安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

阜阳三中2023~2024学年度高一年级第一学期二调考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版必修一第一章至第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数式与指数式恒等式，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可.【详解】由题意可知，则.故选：C2.“”是“，为真命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m的范围，然后可得.【详解】由“，为真命题”得，解得，因为必有，反之不成立，所以“”是“，为真命题”必要不充分条件.故选：B 3.函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式分析函数的定义域和奇偶性，再通过特殊值用排除法求解.【详解】函数，定义域为，，所以函数为奇函数，排除选项CD；当时，，排除选项B.故选：A4.声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的声强级与声强之间的关系式，结合条件可求得 的值，继而可建立方程求解即可.【详解】由题意，，则，所以，当时，即，则，当时，即，则，又因为函数单调增函数，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确.故选：B.5.已知函数，分别由下表给出，且，，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】由题得到，然后解方程组即可.【详解】由得 得，所以.故选：A.6.已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，从而判断得的奇偶性与单调性，进而将不等式转化为，由此得解.【详解】设，则定义域为，因为是定义在上的奇函数，则，所以为奇函数，又因为对于任意，都有成立，即对于任意，都有成立，即成立，所以在为增函数；因为，所以，又为奇函数，所以在上为增函数，且，所以.故选：A.7.已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围.【详解】当时，，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出的图象如下图所示，由图象可得：，即实数取值范围是.故选：C.8.已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将的零点转化为和的交点，画出图象，根据对称性以及对数函数的知识求得、，再利用换元法，结合函数的单调性求得正确答案.【详解】有四个不同的零点，即和有四个交点，它们的横坐标分别为，画出函数和图象，根据图象可知和是和的交点横坐标，即方程的两根，所以是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得，令，令，则在上单调递减，所以，故，即所求式子的取值范围是.故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查了两个函数的图象与性质，第一个函数是二次函数，图象具有对称性；第二个函数是含有绝对值的对数函数.熟练掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键.函数零点的问题，可以转化为两个函数交点问题来进行研究.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两根，且，故A正确；所以，解得， 所以，即，则，解得，所以不等式的解集为，故B正确；而，故C错误；因为，所以，则，当且仅当，即或时，等号成立，与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.故选：AB.10.小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解.【详解】依题意，设两次花费的钱数为，则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；又，所以，根据基本不等式及其取等号的条件可得，所以，即，故C正确，D错误；故选：BC． 11.已知函数且，则下列命题为真命题的是（）A.时，的增区间为B.是值域为的充要条件C.存在，使得为奇函数或偶函数D.当时，的定义域不可能为【答案】ABD【解析】【分析】根据复合函数单调性判断A，根据真数取遍所有正数可判断B，利用奇偶性定义判断C，根据定义域可判断D.【详解】当时，在上单调递增，故A正确；当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集，要使为偶函数，则，于是，即对定义域内的实数恒成立，，但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，则，即，于是，即，该式不能恒成立.综上，错误；的解集为，等价于，即，所以当时，定义域不可能为，故D正确.故选：ABD.12.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（） A.函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是B.函数不是回旋函数C.若函数为回旋函数，则D.函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点【答案】ABD【解析】【分析】由回旋函数的定义，结合充要条件的判定判断A；假设是回旋函数，由此可推出矛盾，说明假设错误，判断B；根据回旋函数的定义判读C；对于D，由成立，令，可推出与异号，或，继而依此类推推出在上零点情况，判断D.【详解】函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是，故A正确；若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；在上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间，上均至少有一个零点， 所以在上至少有1011个零点，当时，有，此时在上有1012个零点，综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解“回旋函数”的定义，将问题转化为方程有解问题，再结合指数函数和幂函数的性质分析即可.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域列出不等式，求解即可.【详解】函数的定义域为，得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知函数满足：，且对任意的非零实数，都有成立，.若，则__________.【答案】【解析】【分析】结合抽象函数的关系，应用赋值法令得，再与，联立即可求解.【详解】由题意可得，， 又，所以，而，可得.故答案为：15.已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】先判断的单调性和奇偶性，由此求得，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】由于，所以的定义域为，在上单调递增，因为，所以是上的奇函数，且在上单调递增，又已知，所以，即1，所以，当且仅当时取等号.故答案为：16.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为___________.【答案】【解析】【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解.【详解】，当时，， 此时无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；当时，设，则与的图象大致如下，则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，则与函数的图象共有3个不同的交点，①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点， 则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；综上，的取值集合为，故答案为:.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数的图象，将方程恰有三个不相等的实数解转化为两条横线与函数图象的图象的交点的个数共计3个，数形结合思想求解.四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）若，求的值；（2）求.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）.（2）.18.已知命题“，方程有实根”是真命题.（1）求实数m的取值集合A；（2）关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；（2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可.【小问1详解】因为命题“，方程有实根”是真命题，所以方程有实根，则有，解得，所以实数m的取值集合.【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，当即时，不等式组无解，所以，满足题意；当即时，不等式组的解集为，由题意是的真子集，所以，所以. 综上，满足题意的a的取值范围是或.19.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上为增函数.（1）求表达式；（2）解不等式：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数可求出m的值，结合幂函数性质可确定其解析式；（2）利用函数的奇偶性以及对数的运算性质将原不等式转化为，再结合函数的单调性，即可转化为，结合对数函数性质即可求得答案.【小问1详解】由题意知为幂函数，故，解得或，当时，，当时，，在上为增函数，不成立，即，.【小问2详解】的定义域为，且为奇函数，则即，又因为为奇函数，所以，因为在上为增函数，所以，即， 所以，则，解得：，又因为，解得：.综上：原不等式解集为20.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）（）的函数关系满足，日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：15202530105110105100（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.【答案】20.选择函数模型②：21.961【解析】【分析】（1）由数据可知先增后减，故选择②模型，根据对称性求得m，再利用其它函数值求出a、b，从而求出函数解析式.（2）先求出的解析式，然后分别利用基本不等式和函数的单调性求得最值，比较即可求解.【小问1详解】由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①；③；④都是单调函数，所以选择函数模型②.因为的图象关于对称，且，所以由可得，由可得，所以，所以，所以日销售量与时间的变化关系为.【小问2详解】由（1）知，所以，即.当时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立.当时，单调递减，所以.综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.21.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围.【答案】21. 22..【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及对数运算性质求解即可；（2）把函数有2个零点问题转化为有2个根，令，则函数有2个正号零点，结合二次函数零点分布分类讨论求解即可.【小问1详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，即，所以，得，经检验当时，函数是偶函数.【小问2详解】函数有2个零点，即关于的方程有2个不相等的实数根，化简上述方程得，即，所以，所以.令，得关于的方程.记，且，①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根，不符合题意.②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点，因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即， 解得或，又，所以.综上，的取值范围是.22.若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）2（3）.【解析】【分析】（1）当，得，而在没有实数解，根据函数的新定义，即可得出结论；（2）由题意得任意，总存在唯一的使得，进而得，进而结合包含关系求得的值，进而求解；（3）由题意可得在的值域是在的值域的子集，且值域所对应的自变量唯一，进而结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】不是，理由如下：由，当时，，再由，得，则，即，则， 故根据“阶自伴函数”定义得，不是区间上的“阶自伴函数”.【小问2详解】由题知为区间上的“1阶自伴函数”，则任意，总存在唯一的，使，，则只需使成立即可，单调递增，，因为任意，总存在唯一的，使成立，即，则，即，即，故.【小问3详解】由是在区间上的“2阶伴随函数”，即任意，总存在唯一的，使成立，即成立，即在值域是在的值域的子集，且值域所对应的自变量唯一，，即，，对称轴为， ①时，在上单调递增，只需，即，解得：，②时，在上单调递减，只需，即，解得：，③时，在上单调递减，在上单调递增，只需，即，解得：，④时，在上单调递减，在上单调递增，只需，即，解得：，⑤时不满足唯一，故舍去，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题首先要理解“阶自伴函数”或“阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，数存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图象的形状，以此来建立不等式求出的范围.