案即可．（2）根据握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，根据直角三角形求出CH，由垂径定理得．【小问1详解】解：连接，∵，， ∴，∴，∴，∵，∴，【小问2详解】∵，，∴，，是直径∴，，∴，∵，∴，∴，∴20.如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．（1）线段，，之间的数量关系是______．（2）如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】本题考查了旋转与三角形综合，（1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明；（2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明．【小问1详解】解：结论：理由：∵四边形是正方形，∴，由旋转的性质可知：，∵，∴，∴，∵，∴三点共线，又∵，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】结论：,证明如下：如图所示，将绕点A顺时针旋转得到．∵，∴， 由旋转的性质可知：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．六、（本题满分12分）21.宁波某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：（1）求与的关系式；（2）当销售单价取何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元/千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】（1）y=-2+340x-12000；（2）当x=85时，y的值最大，且最大值为2450；（3）当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.【解析】【分析】（1）因为y=（x-50）w，w=-2x+240故y与x的关系式为y=-2x2+340x-12000．（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．（3）令y=2250时，求出x的解即可．【详解】（1）解：由题意可知：y=(x-50)×w=(x-50)×(-2x+240)=-2+340x-12000 ∴y与x的关系式为：y=(x-50)×w=(x-50)×(-2x+240)=-2+340x-12000（2）解：由（1）得：y=-2+340x-12000，配方得：y=-2+2450;∵函数开口向下，且对称轴x=85,∴当x=85时，y的值最大，且最大值为2450.（3）解：当y=2250时，可得方程-2+2450=2250;解得：=75=95;由题意可知:x≤90,∴=95不合题意，应该舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．七、（本题满分12分）22.是的直径，弦，垂足为，连接，，．（1）如图1，连接，，若是的中点，求证：四边形是菱形．（2）如图2，作的平分线，交⊙O于点E，求证：为的中点（3）如图3，若的半径是1，，求点到弦的距离．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得OB垂直平分CD，在根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）直径所对圆周角等于90°，再由同角的余角相等证明，进而证明，即可得出结论；（3）由垂径定理可知，再根据勾股定理求出，，即可根据面积法求高【小问1详解】证明：∵是的直径，弦，∴，又∵是的中点，即，∴四边形是菱形.【小问2详解】∵是的直径，∴,∴，又∵弦，∴，∴，∵，∴，∴∵是的平分线，即，∴，即，∴，即为的中点.【小问3详解】∵的半径是1，，∴，∴在中，， ∴在中，，设点到弦的距离为，∵，∴∴，即点到弦的距离为.【点睛】本题涉及了圆的基本性质、垂径定理、、圆周角定理及推理、勾股定理；解（3）题关键是根据垂径定理求，从而求出其他线段长.八、（本题满分14分）23.如图1，抛物线经过点，C是抛物线上A，B两点之间的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，过点C作轴，垂足为D，求线段长度的最大值．（3）如图3，连接，设四边形的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）（2）（3）16【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求出函数解析式，（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）将的长转化为二次函数求最值即可；（3）连接，过点作轴，交于点，根据四边形的面积 ，列出二次函数解析式，求最值即可．根据二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．【小问1详解】解：抛物线经过点，∴，解得：，∴；【小问2详解】设，∵轴，∴，∴当时，有最大值为．【小问3详解】连接，设的解析式为，则：，解得：，∴，过点作轴，交于点，设，则：，∴，∴， 整理，得：，∴当时，有最大值为16．